淺談二重積分下的分部積分法的應(yīng)用

徐森

【摘 要】本文通過(guò)分析一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分中對(duì)于變量的含義，討論了多元函數(shù)環(huán)境下，分部積分法的應(yīng)用思路。通過(guò)一道二重積分的計(jì)算題目，分析了積分變量的確定與認(rèn)識(shí)對(duì)于積分計(jì)算的意義。

【關(guān)鍵詞】二重積分；分部積分法；積分變量

分部積分法是計(jì)算積分的有效方法，但無(wú)論是在教學(xué)環(huán)節(jié)還是學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，都主要強(qiáng)調(diào)了一元函數(shù)微積分下的應(yīng)用，在多元函數(shù)環(huán)境下，則討論的較少。本文以一道研究生入學(xué)考試試題為例，討論在多元函數(shù)微積分下的分部積分法的應(yīng)用。

分部積分法的理論基礎(chǔ)在于微積分之間的互逆關(guān)系進(jìn)行“湊微分”，即利用微分式v'（x）dx=dv（x），進(jìn)行分部積分運(yùn)算，∫uv'dx=∫udv=uv-∫vdu=

uv-∫vu'dx[1]。在一元函數(shù)環(huán)境下，由于只有一個(gè)變量x，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)于積分變量的認(rèn)識(shí)不夠，往往忽視了“對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)”、“對(duì)誰(shuí)積分”的問(wèn)題。但在多元函數(shù)環(huán)境下，變量選擇的問(wèn)題就凸顯了出來(lái)。實(shí)際上，在多元函數(shù)微積分中，微積分之間的“互逆關(guān)系”依然存在，關(guān)鍵是認(rèn)清楚“對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)”、“對(duì)誰(shuí)積分”的問(wèn)題，保證導(dǎo)數(shù)和積分所對(duì)應(yīng)的變量是一致的即可[2]。

本道考題較好的反映了分部積分法在二重積分中的應(yīng)用。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)積分中積分變量的含義，認(rèn)清楚積分變量對(duì)于積分計(jì)算至關(guān)重要，通過(guò)訓(xùn)練可以更加開(kāi)闊學(xué)生對(duì)分部積分法和多元函數(shù)微積分的認(rèn)識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2004：114-157.

[2]孫衛(wèi)衛(wèi)，杜美華.巧用分部積分法求解二重積分[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（4）：1-2.

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