講道理激活學生數學思維的訴求

林　琳　羅鳴亮

常有人說數學姓“思”，“思”在這兒可作“思考、思維”之意，正所謂“思接千載、視通萬里”。奧加涅相在《中小學數學教學法》一書中也提出“區別于傳統的教學，現代教學的特點在于力求控制教學過程以促進學生思維發展”。在新課程的視野下，許多教師都意識到學生數學思維的發展已經成為教學的主要目標之一。但是反觀教學的現實，我們仍然能發現很多“不講理”或“偽講理”的教學，從而導致學生數學思維功能的僵化的現象。那么，講道理對激活學生的數學思維究竟有什么樣的影響、能帶來什么樣的幫助呢？

一、直面“規定”辨“理”，感悟思維的批判性

數學上有許多規定，如：長方形的長乘寬能求出長方形的面積；列小數加法豎式時小數點對齊，而在列小數乘法豎式時末位對齊；在混合運算中先算乘除再算加減等等。大都通過符號、文字或圖形的形式呈現在數學文本上。它既掩蓋了知識發生發展的脈絡，也隱藏了數學家經歷過的直覺、猜想、錯誤、反思、驗證等發現知識的過程。看上去這些規定似乎都是硬邦邦的，需要被重復、被強化。而事實上，數學的許多規定都是有其道理的。對于這些規定雖然不需要學生一一證明，但正如課標指出的：“要讓學生感受規定的合理性，并在這個過程中學會數學思考，感悟理性精神。”在教學中我們可以引導學生以批判的眼光審視“規定”的合理性，透過關注數學規定的表面，去思辨數學規定背后隱含的道理。

如《混合運算》一課，眾所周知，本課就知識而言相對比較簡單，顯性的目標是掌握先乘除后加減的運算順序和遞等式的計算方法，大部分學生都已懵懂知道“先乘除后加減”的計算法則，在學生看似“已經會”的情況下，教師面臨的問題是：如何在看似“平淡”的“未學先知”的計算教學中組織學生參與、互動，并獲得心智、能力以及數學思考的發展？現在的計算教學不再是單純的程序性訓練，每個學生所用的計算方法應該建立在學生深刻理解的數學觀念的基礎之上。教師在教學“先乘除后加減”的算法時應更重視促進學生從算理層面理解算法，這樣學生對算法的掌握才不再是簡單的模仿、機械的套用，而是理解后的應用。

（創設購物情境）

師：你們在二年級時就已經知道了，但現在是四年級，四年級的同學是會講道理的。應該要怎么才能讓我女兒明白先算除法是有道理的呢？同桌先商量商量。

（學生對照具體的購物經驗，說出了為什么先算30÷2的道理。教師引導學生學會從“頭”想問題。要求找回多少元，必須要先求出用去多少錢，因此先要算30÷2，求出一個的價錢）

師：我女兒又去了文具店。請看（出示墨水10元、文具盒7元、記事本3元、鋼筆7元、毛筆5元、圓珠筆3元）

師：她會買什么呢？買的東西總價格列式為7+3×2，你猜她買了些什么？

生：一個文具盒、一本記事本和一支圓珠筆。

生：一個文具盒和2支圓珠筆。

……

師：請想一想，為什么先算3×2是有道理的?

生：因為要求總共花了多少錢，先要算出2件3元文具的價錢，然后再加上7元。

生：先算3×2就是先算3+3。

師：好，請用線段圖把這個算式表示出來。結合線段圖想一想還可以怎么列式？可以怎樣計算？

生：7+3+3。

生：先用7加3等于10,10再加3等于13。

師：（出示：7+3+3+3+3+3+3）現在呢？你們是怎么算出來的？

生：因為這道算式里有6個3，所以先算6×3，然后再加上7等于25。

師：有不同算法嗎？為什么都不從左往右連加呢？

生：太麻煩了！

師：對，先算后面的6個3簡便多了。

師：（100-5-5-5-5-5 -5-5）這個算式呢？

生：100連續減去7個5，就是先把7乘5等于35，再用100減去35等于65。

師：對，這一題可以先算7個5，好，現在回過頭看看7+3×2，你又會怎么說出先算3×2的道理呢？

生：3×2是2個3相加，先求2個3的和，再加7。

生：先求出2件3元的總價錢，再加上7元。

師：（小結）其實每一個算式背后都有一定的故事，而混合運算都是在講述兩個或兩個以上的故事，乘法和除法都是在完成其中的一個故事。

從數學發展史上看，加減是數量變化的低級形式，也是運算上最基本的算法。先有了加減，然后在相同數遞加或遞減的基礎上又產生了乘除。所以，乘法是連加同一數的簡便算法；除法是遞減同一數的簡便算法。這就是說，乘除比加減已經高了一級，在計算效果上，也提高了一步。因此，為了簡化問題，計算方便，就自然地產生了盡量先運用乘除的規定。

在這個案例的教學中非常好地做到了兩點：其一就是讓學生能夠結合具體情境來理解“為什么要先乘除后加減”；同時更挖掘數學的本質內涵，引導學生能結合算式本身的意義來理解算理。具體來說就是先將情境抽象為線段圖，再提升到乘除法的意義，一步步引導學生通過已學的知識分析、探討，并解釋新知算理，循序漸進地引導學生經歷了從現象到本質，從局部到整體的過程，層層遞進，深入理解運算順序的規定是有其深層意圖的。

對于數學中的規定，我們可以從數學知識發生發展的視角加以審視，從直接經驗對學生學習的積極作用加以考慮。學生經過親歷數學規定形成與發展的過程，學會在思維活動中善于估計思維材料、檢查思維過程，不盲從、不輕信，就能實現自我對思維活動各環節、各方面的調整、校正。

二、鼓勵“生疑”追“理”，追溯思維的深刻性

心理學研究表明：學生思考的積極性和深刻性，往往來自于一個對他們來講充滿疑問的情境。因此，在課堂上有時我們可以故意留點疑問，露點破綻，或在講解過程中設置誤區，引起學生的質疑，盡量為學生提供發現問題的機會，促使學生思潮涌動、追根究底。

以《四邊形的分類》一課為例。教師出示一個信封，讓學生自由猜測，當學生猜可能是正方形、長方形、菱形、等腰梯形、平行四邊形時，教師露出信封中圖形的一個角，通過讓學生觀察，再猜信封里可能裝的是什么圖形？學生從最初的泛泛而問到提出要告訴“有幾組對邊互相平行”這一條件的補充，同時說清為什么需要這個提示，初步感知等腰梯形和平行四邊形之間既有共同之處，又有本質區別。看似簡單的猜測，實際背后卻隱藏著豐富的思考。當學生根據兩組對邊互相平行的圖形是平行四邊形時，教師拿出的卻是長方形，此時，學生又陷入了思維沖突中。教師適時拋出一個問題串：它是平行四邊形嗎？為什么？為什么又說是特殊的平行四邊形？特殊在哪？這個長方形也要擺到黑板上去，應該擺在哪？為什么？繼續猜下一個也是兩組對邊分別平行且四條邊都相等，當學生根據提示都激動地搶答是正方形時，教師及時追問：正方形應該擺在黑板上的哪個位置？隨著教師拿出的卻是菱形，鼓勵學生反思為什么猜錯了。

我們可以將自己置身其中想想：假設自己作為學生，遇到這樣的情境，以這樣幾個“為什么”的問題串作為思考的導向，將會收獲什么呢？毫無疑問，在擁有了思考探索的空間后，充分經歷了探究、思考、再探究再思考……一浪接著一浪的思維沖擊！這樣的“生疑”追“理”巧妙地認知了菱形、正方形、長方形、平行四邊形之間的關系，同時大大地提升了數學思維水平。

研究證明，單純的行為參與方式并不能促進學生高層次能力的發展，只有以積極的情感體驗和深層次的思考為核心的學習方式，才能促進學生的主體發展。學生只有經常追問為什么，才有可能將問題的研究引向深入，才能觸及數學的核心。宋朝朱熹曾經說過：“學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進。”作為教師，首先要營造民主寬松的教學氛圍，鼓勵學生質疑問難；其次要引導學生有理有據地求證，幫助學生釋疑解難。這樣一來，學生就可以通過對教師、對他人、對自己、對教材的質疑，冷靜地觀照、審視數學知識，進而使得自己的思維走向深刻。

三、徜徉“多樣”明“理”，激活思維的創造性

每個學生都是獨立的學習個體，他們所擁有的生活經驗、知識經驗、思維經驗不盡相同，這使得學生間的爭鳴變得不可避免。馬克思說：“真理是由爭論確立的。”在數學教學中有意識地引入爭鳴，能引發學生競相迸發智慧的火花，閃現創新的光芒。

以《長方形的面積》為例，在通過測量長和寬計算出長方形的面積為20平方厘米并闡述理由之后，猜面積是20平方厘米的長方形還可以是怎樣的形狀，長可以是幾？寬是幾？

師：老師家里也有一個長方形，面積一樣（20平方厘米），但形狀不一樣，猜猜看我家那個長方形的長和寬可能分別是多少？

生：長是20厘米，寬是1厘米。

師：你是怎么想的？

生：長是20厘米，寬是1厘米，面積就是20平方厘米。

師：你怎么知道面積是20平方厘米？說出你的道理。

生：擺一行，一行20個。

生：還可以長是10厘米，寬是2厘米。

（教師出示課件：）

師：我家的長方形很苗條，你覺得是哪個？為什么？我家的長方形的長有可能比20厘米還長嗎？

生：不能，已經是20平方厘米，再擺下去就是21、22、23……已經是極限了。

生：能的，只要寬改成0.5厘米，長改成40厘米。

師：我家長方形的長有可能比40厘米還長嗎？

生：有可能，長80厘米，寬0.25厘米。

生：只要把寬再變短，長就會更長。

師：那我家長方形的長會有多長？

生：把寬分下去，長可以很長很長，無法計算。

長方形面積計算的核心問題是“求長方形的面積為什么要‘長×寬’”，為了讓簡單的素材發揮最大的效益，以“猜面積是20平方厘米的長方形還可以是怎樣的形狀？”引領學生進行深度對話。作為教師，在課堂上沉下心蹲下身給更多學生發言的機會而不做過早的裁判，鼓勵學生從不同的角度去觀察問題、分析問題，學生在互動交流中重構面積推導的關鍵因素，不斷地被推向了思維的“風口浪尖”，閃動創新之苗。

數學思維過程就是利用數學知識作“工具”解決問題的過程,我們應重視知識的形成過程，以有效活動為支撐，引導學生深思隱藏在數學知識背后的那些深層次的數學之“理”，努力實現學生對數學知識自我把握的確證與表征，從而有效促進“數學理解”，活化“數學思維”。