基于勒讓德多項式各項系數擬合的柱面鏡面形檢測研究

楊　醒,王占山

(同濟大學 物理科學與工程學院 先進微結構材料教育部重點實驗室,上海　200092)

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基于勒讓德多項式各項系數擬合的柱面鏡面形檢測研究

楊醒,王占山

(同濟大學 物理科學與工程學院 先進微結構材料教育部重點實驗室,上海200092)

摘要：超薄玻璃熱成形技術是目前國際上研制X射線掠入射天文成像望遠鏡的重要技術之一,超薄玻璃圓柱面鏡片面形的高精度檢測是實現超薄玻璃熱成形的關鍵。圍繞我國高能X射線掠入射天文望遠鏡研制對高面形精度的超薄玻璃柱面鏡的需求,采用勒讓德多項式對柱面鏡面形的測量數據進行擬合,利用勒讓德多項式各項系數與特定的幾何像差的對應性,通過擬合勒讓德多項式各項的系數,獲得了待測柱面鏡面形的特定幾何像差,為全面評價柱面鏡面形質量提供了參考。

關鍵詞：柱面鏡; 勒讓德多項式; 最小二乘法; 像差

引言

X射線天文觀測是人類認識和了解宇宙,尤其是宇宙起源、超新星遺跡、黑體的重要手段。自20世紀60年代,人們開始運用Wolter-I型望遠鏡對各種天體進行觀測。Wolter-I型望遠鏡是由共焦的掠入射拋物面和雙曲面反射鏡組成,為了獲得大的有效面積,采用了嵌套結構。從1999年起,先后發展了基于常規光學方法制作鏡片的Chandra望遠鏡[1],基于Ni電鍍方法制作鏡片的Newton望遠鏡[2],基于鋁薄片成型分離方法制作鏡片的ASCA[3]和Suzaku[4]X射線望遠鏡。鋁薄片鏡片的使用雖然大大降低了望遠鏡的造價,但是其自身性質限制了這種方法制作望遠鏡分辨率的進一步提升。隨著技術的發展,人們可以采用超薄玻璃制作望遠鏡的反射鏡片替代原有的鋁片。2012年,美國發射的NuSTAR衛星[5]是采用超薄玻璃鏡片制作望遠鏡的典范,其分辨率是58″。這種方法制作的反射鏡片是先制作出圓柱面形狀,在裝配時將其壓成圓錐面以達到設計要求。因此,在進行這種望遠鏡研制過程中,如何精確測量圓柱面面形是改進工藝、提高鏡片制作質量的關鍵。

圓柱面面形檢測方法有很多,常用的有三坐標測量法和采用計算全息圖(CGH)的干涉測量法。一般的三坐標測量是用觸針式探頭接觸待測圓柱面表面,通過探頭位置讀出并記錄待測點的三坐標值,得到被測面的面形。當對厚度只有0.21 mm的超薄玻璃鏡片測量時,這種方法會引入較大誤差,不能滿足面形測量精度的要求[6]。采用計算全息圖的方法是用計算全息圖產生柱面波,該柱波面與待測圓柱面表面反射的柱面波進行干涉,根據干涉結果計算獲得待測圓柱面面形的偏差。

在分析干涉測量數據時,一般干涉儀會給出面形的均方根值(RMS)、最大差別值(PV)和等高線圖等評價指標,更好的結果是用澤尼克(Zernike)多項式系數給出的面形測試結果,但其不適用于圓柱面的檢測。在非圓域光學面形測量中,Paul研究了勒讓德多項式應用于近柱面面形誤差的表征,給出了一組包含勒讓德多項式的方程,并成功地評價了掠入射光學系統的波前誤差和成像誤差[7]。Gao等將勒讓德多項式用于方形域面形的重建,獲得了相關的面形數據[8]。本文基于勒讓德多項式的特點研究了其用于圓柱面面形檢測,給出了類似于澤尼克多項式系數的圓柱面面形評價結果。

1勒讓德多項式

在面形檢測中常用的澤尼克多項式是一組僅在圓形光瞳上正交的序列函數,不適合柱面鏡面形測量數據的理論擬合。勒讓德多項式是一組在[-1,1]上正交的序列函數,這種正交性滿足了柱面對稱區域的特點,是勒讓德多項式擬合柱面鏡面形的理論基礎[9]。勒讓德多項式能與像差理論建立聯系,其系數與柱面鏡對應的像差直接相關。

勒讓德多項式是數學和物理中最重要的函數集合之一,勒讓德方程的表達式為

(1)

在n為整數時,勒讓德方程的一個特解是勒讓德多項式[10],可表示為

圖1　前七項勒讓德多項式圖像Fig.1　The first seven Legendre polynomials

(2)

當n為偶數時,m=n/2;n為奇數時,m=(n-1)/2。前七項勒讓德函數圖像如圖1所示。

用勒讓德多項式擬合獲得的柱面鏡面形具有以下優點:

(1) 在區間[-1,1]上正交,正交特性使得多項式各項的系數相互獨立,有利于消除偶然因素造成的干擾;

(2) 勒讓德多項式可以與Seidel 像差項對應,為有選擇地單獨處理各像差系數、優化系統性能提供了有效方法。

在矩形域上正交的二維勒讓德多項式為

(3)

式中:i和j為從0開始的整數;Li(x)是以x為變量的勒讓德多項式;Lj(y)是以y為變量的勒讓德多項式。多項式Ln(x,y)滿足正交性[11],即

(4)

式中:δ為克羅內克標記。

二維勒讓德多項式Ln(x,y)的前十項與其對應的像差見表1。

表1　前十項勒讓德多項式與其

在空間直角坐標系下,N項二維勒讓德多項式為[12]

a2L2(x,y)+…+anLn(x,y)

(5)

式中:n為勒讓德多項式的項數;ai為勒讓德多項式中第i項系數;Li(x,y)為勒讓德多項式的第i項。

由像差理論可知:一個完整的波前像差可以用一系列勒讓德多項式表示[13-14],即

(6)

式中:Z′(x,y)為待測曲面;Z0(x,y)為理想曲面;Z(x,y)為包含面形的變化量,即剩余表面誤差。

在對待測柱面鏡進行測量后,可得測量的曲面在xy平面上各點的坐標(x,y),以及待測曲面相對理想曲面在z方向上各點的偏移量Z。將測量數據分別代入式(5)得到

(7)

式(7)可簡記為

B=LA

(8)

式中:L為m×n階矩陣;A=(a1,a2,…,an)T;B=(Z1,Z2,…,Zm)T。

式(8)中的L和B為已知量。為了得到矩陣A,即勒讓德多項式每項的系數,本文采用基于Gram-Schmidt正交化法的最小二乘法求解勒讓德多項式的系數[15]。由勒讓德多項式各項系數可擬合出待測柱面鏡的曲面。

2擬合結果與分析

RMS值和PV值是兩種常用的面形檢測指標。RMS是被測波面相對于參考波面的均方根偏差,通過RMS值可觀察面形的變化程度,更客觀地反映表面形貌。PV是被測波面相對參考波面的最高點與最低點之差,它描述了測量區域內面形的整體形貌,而忽略了區域上的局部信息。RMS和PV是兩種不同的評價標準,都表示光學表面偏離理想光學表面的大小。

在面形檢測方面,初級像差對面形的影響一直是研究熱點。如上所述,勒讓德多項式可在柱面域上表示波前像差,它的前幾項與Seidel像差之間存在聯系,而且高階模式的勒讓德多項式所占比例較小。根據檢測要求,需要對柱面鏡面形中初級像差的影響做出分析,結合勒讓德多項式與像差之間的關系,最終選定勒讓德多項式的前十項對待測柱面鏡的面形進行擬合,擬合方程為

(9)

表3　鏡片4和鏡片5的勒讓德多項式各項擬合系數

根據式(9),對十塊不同柱面鏡面形進行了擬合,求得的RMS和PV值如表2所示,其中柱面鏡的面形測量數據采用干涉檢測的計算全息方法獲得[16]。

從表2可知,鏡片3的面形RMS值和PV值最小,說明在十塊鏡片中它的面形質量最好。但僅從RMS和PV這兩個評價指標來判定面形的優劣還不夠明確。比如,鏡片4的RMS值小于鏡片5,但是它的PV值卻大于鏡片5。為了更全面評價柱面鏡的面形精度,我們根據擬合出的勒讓德多項式各項的系數所對應的像差給出另一種評價面形質量的方法。表3給出了鏡片4和鏡片5的勒讓德多項式各項的擬合系數。

從表3可以得到如下的結論:

(1)a0=0,說明兩塊鏡片的面形中都不存在平移像差;

(2) 勒讓德多項式各項擬合系數除第6項外,鏡片5對應系數的絕對值均大于鏡片4,說明傾斜、離焦以及y軸初級彗差對鏡片5面形的影響大于鏡片4;

(3) 勒讓德多項式各項擬合系數的第6項,鏡片4對應系數的絕對值大于鏡片5,說明x軸初級彗差在鏡片4面形中的影響較大;

(4) 綜上,鏡片4的整體面形優于鏡片5。

鏡片4和鏡片5的剩余表面誤差圖如圖2和圖3所示。

圖2　鏡片4剩余表面誤差

圖3　鏡片5剩余表面誤差

3結論

本文利用勒讓德多項式擬合了被測的十塊柱面鏡面形測量結果,給出了勒讓德多項式與初級像差之間的關系,獲得了勒讓德多項式系數的擬合值,確立了勒讓德多項式擬合系數與初級像差在柱面鏡面形測量中的影響信息。該方法比常用的評價指標RMS值和PV值更能準確地判定面形質量的優劣。

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(編輯:劉鐵英)

Figure error test of the cylindrical lens surface based on the fitting of coefficients of Legendre polynomials

YANGXing,WANGZhanshan

(Key Laboratory of Advanced Micro-structured Materials of MOE,School of

Physics Science and Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract：The nominally cylindrical glass segments are forced to a conical form during the assembly process of an X-ray imaging telescope as the ultra-thin glass thermal slumping technique being fully successful. The surface should be measured in order to make high-quality glass with cylindrical surface. Each coefficient of the Legendre polynomials corresponds to the specific geometrical aberration. In this paper, figure error of cylindrical lens is obtained based on the fitting coefficients of Legendre polynomials, which provides an exact method for cylindrical lens surface measurement.

Keywords：cylindrical lens; Legendre polynomials; least square method; aberrations

中圖分類號：TN 253

文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1005-5630.2016.01.003

作者簡介：楊醒(1988—),男,碩士研究生,主要從事光學面形檢測方面的研究。E-mail:yx881211@163.com通信作者： 王占山(1963—),男,教授,主要從事極紫外、軟X射線以及光學薄膜等方面的研究。 E-mail:wangzs@tongji.edu.cn

基金項目：中國科學院空間科學戰略性先導科技專項項目(XDA04060605)

收稿日期：2015-06-04