基于最小二乘擬合的太陽影子定位模型

張印　李偉東　楊洋

【摘 要】本文針對2015年全國大學生數學建模競賽A題[1]中的第2問，依據最小二乘原理，并利用實際測定的參照物的影子長度隨時間變化的數據，建立了確定圖片拍攝地點的優化模型。在Matlab環境下編程求解，得出參照物的經緯度。將此經緯度作為已知數據，重新計算參照物的影子長度，并與實測數據進行對比，發現二者基本吻合。說明模型是合理有效的。

【關鍵詞】最小二乘法；太陽高度角；太陽影子定位模型

1 問題背景及提出

如何確定視頻的拍攝地點和拍攝日期是視頻數據分析的重要方面。其中一種簡單的情形是：根據相關影長數據確定參照物位置，這一技術也稱為太陽影子定位技術。在本文中，根據2015年全國大學生數學建模競賽A題附件1的數據[1]，確定出該地點的位置。

2 影長與時間的函數關系

2.1 影響影長的各個參數

太陽高度角是指太陽光的入射方向和地平面之間的夾角，可以用太陽高度角來估計影子場電影。太陽高度角h與實測地的地理緯度θ，太陽直射角緯度φ，時角Ω滿足以下函數關系式[2]：

太陽直射點每時都在向西移動，每小時移過15度經度，在地理題的計算中可粗略取每天移動0.25度緯度[3]。據此求解出太陽直射角緯度與日期之間的關系，進而通過MATLAB編程，得到了每天太陽直射點的緯度，部分表見表1，在 4 月 18日的太陽直射點緯度為φ=7。

將H，φ中的數據代入（5）中，用 MATLAB 編程計算，我們得到 21 個時間點所對應的經度位置，我們發現，這 21 個經度變化都十分小，故我們經度該位置的經度就選取求出的 21 個經度的平均值，得到 4 個經度，進而得到四個固定直桿可能所處的地理位置：（18.24N，105.9528E），（18.24N，37.4972E），（7.3969N，107.1988E），（7.3969N，36.2512E）。

4 地理位置的檢驗

根據測定的關于x，y 的坐標，我們發現隨著時間的增加，影子長度也在不 斷增加，說明當地時間已經過了正午時間 12：00，而此時的北京時間為 14：42-15：42，結合北京時間以東八區 120 度為標準，每向西 15 度，當地時間往前 1 小時的規律，我們計算出在79.5 E 時，北京時間為 14：52，當地時間恰好為12：00，因此我們所確定的經度必須大于 79.5E。進而確定可能的地理位置為：（18.24N，105.9528E）和（7.3969N，107.1988 E）。

根據地圖確定地理位置為（18.24N，105.9528E）的地點為越南，地理位置為（7.3969N，107.1988E）的地點為泰國灣（為靠近馬來西亞的一個海峽），故這個位置不符合我們的標準，故我們確定的直桿所處位置大致在越南。

5 模型的檢驗

我們將所確定的地理位置代入關于太陽高度角的式子（5）中，畫出 14：42-15：42的影子長度的變化曲線l1，同時擬合出附件 1 中影子長度隨時間變化曲線l2 ，兩者之間的誤差e=||，可以這21個時刻的誤差分別為：0.0004，0.0005，0.0005，0.0006，0.0006，0.0006，0.0006， 0.0006，0.0006，0.0006，0.0005，0.0005，0.0005，0.0005，（下轉第130頁）（上接第136頁）0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004，0.0004。兩條影子長度隨時間變化的曲線（見圖1）。

【參考文獻】

[1]http：//www.shumo.com/2015cumcm.html[OL].

[2]http：//baike.baidu.com/view/86609.htm[OL].

[3]http：//baike.baidu.com/link？url=_aUuZtIGSo3DBZgjWiSGC2NqH9NNBjEcXX37 JYu5MWsF6M22qioNdjuY81eNjeP31LlpvJKTBhf_ePWF9g5CXa#1[OL].

[4]王國安，米鴻濤，鄧天宏，李亞男，李蘭霞.太陽高度角和日出日落時刻太陽方位角 一年變化范圍的計算[J].氣象與環境科學，2007，30：161-163.

[5]http：//wenku.baidu.com/view/f8fb67f481c758f5f61f6749.html？from=search[OL].

[責任編輯：楊玉潔]