基本思想，小學數學教學的重要指向

周紅琴

摘 要：2011版的《義務教育數學課程標準》提出“四基“的概念，其中基本思想對于小學數學教學來說有著先導性的意義。實踐表明，對基本思想的理解要緊扣”基本“和”思想“兩個關鍵詞，在教學實踐中要重視其指導性作用的發揮。基本思想要成為學生的直覺，還需要通過強化數學抽象、數學推理與數學建模的教學，進而演變成認識一般問題的抽象、概括與建模能力。

關鍵詞：小學數學；基本思想；雙基；四基

2011版的《義務教育數學課程標準》給出了“四基”的概念，即在傳統基礎知識與基本技能的基礎上，增添了基本思想與基本活動經驗兩個重要表述。傳統的雙基在小學數學教學中起到了極為重要的作用，已經成為中國基礎教育的一個特色，而對于新增加的基本思想與基本活動經驗，近年來也有不少專家與一線教師做出了重要的探究。筆者以為，要想讓新增加的基本思想與基本活動經驗像傳統的雙基一樣，在小學數學教育中起到重要的指導作用，就必須對這兩個概念做出超越概念本身的理解，尤其是要結合教學實際，豐富其教育理解，生成符合一線教師所需要的實踐經驗。近年來，筆者對此進行了不斷的探究，取得了一些認識。本文試以“基本思想”為例，談談筆者的理解與實踐。

■一、基本思想的理論理解，重在基本與思想兩個關鍵詞

基本思想這一概念只有放到小學數學教學的具體情境中，才會有其小學數學教學的意義。對于小學數學教學而言，基本思想不應當是抽象的甚至是空洞的理論，而應當緊緊圍繞“基本”與“思想”兩個關鍵詞，并結合小學數學教學的具體實踐去理解并實施。

從小學數學教學的具體情境來看，“思想”應當有三個角度的理解：一是數學抽象；二是數學推理；三是數學建模。思想之所以能夠成為思想，關鍵在于其能在整個數學學習的過程中發揮一以貫之的作用。眾所周知的是，小學數學教學是以基本的數與形為基礎的，用數學思想來統領數與形的教學，就意味著要從小學生的實際生活中尋找數與形的原型，并對其進行數學抽象，然后在數學推理的基礎之上建立數學模型，從而讓學生獲得一個能夠用數學去發現問題、分析問題并解決問題的思維基礎或者說工具基礎。

而從“基本”這一關鍵詞來看，筆者是這樣理解的：思想意味著在小學數學教學的過程中，要超越具體的知識教學，以達到讓學生進入建立在知識建構基礎之上的方法境界或思維境界。請注意，這里筆者所強調的是超越而不是忽視，是因為筆者意識到只有重視知識教學（其實呼應了“四基”當中的“雙基”），學生的思想才有源頭活水。也只有重視了這一教學思路，“基本”二字才能真正得到貫徹落實。

譬如在長方體體積（蘇教版小學數學六年級上冊）的教學中，要讓學生得到“長方體的體積=長×寬×高，就必須給學生提供一個可供分析的具體形象。蘇教版教材上是在提供了體積為1立方厘米的小正方體的基礎上，向學生提供了一個由十二個小立方體組成的大長方體，然后讓學生在1立方厘米的基礎上去建構大長方體的體積認識，學生自然會在最基本的四則運算的基礎上，借助于生活經驗去得出12立方厘米的認知結果。這還不是唯一的教學過程，事實上教材還設計了變式的教學思路讓學生自己去搭建不同形狀的長方體，這是一個非常出色的教學設計，其看起來是豐富學生的學習形式，讓學生通過親身體驗去獲得豐富的長方體的體積認知，實際上卻是在用變式的心理學要訣，讓學生在形式不同、實質相同的重復認知當中獲得非常清晰的長方體體積認識。事實也證明，絕大部分學生通過這樣的學習過程，確實可以順利地構建出長方體體積的公式。

從基本思想的角度來看，這個過程讓學生在具體的體驗基礎之上進行數學抽象，即從一個個具體的長方體，到思維中構建出來的任意長方體；讓學生從一個事例向若干個事例進行數學推理，以發現長方體體積的一般規律；讓學生建立起數學模型就是任意長方體在思維中構建出來的形象，以及隨之生成的長方體公式。經過這樣的學習過程，學生在遇到長方體及其體積問題時，自然就會浮現出長方體的體積公式，從而也就形成一種數學直覺。筆者以為，這個數學直覺正是基本思想演繹的結果。

■二、基本思想的實踐探究，重在其對教學實踐的指導性

本思想之于教師而言，應當成為一種很自覺的教學意識，也就是說，只有當基本思想作為教師在教學設計之始就開始考慮的問題時，其才能夠真正發揮其基本思想的作用。

譬如教“數“的概念，在小學數學中，數是一個既形象又抽象的概念，說其形象，是因為小學生在進入義務教育之前，就已經接觸數的概念，甚至還有相當一部分學生初步接觸了數的加減運算等。但如果僅僅滿足于此，筆者以為還不是真正的”數“的教學。只有當教師在設計本課時，心中不僅有小學階段數的學習與運算的概念，同時還有整數、分數、小數等概念，甚至還有代數、函數等概念，這個時候教師心中的關于數的形象才是豐滿且立體的。有了這樣的認識，教師在課堂上向學生傳遞數的概念的時候，就不會再是孤立的數及運算，還會有一種向學生注入思想的教學心理。以最簡單的10以內的數的相加減教學為例，這是小學一年級的內容，屬于”基本知識“，相應的運算則屬于”基本技能“。如果僅僅從”雙基“的角度出發，那本內容的教學將十分簡單。但如果還注重”基本思想“（當然也包括基本活動經驗），那本課的教學就會多出許多有意思的環節出來。比如說筆者在教學中就設計了這樣的幾個環節：一是讓學生到生活中尋找10以內與數相關的生活原型。結果學生尋找出了一只手5個手指，兩只手10個手指的例子；尋找出了家里有爸爸媽媽兩個人，另加爺爺奶奶兩個人的例子；還尋找出了家里三個房間，每個房間都有1張床的例子。在這樣的實際例子中，都存在著數學抽象的基礎，在數學抽象的過程中，教師要引導學生認識到，生活中數不僅僅是以1、2、3……的符號存在著，更應當理解為通過阿拉伯數字這樣的符號，來描述生活中與數相關的對象，這樣，數與數量這兩個重要概念就會被學生所內化，學生所獲得的也就不只是”雙基“而是”四基“了。

當然，這里還有更多的教學細節需要注意。如學生在從若干個用“一”來描述的對象中抽象出數字1時，從若干個由“五”來描述的對象中抽象出數字5時，學生所獲得的恰恰是一種“量的多少”與“數的多少”的一一對應的關系，在這種關系對應的過程中，學生所收獲的就是對“數”與“量”的認識，就是用“數”來描述“量”的意識，就是一種緘默于心的關于數和量的認識以及由之衍生的數量計算，從而為后面的四則運算打下基礎。事實上，當學生后來能夠直覺性地反應出6大于5、7小于8時，這種認識已經超越了基于生活經驗基礎上的認識，這種認識已經具有了數與量的基因，已經真正屬于數學認知的范疇，而非生活認知的范疇。

基本思想作為小學數學教師的對象，作為引導小學數學教師更新對自身所從事的數學教學的認識，作為產生指導性作用的有效載體，對其內涵與外延的理解需要進一步深入。筆者以為，這種深入過程，本質上也是作為“四基“之一的”基本思想“在數學教師的認識當中不斷深化的過程。

■三、基本思想的學生理解，重在思想在學生思維中生根

數學思想作為一個教學范疇的概念時，其是不需要在學生思維當中存在的，也就是說學生不必建立數學思想的認識。但是，數學思想作為一種教學對象或者說教學要求，是必須面向學生的，只有學生建立起關于基本思想認識（以緘默知識的形態存在），才能說基本思想成為指引學生進一步進行有效數學學習的思想。

那么，如何讓基本思想成為一種有效的學生角度的理解呢？筆者以為關鍵在于教師的引導。小學數學作為一種帶有啟蒙性質的抽象知識的教學，需要教師的有效引導，而引導的有效與否，又取決于教師的引導策略。筆者的實踐表明，這個過程中還是要從基本思想的基本內容出發，著重做好三個方面：

一是引導學生學會抽象。這個上面已經多次強調，此處不贅述。

二是引導學生學會概括。概括是極為重要的思維能力，也是數學學習當中必需的能力。作為一種基礎性能力，其形成關鍵在于學生能夠處于異求同或者同求異的情境當中，只有當教師以變式的思想給學生提供形非神似的情境時，學生才會具有分析與歸納的動力，而只有有了這樣的動力，概括才有可能發生，有了概括才有可能形成概括能力。從概念的角度來看，數學推理隸屬概括，強調概括的意思是要讓學生能夠在數學推理的基礎上生成對非數學事例的概括能力，這是能力延伸的一種表現。

三是引導學生重視建模。數學建模的特點在于能夠將數學對象用模型來表述，事實上這不僅僅是數學問題解決所需要的一種能力，也是生活問題解決所需要的能力。對于小學生來說，真正需要解決的生活問題并不是很多，但從長遠來看，從基本思想的本義來看，建模有其極端重要性。因此在數學問題得到解決之后，引導學生思考問題何以得到解決，是建模意識形成的重要途徑。同樣，這一過程一般來說是隱性的，讓學生生成意識即可。

綜上所述，小學數學教學中，從雙基到四基，演變的不僅僅是概念，更是小學數學教師對數學教學的理解，是數學教學的靜悄悄的革命。