基于多模式相關的混凝土重力壩服役壽命研究

胡魏玲，鄧念武，劉任莉

(武漢大學水利水電學院，武漢 430072 )

1 研究背景

我國已興建各類水庫大壩8.6萬多座，這些水庫大壩在防洪、灌溉、發電、航運、供水以及旅游等方面都取得了巨大效益。在大壩服役期間，外界水位、氣溫、地質等條件的變化都會對大壩的實際運行狀態產生較大影響，另外，各種外界荷載和材料老化共同作用下，壩體的穩定性和承載能力都無法維持在初始設計水平，隨著時間的推移，壩體承載力和穩定性都會有所降低，其服役壽命也將有所降低。隨著我國眾多大壩工程50 a設計基準期的臨近，以及病險壩數量的日益增加，大壩使用壽命科學評價理論和方法體系的構建已經成為迫切需要解決的熱點問題[1]。

大壩是一種荷載情況復雜的大體積結構，其服役壽命很大程度上取決于所受荷載和自身承載能力的時變特征，研究大壩服役壽命特征前提是研究大壩的可靠性隨時間的變化規律。結構體系可靠度是衡量結構整體性能的重要指標。目前常用失效模式法計算結構體系可靠度，主要步驟包括：尋求結構主要失效模式；計算各失效模式對應的失效概率；以各失效模式的失效概率為基礎應用相關模型計算系統的整體失效概率[2]。

本文分析大壩服役壽命重點在于計算大壩系統的時變可靠度，將采用上述思路尋求大壩主要失效模式、計算各自對應的時變可靠度及綜合時變可靠度。同時，本文在考慮各個失效模式間相關性的基礎上，重點研究如何根據各個模式的可靠度計算大壩的整體可靠度問題。

2 重力壩失效模式

研究重力壩體系服役狀態時，一般認為重力壩體系各壩段獨立工作。研究結構體系工作性態時，通常將結構系統看成是由各個組件組成的串聯、并聯或串并聯體系。研究表明[3]，若考慮各個組件之間的相關性，認為各組件之間連成并聯或串并聯體系，最終計算出系統可靠度將高于串聯體系可靠度。偏于安全地考慮，本文將重力壩視為各壩段獨立工作的串聯體系。根據重力壩設計規范和計算方法，工程上主要考慮以下3種失效模式：沿壩基面抗滑穩定、上游壩踵抗拉、下游壩址抗壓[4]。以某典型混凝土重力壩為例，壩體斷面如圖1所示，根據重力壩設計規范分別計算靜力條件下3種典型失效模式的功能函數。

圖1 典型重力壩斷面圖Fig.1 A typical cross-sectional view of gravity

(1)沿壩基面抗滑穩定：

Z1=f(∑W-U)+c′A-∑P

(1)

式中：f為壩體與壩基連接面的抗剪斷摩擦系數；∑W為滑動面以上作用于計算截面的所有荷載在鉛直方向投影的代數和，kN/m；U為作用于滑動面上的揚壓力，kN/m；c′為壩體與壩基連接面的抗剪斷凝聚力，kN/m2；A為壩體與壩基連接面的面積，m2；∑P為滑動面以上作用于計算截面的所有荷載在水平方向投影的代數和，kN/m。

(2)上游壩踵抗拉。

Z2=Rt-σ′y

(2)

式中：Rt為壩體材料的抗拉強度，MPa；σ′y為上游壩踵處邊緣應力。

按材料力學方法得出表達式如下：

(3)

式中：∑M為作用在計算截面以上全部荷載對截面形心的力矩總和，kN·m；T為計算單位截面沿上下游方向的寬度，圖1中，T=B2，m。

(3)下游壩址抗壓：

Z3=Rα-σ″y

(4)

式中：Rα為壩體材料的抗壓強度，MPa；σ″y為上游壩趾處邊緣應力。

材料力學方法得出表達式如下：

(5)

3 荷載及抗力效應時變模型

研究大壩的服役形態，關鍵在于求解各失效模式對應的功能函數及其可靠度。已知上述3種失效模式，要求解其功能函數，需要考慮上述公式中涉及的各個參變量，求解失效模式對應的荷載和抗力。本文基于可靠度理論，考慮大壩所受荷載和抗力的時變特征，研究大壩的可靠度及服役壽命時變特征。

通過對公式(1)～(5)中各個參量的分析[7]，本文主要考慮以下參量的時變模型：揚壓力折減系數α、抗剪斷參數f、c′、混凝土抗壓強度Rα和抗拉強度Rt。

根據貢金鑫[8]等人的研究，隨時間變化的抗力具有不確定性，可以分為材料性能不確定性、幾何參數不確定性和計算模式的不確定性。抗力隨機過程模型可以表示為：

R=KpRp(t)

(6)

式中：Kp為描述計算模式不確定性的隨機變量；Rp(t)為結構的計算抗力。

Rp(t)可以表示為:

Rp(t)=R[fmi(t),ai(t)]

(7)

式中：fmi(t)和ai(t)為第i種材料的材料性能和幾何參數，是時間t的函數。

參照上述思路，揚壓力折減系數等參量時采用如下模型：

R=R0φ(t)

(8)

式中：R0為t=0時刻參量值，即設計初始值，如初始揚壓力折減系數設計值；φ(t)為一確定性函數，與對應的參量時變特征有關。

當R的分布模型不變時，其均值滿足：

μR=μR0φ(t)

(9)

根據壩工理論[9]，大壩服役過程中由于混凝土碳化、帷幕灌漿老化、環境侵蝕等原因，材料的容重、抗拉強度、抗壓強度、摩擦系數和凝聚力都呈現下降趨勢，而由于淤積泥沙有上升的趨勢，揚壓力折減系數也表現出上升趨勢。現今一般認為，可以用威布爾函數描述各參量的變化規律[5]：混凝土密度γc對應的衰減函數為φ1=e-0.000 5 t；抗拉強度Rt、抗壓強度Rα、參數f、c′對應的衰減函數為φ2=e-0.005 t；揚壓力折減系數α對應的衰減函數為φ3=e0.005 t，以上t的單位為年。代入式(6)可得：

Rα=φ2Rα(0)

(10)

Rt=φ2Rt(0)

(11)

式中：Rα(0)、Rt(0)分別為初始時刻的材料抗壓、抗拉強度，此處表現為初始設計值。

以某具體混凝土壩為研究對象，將上述參量代入公式(1)～(3)，就可以算出各模式對應的功能函數，Z1、Z2、Z3。考慮到參量中t為唯一自變量，即Z-Z(t)，功能函數為一與時間有關的函數，在此基礎上可以結合可靠度理論分析其時變可靠度。

4 可靠度理論及相關模型

根據可靠度理論，求解可靠度的關鍵在于建立結構的功能函數，一般情況下，可以將影響結構可靠性的因素分為兩個綜合效應量，抗力效應R和荷載效應S，用功能函數Z=R-S表達結構的可靠度[5,6]。結構可靠性態根據功能函數值的不同可以分為三類：Z>0，結構處于可靠狀態；Z=0，極限狀態；Z<0，結構處于破壞失效狀態。分析可靠性的本質就是計算結構在特定條件下對應于某種失效模式的失效概率，可靠度理論中，定義失效概率為Pf=P(Z=R-S<0)。根據均值和方差的基本定義，可得Z的均值和方差：

μZ=μR-μS

(12)

σ2Z=σ2R+σ2S-2ρRSσRσS

(13)

式中：μ為均值；σ2為方差；ρRS為抗力函數與荷載函數之間的相關系數。

可靠度理論定義如下：

(14)

稱β為可靠指標，將式(12)和式(13)代入式(14)可以求得β。

結構處于失效狀態的概可靠指標率為失效概率，即功能函數Z=R-S<0的概率，以Pf表示為：

Pf=P(Z<0)

(15)

假設Z服從正態分布，則：

以上文中分析的3種失效模式為基礎，考慮各時變因子后可以求解對應的時變功能函數Z(t)，再根據可靠度計算方法求解各個功能函數對應的β、Pf，需要注意的是，此處求得的β、Pf都是與t有關函數，當t對應不同的時間點時，將對應不同的可靠度和失效概率，由此可通過時變可靠度分析大壩服役狀態時變規律。

4.1 重力壩體系可靠度計算常用模型

對于含有多種潛在失效模式的結構可靠度問題，結構整體可靠度與各個失效模式均有關。作用在結構上的每個失效模式上的荷載組合具有共用性，同時結構具有共同的材料抗力特性，因此體系失效模式間具有相關性是一個客觀事實[11]。

考慮多失效模式相關的可靠性計算理論主要源于結構失效模式的組合多樣性[12]。近年來也有一些學者考慮模式間相關性進行可靠度研究，文獻[13]考慮失效模式完全相關與完全不相關的極限情況，文獻[14]采用自適應重要抽樣方法計算巖質邊坡平面滑動的體系可靠度，文獻[15]基于加權響應面法，將重力壩壩基內各深層滑動路徑視為串聯體系，研究了某深層抗滑穩定體系可靠度。

目前的可靠性分析方法多通過失效模式確定對應的可靠指標，進而求解體系可靠度。以混凝土重力壩為研究對象，假設有n的相關失效模式，則此大壩可靠度R的計算表達式為：

Rs=P(Z1>0∩Z2>0∩…Zn>0)=

(17)

式中：Rs為系統的可靠性概率；Zi=Ri-Si(i=1,2,…，n)，Ri為抗力效應，Si為荷載效應，Zi為第i個失效模式對應的功能函數，fz(Z1,Z2,…,Zn)為各功能或失效模式隨機變量的聯合概率分布函數。

上式中聯合密度分布函數往往很難確定，同時進行多重積分計算也非常復雜。現有的相關性可靠度計算理論均基于給出的Pf=1-R的上、下界限理念，以此確定結構體系的可靠度范圍。一般而言，常用的兩種方法為Conell一階模型和O.Ditlevsen二階模型。

(1)Conell一階模型。該模型[16]假設各個失效模式正相關，對應的上下界限為：

maxPfi≤Pf≤∑Pfi

(18)

(2)O.Ditlevsen 二階界限模型。該模型[17]基于概率理論推導出考慮兩兩之間相關性的串聯系統可靠度的窄界限區間理論。設系統的第i個失效模式的失效概率為Pi，系統總體失效概率為Pf。通過考慮兩兩失效模式間的相關性，O.Ditlevsen提出以下形式的二階可靠度界限理論：

(19)

式中：Pij為第i、j兩個失效模式同時失效的概率。

max (PA,PB)≤Pf≤PA+PB,ρij>0

(20)

0≤Pij≤min (PA,PB),ρij<0

(22)

(23)

式中：Φ(*)表示標準正態分布函數；ρij為第i，j種模式之間的相關系數。

(24)

4.2 主次失效模式相關系數簡化模型

總體來看，現有相關性可靠度計算方法大多采用了某種近似，基于優化模型的角度，本文在總結O.Ditlevsen理論計算的基礎上，結合多種失效模式相關性的特點，提出一種新的多失效模式可靠度計算模型，根據突出主要矛盾、忽略次要矛盾的原則，只考慮主次失效模式間的相關性，提出模式相關可靠度計算模型。

設系統n種失效模式的可靠性系數分別為β1、β2、…、βn，且β1≤β2≤…≤βn，對應的可靠度為R1≤R2≤…≤Rn，則系統的多模式相關時對應的可靠度計算公式為：

(25)

R0.6=

(26)

Rs表示大壩整體失效對應的可靠概率；β1、β2為相應的可靠指標；ρ12為Z1、Z2兩種失效模式之間的相關系數，可根據公式(24)進行計算。上式僅考慮主次失效模式間的相關性進行可靠度計算，較上述窄界限公式計算更為簡潔。

該模型源自于機械零件的可靠度設計[18]，該模型基于O.Ditlevsen的二階界限模型，僅考慮主次失效模式，經過大量的數值分析和數學推導而得。該模型假設系統組件可靠度是介于獨立假設理論與圖2中薄弱環節理論之間的一個連續過程，即當ρ12為0，主次失效模式之間無相關性時，式(25)變為RS=∏Ri(1≤i≤n)，符合獨立假設理論；當ρ12為1，主次失效模式之間完全相關時，式(25)變為Rs=Rmin，符合薄弱環節理論，即系統失效模式完全相關時，系統可靠度取決于最薄弱環節。本文研究混凝土重力壩系統的時變可靠度，重力壩系統的可靠度同樣符合獨立假設理論和薄弱環節理論，主次失效模式相關簡化模型對大壩系統的可靠度計算具有一定的適用性，下文將通過工程實例論證這一模型的適用性。此外，該模型較常規界限模型計算更為簡便，能得出確定值而非模糊界限值。

5 實例分析

5.1 工程概況

水電工程中重力壩體系的失效函數與材料、荷載參數的關系十分復雜，且各變量之間多為非線性的隱式函數關系，得到的可靠指標不能反映大壩的整體可靠性。且多模式相關的大壩體系失效概率并不完全取決于某一重要失效模式，而通常是由兩種或多種失效模式來控制。以國內某混凝土重力壩結構體系的服役壽命為研究對象，采用本文所提及的考慮主次失效模式相關系數模型進行可靠度計算，并與傳統一階、二階模型對比分析。

某水電站電站樞紐由攔河壩、泄水建筑物、輸水系統、地下廠房及地面開關站等建筑物組成。攔河壩采用碾壓混凝土重力壩，壩工參數如下：最大壩高75 m，壩頂長206 m，壩頂寬8.0 m，據壩踵5.0 m處設置一帷幕。上游面直立，下游面高程626.639 m以上為直立面，高程626.639 m以下為斜坡，坡率為1∶0.75。該壩自竣工驗收以來，監測系統完善，監測資料完整，均表明該壩體運行正常。然而大壩運行條件復雜，仍需對其運行狀況及壽命進行整體分析，以保證壩體的安全運行。本文以攔河壩某最危險斷面為研究對象，研究考慮多失效模式相關的重力壩服役壽命時變模型。最危險斷面如圖2所示。對應的隨機變量特征如表1所示。

圖2 最危險斷面(單位:m)Fig.2 The most dangerous section

5.2 功能函數推導

本文基于可靠度理論研究重力壩服役壽命，首先解決重力壩主要失效模式的問題，根據前文，主要考慮3種失效模式：抗滑穩定、壩踵抗拉、壩址抗壓；參照公式(1)～(5)，分別求解對應的功能函數分別為：

表1 隨機變量統計特征Tab.1 Statistical characteristics of the random variable

Z1=∑Wfφ2+Tc′φ2-∑Fs

(27)

式中：∑W為壩體垂直方向所受荷載合力，向下為正；∑Fs為水平方向合力，向左為正。

(28)

Rt(0)為壩體材料抗拉強度，參照表1取值；φ2為對應的材料衰減函數，參照上文取值；∑M為作用在計算截面以上全部荷載對截面形心的力矩總和，kN·m，逆時針方向為正；T為計算界面沿上下游方向的寬度，本文中T=B2。

(29)

式中：Rα為壩體材料抗壓強度。

5.3 可靠度計算結果及分析

將大壩最危險斷面參數及大壩外界水位等參數代入上式Z1、Z2、Z3，可以計算各失效模式對應不同時間t(a)的可靠度。假定各參數值相互獨立且服從正態分布，可以計算得出t=0 a時，E(Z1)=53.889，σ(Z1) =15.432，可靠指標β1=E(Z1)/σ(Z1)=3.49；同理可以計算得出β2=5.37；β3=3.74；結果表明，考慮3種不同的失效模式時，不同失效模式對應不同的可靠度與失效概率。要計算壩體整體可靠度與失效概率，本文在Ditlevsen二階可靠度界限模型的基礎上，只考慮主次失效模式的相關性，采用主次失效模式相關簡化模型計算系統可靠度，將相關參數代入公式(25)、(26)即可求得對應t=0時刻的Rs，如表2所示。

建立新的整體可靠度計算模型進行計算，具體模型參見上文。計算3種失效模式的相關系數，代入上述模型可以計算得到結果如表2所示。

表2 初始時刻各失效模式對應可靠度及系統可靠度計算結果Tab.2 The initial time of each failure mode corresponds reliability and system reliability calculation results

根據本文所用的算法，t=0 a時，大壩整體可靠概率為99.97%，符合初始設計要求及實際情況。

為驗證計算結果是否合理，作為對比，同時采用conell模型和Ditlevsen窄界限法兩種模型進行計算。表3給出3種不同算法所得考慮不同失效模式的大壩整體可靠指標和可靠概率。

表3 不同方法時變可靠度計算結果比較 %Tab.3 Comparation between different variant reliability calculation methods

表3給出了t=0、5、10、15、20、25 a 6個時間點的計算結果，需要說明的是，筆者用3種方法分別計算了t=0～50 a系統的可靠度，結果對比見圖3。

圖3 不同方法對應失效概率Fig.3 The probabilities of failure modes corresponding to different methods

表3和圖3均表明主次失效模式法算出的確定性結果在Ditlesven窄界限和conell法給出的上下界限之間，3種算法得出的結果基本接近，說明基于主次失效模式相關簡化模型適用于該混凝土重力壩系統可靠度的計算。3種算法計算結果曲線均為上凹形曲線，表明失效概率增加速度隨隨時間逐漸增大，這與實際工程運行相符。另外，參考GB50199-2013[21]中對水工結構目標可靠指標的規定，對本大壩(Ⅱ級安全級別)而言，在緩慢破壞過程中，承受一類破壞的目標可靠指標為3.2，對應失效概率為0.068%。從圖3可以看出，t=28 a時，用本文計算出的失效概率達到0.066%，t=29 a時，對應的Pf=0.069%。因此可以認為，該大壩在運行28 a后，若要保證其仍以大于3.2的可靠度運行，需要對其進行加固修繕。需要說明的是，此處對重力壩壽命預測為28 a，并不是說重力壩使用到28 a就不能繼續使用，而是說該壩使用28 a之后，從本文考慮的3種失效模式的角度來說，需要對該壩進行檢修及加固。

上述結果同時表明，Ditlevsen二階模型較conell一階模型更為精確。另一方面，主次相關模式失效法不同于Ditlevsen法的地方在于，Ditlevsen法需要計算不同失效模式兩兩之間的相關系數，共計C2n(n為失效模式個數，如本文考慮3種失效模式，需要計算C23=3個相關系數)。隨著失效模式數目的增大，相關系數求解量也會隨之增加。總的來說，從滿足工程應用角度而言，主次失效模式法可以用于工程實踐計算，同時計算較為簡便。

6 結 語

(1)本文研究結構可靠度時考慮了結構荷載及抗力的時變效應，用威布爾函數模擬相關參量隨時間的變化，使得模型較不考慮時間因素時更為優化。

(2)本文基于窄界限理論，在考慮失效模式間相關性的前提下為系統可靠度的計算提供一種新思路，提出可以用僅考慮主次失效模式相關性的主次失效模式相關系數簡化模型計算重力壩結構系統可靠度，并通過算例證明該模型的適用性。新模型計算量較小，計算精度滿足工程需要。

(3) 本文研究了混凝土重力壩結構多模式相關體系可靠度的時變規律，基于此研究大壩服役壽命隨時變的變化規律，并提出基于時變可靠度的大壩使用壽命評估模型，為大壩安全管理提供新的思路。

□

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