基于因子分析的TOPSIS法改進對淺層地下水綜合評價

蘇建云，黃耀裔，李子蓉

(泉州師范學院資源與環境科學學院，福建 泉州 362000)

《地下水質量標準》(GB/T14848-93)[1]規定了地下水質量評價的指標體系、評價指標分級標準和內梅羅指數綜合評價法，由此可見地下水環境質量評價是一種絕對性的綜合評價，但由于評價指標的每一級仍存在質量的相對差異，因此也可以說是一種相對性綜合評價。同時各指標不同級的區間值、不同指標同級區間值不同，在多指標的綜合評價中作用、貢獻程度(重要性)也不相同，于是衍生了從評價指標規范化變換角度提出的基于模糊數學隸屬度的綜合評價[2]、基于灰色關聯度的綜合評價[3]、基于“同異反”聯系數的綜合評價[4]、物元可拓法[5]、屬性識別模型法[6]等地下水環境質量評價法及其從指標賦權角度提出的“超標”法[7]、“熵權”法[8]、“組合權重”法[9]等地下水環境質量評價法，極大豐富了地下水評價理論體系。

由于評價指標體系是表達系統構成的框架，其間難免存在相關性甚至多重共線性[10]，但是前述部分方法忽略了地下水評價指標體系指標之間必然存在這種關系——相關性甚至多重共線性(可通過SPSS軟件的“KOM檢驗和Bartlett球形檢驗”等予以驗證確認)。因此，本文提出通過因子分析[10]來有效克服評價指標間的相關性問題，通過對TOPSIS方法的改進、拓展達到能兼具絕對性評價與相對性評價的地下水綜合評價的要求。以福建省晉江市淺層地下水為驗證研究區，闡述方法的實施過程和效果，并對該區淺層地下水質量進行綜合評價。

1 評價模型

1.1 評價指標及指標變換

1.1.1評價指標

設記：

(1)D1，D2，…，Di，…，Dn為待評對象(即實例中的福建省晉江市淺層地下水綜合評價采樣觀測點的樣品)，X1，X2，…，Xj，…，Xm為淺層地下水評價指標體系[1](選取總硬度、礦化度、硫酸根、氯離子、二價鐵、二價錳、二價銅、二價鋅、硝酸氮、亞硝酸氮、氨根、氟離子、二價汞、六價鉻、碳酸氫根)共計15個評價指標構成評價指標體系，詳見表1)。

表1 地下水環境質量單項指標分類限值 mg/L

(2) [xi,j]n×m為決策矩陣(即淺層地下水綜合評價采樣觀測點的樣品D1，D2，…，Dn的化驗測試結果)，其中xi,j表示Di(i=1，2，…，n)對象Xj(j=1，2，…，m)指標觀測值(第i件水樣第j個指標的分析測試結果)。

(3) [xl,j]L×m為地下水綜合評價標準向量集即“標準點”、“控制點”、“已知點”的向量矩陣，xl,j(l=1，2，…，L；j=1，2，…，m)表示第l級標準j維分量Xj指標的上限(若是越大越好型的效益型指標則為下限)，分級標準可從《地下水質量標準》(GB/T14848-93)獲取。

(4) [x+j]1×m、[x-j]1×m分別表示正(最優)、負(最劣)理想點的向量/矩陣，其中x+j、x-j分別表示正、負理想點第j維分量(Xj指標值)，式(1)和式(2)均包含成本型(越小越好)和效益型(越大越好)，且j=1，2，…，m。公式表示如下：

(2)

在此基礎上對決策矩陣進行擴展，即通過合并決策矩陣[xi,j]n×m、標準向量矩陣[xi,j]L×m及理想點向量[x+j]1×m、[x-j]1×m得[xi,j]N×m(依次追加于[xi,j]n×m的n行之后，i=1，2,…，n+1，…，n+L，…，n+L+2 =N)，構造出新的決策矩陣。

1.1.2指標變換

(1)指標的標準化變換。對[xi,j]N×m按列進行標準化變換，記為[yi,j]N×m：

(4)

經式(3)與(4)變換后，[yi,j]N×m中各列指標均呈越大越好，其中，[xi,j]n×m→[yi,j]n×m、[xl,j]L×m→[yl,j]L×m、[x+,j]1×m→[y+,j]1×m、[x-,j]1×m→[y-,j]1×m。

(2)因子得分變換賦權。指標經標準化變換后，為了有效克服指標間難以避免的相關性甚至多重共線性，則需進一步通過式(5)進行變換：

F=[Fi,k]n×K=[yi,j]N×m[cj,k]m×K

(5)

cj,k的確定原則是Fk與Fp(i≠j) 相互獨立(互不相關)，因子分析后的F1，F2，…，Fn依次是原變量所有線性組合中方差最大、次最大、…、第K大主因子。一般，[cj,k]m×K因子得分系數矩陣通過因子分析可得，則Fi,k為對象Di(i=1，2，…，n)在第k(k=1，2，…，K)主因子上的得分。本文以“累積方差貢獻≥85%”為確定原則，對前述擴展、標準化變換后的[yi,j]N×m，利用SPSS軟件進行因子分析，得到因子得分系數矩陣[cj,k]m×K見表2，提取3個主因子，占全部信息的87.24%>85%。將[yi,j]N×m、[cj,k]m×K(見表2)代入式(5)，則[yi,j]N×m變換為因子得分矩陣[Fj,k]m×K，相應的[yi,j]n×m→[Fj,k]m×K、[yl,j]L×m→[Fl,k]L×K、[y+,j]1×m→[F+,k]1×K、[y-,j]1×m→[F-,k]1×K。

1.2 綜合評價

1.2.1綜合評價模型

當前述[yi,j]N×m→[Fi,k]N×K后，因為“難以保證各公因子的因子得分都是越大越好或越小越好[10]”，如表2所示，F1因子得分系數均是大于0而維持了“越大越好”，但F2、F3的部分得分系數卻小于0，可見F2、F3的因子得分未必是“越大越好”，所以，鑒于以往一些變換為因子得分的評價[11]因“根據公因子方差貢獻直接進行因子得分的加權綜合，按綜合得分大小進行評序欠嚴密[10]”、與TOPSIS法綜合的評價[12]或TOPSIS價值函數模型[13]是在變換為“因子得分”后才選擇正、負基準/理想點的時機把握不準確[“因子得分”取大(“∨”、“max()”)或取小(“∧”、“min()”)未必與優、劣或劣、優一一對應]，須通過前述構建的正、負理想點作為識別的標準，于是提出基于因子得分變換的加權歐氏距離平方的TOPSIS綜合評價模型。評價步驟如下。

表2 因子分析部分成果Tab.2 Some results of factor analysis

(1)首先計算各“待評點(含分級標準等)i”與正、負基準/理想點的加權距離：

(6)

(7)

式中：K表示第k主因子因子得分的權重(k=1，2，…，K)；λk為第k主因子的特征值，詳見表2；Fi,k、F+,k、F-,k分別為待評點i及正、負理想點在第k主因子上的因子得分，見式(5)；d+i、d-i分別為待評點i與正、負理想點的加權歐氏距離，d+i越小、d-i越大則i越“優”，反之d+i越大、d-i越小則i越“差”。

(2)定義綜合貼近度模型Di如下：

Di=(d-l-d+l)/(d-l+d+l)

(8)

式中：Di為待評點i與理想點的綜合貼近度，Di∈[-1，1]，貼近度越接近1(正理想點)則越優，反之越接近-1(負理想點)則越差。

(3)因[Fi,k]N×K經[d+i]N×1、[d-i]N×1變換后為[Di]N×1，其中包括[Fl,k]L×K→[Dl]L×1、[F+,k]1×K→D+=1、[F-,k]1×K→D+=-1的變換，從而達到相對性綜合評價(評序)，并為“絕對性”綜合評價提供依據。即前述的數據準備已包含用于“絕對”評價分級分等的標準向量矩陣數據[xl,j]L×m，在前述的數據變換(準則替換)過程也同步進行了從原變量至綜合貼近度的準則替換，即[xl,j]L×m→[yl,j]L×m→[Fl,k]L×K→[d+l]L×1+[d-l]L×1→[Dl]L×1，所以[Dl]L×1為綜合評價等級劃分的依據，詳見表3。

表3 地下水評價分級準則Tab.3 Groundwater evaluation and classification criteria

1.2.2綜合評價結果

根據表3的“絕對性”綜合評價分級標準、[Fi,k]N×K及式(6)～式(8)得出晉江市淺層地下水綜合貼近度[Dl]L×1及對應評價等級結果，詳見表4。

參考相關評價文獻大多仍采用基于離散點式數據評價，難以體現出空間分布狀況，于是借助GIS手段結合地統計模型構建淺層地下水環境綜合質量評價數字地面模型，采用Kriging插值[14，15]將離散的評價等級結果連續化表達和可視化(見圖1)。

1.2.3綜合評價結果分析

基于因子得分變換的加權歐氏距離平方的TOPSIS綜合評價與單純利用TOPSIS法的評價結果吻合率達到90%。單純利用TOPSIS法的權重確定是事先確定的，具有一定的主觀性和隨意性，比較適合對區分最優、最劣2級的評價。而基于因子得分變換的加權歐氏距離平方的TOPSIS采用了方差貢獻率表征,當方差越大的指標則重要程度則相對較大,故權重也應較大,對權重的確定較具客觀，同時TOPSIS對原始數據進行趨同和歸一化,通過《地下水質量標準》構建了正、負理想點作為識別的標準，使分類精度得到提高，通過因子得分變換保證各公因子的因子得分統一為“越大越好”或“越小越好”。從同一指標與最優指標的加權歐氏距離計算出體現同一指標間的接近度,能兼具絕對性評價與相對性評價來反映出地下水綜合評價的要求。說明通過因子得分變換的方差貢獻率作為權重，分類精度也比較高，評價結果也更為合理。

表4 晉江市淺層地下水綜合評價等級結果Tab.4 Comprehensive evaluation results of shallow groundwater in Jinjiang City

注：(1)為基于因子得分變換的加權歐氏距離平方的TOPSIS評價結果；(2)為單純利用TOPSIS法的評價結果。

圖1 淺層地下水評價數字地面模型Fig.1 Shallow groundwater evaluation of digital terrain model

據圖1所示，評價結果處于地下水Ⅲ級水平(以人體健康基礎值為依據，使用于集中式生活飲用水源及工、農業用水)主要分布于境內的安海鎮、東石鎮與南安市的石井碼頭臨界；評價結果處于地下水Ⅱ級水平(反映天然背景值)主要分布于境內的陳埭鎮、西濱鎮與泉州灣鄰接，深滬鎮、金井鎮與臺灣海峽、圍頭灣鄰接的大部分區域，靈源街道、新塘街道與石獅市鄰接，永和鎮、龍湖鎮、英林鎮三鎮交接，內坑鎮、磁灶鎮部分區域；其余為Ⅰ級(反映天然低背景值)。處于地下水Ⅰ、Ⅱ級水平占全區面積的96%左右，通過基于因子分析的加權歐氏距離平方的TOPSIS對晉江市的綜合評價，評價結果整體處于良好水平。

2 結 語

本文提出了通過因子得分變換來有效克服評價指標間的相關性甚至多重共線性問題，及通過對TOPSIS方法的改進、拓展達到能兼具絕對性評價與相對性評價的地下水綜合評價的要求。將其應用于福建省晉江市淺層地下水質量環境的綜合評價，通過GIS和地統計的Kriging插值構建淺層地下水環境質量評價數字地面模型，使評價等級結果可視化表達。通過基于基于因子得分變換的加權歐氏距離平方的TOPSIS對晉江市的綜合評價，評價結果整體處于良好水平，可為晉江市今后在對淺層地下水的合理開發利用以及保護提供參考。

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