相依網絡研究綜述*

老松楊，王竣德，白　亮

(國防科技大學 信息系統工程重點實驗室， 湖南 長沙　410073)

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相依網絡研究綜述*

老松楊，王竣德，白亮

(國防科技大學 信息系統工程重點實驗室， 湖南 長沙410073)

摘要：網絡相依性和相依網絡研究已經成為近年來復雜網絡領域的熱點，但是目前對相關研究進展進行綜合歸納的文獻卻不多見。在對國內外相關文獻進行系統分析的基礎上，簡要介紹相依網絡研究涉及的滲流理論；描述該類型網絡的級聯失效過程；從相依網絡的子網絡特性、相依邊的方向和類型、子網絡組合方式等三個角度對相依網絡魯棒性的研究成果進行總結；并從理論和應用兩方面對未來相依網絡研究的發展方向進行展望。

關鍵詞：相依網絡；級聯失效；滲流理論；魯棒性;綜述

經過幾十年的發展，復雜網絡研究的理論體系已經被逐步建立和完善，但這些理論仍然存在一定的局限性。因為以往對復雜網絡的研究大多建立在孤立網絡的基礎之上，而在現實世界中每個網絡都或多或少地與其他網絡之間存在著各種各樣的關聯，例如物理依附、邏輯依賴、能量或信息交換等，嚴格意義上的孤立網絡其實是不存在的。圖1描述了電力、供水、交通運輸、通信等基礎設施之間的這種聯系[1]。一旦某個網絡中節點發生故障，網絡間的聯系會將故障的影響傳播和放大，并可能影響其他網絡的功能，最終一個很小的故障就有可能對整個系統造成災難性后果[2]。這方面的典型案例就是2003年9月23日意大利大停電事故。

圖1　網絡化基礎設施之間的聯系Fig.1　Connections between network infrastructures

整個事件的起因就是電網中某個節點由于故障而失效，導致與其相連的計算機控制節點斷電，而電網節點向計算機控制節點供電的同時，計算機控制節點也為電力節點提供控制信號。故障發生后因控制網絡無法對電力網絡進行有效調控而使得更多電力節點與電網脫離，最終誘發了全國規模的停電。產生這種現象的根源就是網絡間存在的相依性，具有這種特性的網絡就是相依網絡(interdependent networks)。

相依網絡有很多不同于孤立網絡的性質。在相依網絡中，節點之間存在的相依性使得故障可以跨網絡傳播，導致級聯失效過程通常比單個網絡更加劇烈，使得相依網絡系統的魯棒性較差。再比如在單個網絡中，逐漸移除節點時的滲流過程通常表現為二階形式，也就是說孤立網絡的連通性是逐漸降低的；而在相依網絡中，逐漸移除系統中的節點達到一定比例時會使得系統的連通性發生急劇變化，在時序曲線上表現為一階形式。這些特性都意味著現實世界中相依的網絡化基礎設施在節點發生故障時面臨的風險更高。因此研究相依網絡的這些性質對于設計更加健壯的網絡化系統、提高網絡化基礎設施抵御風險的能力有重要意義。

1主題

2010年，Buldyrev[3]等在Nature上發表了研究相依網絡級聯失效過程的文章，提出了全相依的相依網絡模型，即兩個網絡的節點之間存在一一對應的相依關聯，這種情況下當一個網絡中的節點失效后另一個網絡中與其相依的節點也會失效。相依網絡的級聯失效過程如圖2所示。

(a) 初態(a) Initial state (b) 第一階段(b) Stage 1 (c) 初態(c) Stage 2　(d) 第二階段(d) Steady state圖2　相依網絡的級聯失效過程[3]Fig.2　Cascading failure of interdependent networks

在該模型中，作者假定節點只有處于最大連通子圖(giant component)中才能維持正常功能。若網絡N1中的一個節點被攻擊而失效，則N1中所有與之相連的連邊均被移除，此時N1被分成3個子圖(如圖2(b)所示)。根據假設，N1的非最大連通子圖的節點也失效；由于節點間相依關系的存在，N1中節點失效將導致網絡N2中相應節點失效，進而使N2分成4個子圖(如圖2(c)所示)，N2中非最大連通子團的節點也失效；反過來，N2中失效節點又引起N1中對應的相依節點失效，如此反復迭代至穩態[4]。以上過程就是相依網絡的級聯失效。此外，還利用滲流理論研究了相依網絡的滲流過程從二階相變轉變為一階相變的現象，也就是說隨著失效節點的比例達到某一閾值時，相依網絡的連通性會急劇下降。

這篇文章引領了相依網絡研究的熱潮(如圖3、圖4所示)，此后研究人員分別從相依網絡的子網類型、相依強度、相依類型等角度研究了其魯棒性問題，并對不同攻擊方式下相依網絡聯通性進行了分析，取得了豐碩成果，建立了相對完善的相依網絡理論體系[5]。文獻[6]從理論體系、已有模型和應用范圍等方面對這些成果進行了比較全面的總結。

圖3　每年出版的相依網絡方面的文獻數Fig.3　Published items of interdependent networks in each year

圖4　每年相依網絡方面的引文數Fig.4　Citations of interdependent networks in each year注：以上結果是在web of science中以interdependent networks作為關鍵詞對文獻標題進行查詢得到(截至2015年1月)。

近年來相依網絡魯棒性研究的一般思路是利用滲流理論，結合仿真分析或數學推導(如利用迭代函數研究級聯失效、利用矩陣分析方法研究網絡連通性[7]等)的方法研究相依網絡在隨機或蓄意攻擊下的魯棒性問題[8]。

相依網絡有三個要素：組成相依網絡的子網絡、子網絡間的相依連邊及子網絡的組合方式，現有的相依網絡研究也多是從這幾個方面展開的。因此接下來在介紹相關理論的基礎上從上述角度對相關研究作以下綜述。

1.1相關理論

滲流理論(percolation theory)是目前研究相依網絡的常用方法，最初用來描述流體在隨機介質中運動特性[9]。在復雜網絡方面，該理論最早被用來研究無限大二維正方形網格的連通性問題：以概率p隨機地占據網格上的點，當兩個被占據的點相鄰時稱其是連通的。連通點的集合稱為連通子圖。當p較小時，網格上只會存在一些孤立子圖；但當p超過某一數值時，各個孤立子圖則會形成連通的極大子圖，相應的數值就是滲流閾值Pc。以上過程反過來看，就成了在一個網絡中移除一定比例的節點后分析網絡的連通性、進而研究網絡魯棒性的問題。隨機移除網絡中比例為1-p的節點(即每個節點被移除的概率為1-p)，當移除比例大于滲流閾值Pc時，網絡中的極大連通子圖存在的概率為P∞最終降為0。滲流過程中還伴隨著滲流相變現象，滲流相變可分為二階相變、一階相變。在時序曲線上二級相變一般為連續曲線，而一級相變為不連續曲線，即在臨界值處會發生跳躍突變的現象，如圖5所示。

圖5　一階和二階滲流相變示意圖[10] Fig.5　Schematic demonstration of first and second order percolation transitions

1.2相依網絡的子網絡

子網對相依網絡魯棒性的影響主要通過子網絡類型及節點數、平均度等特性得以體現。

組成相依網絡的子網絡類型有很多種：ER(Erdos-Renyi)網絡、RR(Random Regular)網絡、SF(Scale Free)網絡、BA(Barabási-Albert)網絡、WS(Watts-Strogatz)網絡等。這些網絡作為子網組成的相依網絡的魯棒性表現不盡相同。現有研究表明，在除子網類型外的其他條件相同時，RR-RR相依網絡的魯棒性比ER-ER相依網絡好[11]，ER-ER相依網絡比SF-SF相依系統魯棒性好[12-13]。這幾種相依網絡的魯棒性可以歸納為RR-RR>ER-ER>SF-ER>SF-SF。這是子網絡中節點度分布決定的——只考慮節點度分布的影響時，子網絡的度分布越均勻，其組成的相依網絡的魯棒性越好[14]。度分布越不均勻，魯棒性越差。對于SF網絡，當其度分布極不均勻時，由其構成的相依網絡在單個節點失效時整個相依網絡也可能完全崩潰[15]。

除了網絡類型和度分布外，子網絡的其他性質，如節點數、平均度[16]、網間相似性等對相依網絡的魯棒性也有一定的影響。

對于節點數量來說，子網絡的節點數量越多，相依網絡在滲流閾值Pc處的相變過程越劇烈。極限情況下，當子網絡節點數量為無窮大時，該過程表現為一階形式。此外子網絡的平均度對相依系統的魯棒性也有影響，平均度越高，魯棒性越好。例如Hu[17]等發現在完全相依的ER網絡中，隨著平均度增大，相依網絡的級聯效應逐漸減弱。

網間相似性(inter-similarity)是指子網絡內部節點度高的節點間傾向于產生相依關聯。例如世界范圍內的港口和機場網絡組成的相依系統，重要的港口節點傾向于同重要的機場連接(這里相依關聯是指地理位置相同)。Parshani[18]，Hu[17]等用仿真和解析方法研究了港口-機場組成的相依網絡系統，發現兩個網絡的內部相似性越高，整個系統在面對隨機失效時的魯棒性就越好。該結論說明通過提高節點度較高節點間相依連邊的可靠性(如添加冗余)可以有效提高系統的魯棒性，這種特性可以指導設計更健壯的網絡化系統。

1.3相依網絡的相依邊

相依邊的物理意義是子網絡之間的物質能量信息交換等關聯關系。相依邊是相依網絡存在的基礎，也是影響相依網絡魯棒性最直接的因素。相依邊主要通過其方向、類型及比例等屬性影響整個相依網絡的魯棒性。

1.3.1相依邊方向

根據實際網絡之間節點的依賴關系可以把相依網絡模型中的相依連邊分為有向和無向兩種。Fu[13]等研究了有向相依系統和無向相依系統的滲流過程，證明了當其他條件相同時，相依連邊有向的相依網絡魯棒性比相依連邊無向的相依網絡差。

造成這種現象的原因是有向系統中更有可能產生更長的相依鏈(dependency chains)。相依鏈是指在兩個子網A，B組成的相依模型中，A中節點u支持B中節點v，v反過來又支持A中節點w(w≠u)，如此往復形成的相依節點集。相依鏈上節點的故障會通過相依鏈在子網之間傳播，還有可能擴散到與相依鏈相連的其他節點中，引起故障的級聯，降低系統的魯棒性。有向系統中的相依鏈往往比無向系統中更長，從而使得故障在網絡間更加有效地傳播，因此有向相依網絡的魯棒性較差。

1.3.2相依邊類型

相依邊類型有連接邊(connectivity links)、依賴邊(dependency links)兩種。連接邊的作用是連接不同網絡的節點，使得相依網絡的子網絡能夠協同工作；依賴邊表示某個節點的功能依賴于其他節點。據此可以把相依網絡分為三類：子網絡間只存在依賴邊的相依網絡；子網絡間只存在連接邊的相依網絡；子網絡間同時存在依賴邊和連接邊的相依網絡。

1)只存在依賴邊。Buldyrev[3]等研究了網絡間只存在無向依賴邊且節點之間具有一一對應關系的情形；Bashan Amir[19]等用解析方法分析了依賴邊的分布對網絡魯棒性的影響；Shao[20]等認為實際網絡中節點的對應關系不是一一對應的，而是一對多或多對多的。基于此提出了具有多重依賴關系的相依網絡模型并研究了該類相依網絡的滲流過程，最后得出結論：當相依網絡的子網絡之間依賴邊的平均度很大時，該相依網絡模型的滲流特性與單個ER網絡類似。

2)只存在連接邊。2010年，Leicht[21]等研究了網絡間只存在連接邊的相依網絡的滲流理論，結果顯示，這種情況下增加子網絡間的連邊可以有效降低滲流閾值，提高網絡的魯棒性。這與只存在依賴邊的網絡的性質剛好相反。

3)同時存在依賴邊和連接邊。Hu[22]和Zhou[23]等利用滲流理論研究了同時包含依賴邊和連接邊兩種類型的相依網絡的性質，觀察到了一階、二階混合相變的滲流相變現象。Amir Bashan[11]等研究了兩個平均度都為k、規模為s的ER網絡組成，且兩個ER網絡之間同時包含依賴邊和連接邊的相依網絡。在移除比例為1-p的節點后，該相依網絡依然存在最大連通子圖的概率可表示為：

P∞=ps-1[1-exp(-kpP∞)]s

(1)

1.3.3相依邊比例

相依邊比例表征相依網絡中具有相依關系的節點對的數量，可以用相依網絡之間的相依強度進行度量。

相依網絡的相依強度q指的是相依網絡中有相依關系的節點所占的比例：q=0對應于網絡之間無相依關系，q=1表示子網絡間完全相依，即節點之間具有一一對應的相依關系。Parshani和Zhang等通過研究指出，當網絡之間的連接強度從0到1逐漸增加時，相依網絡的滲流相變過程會由連續的二階相變演化為跳變的一階相變[24-25]。比如對于RR網絡組成的相依網絡，當網絡之間的相依強度較小時，相依網絡的滲流過程表現為平滑的二階相變，但隨著相依強度增大則逐漸演變為一階相變。

Zhou[26]等對兩個SF網絡組成的相依網絡進行研究發現，這種相依網絡的相依強度q存在兩個臨界值q1和q2(q1

1.4相依網絡的組合方式

在早期開展研究中，研究人員大多從比較簡單的模型入手，通過研究由兩個子網絡構成的相依網絡模型的滲流特性和魯棒性特點。隨著研究的深入，有學者從子網絡規模和組合方式的角度對相依網絡模型進行了拓展，目前這方面的一個研究重點就是網絡組成的網絡——多層網絡(Network Of Networks，NON)的魯棒性。

圖6　相依網絡的組合方式Fig.6　Combination modes of interdependent networks

目前研究較多的是由ER，RR等網絡作為子網絡，以鏈形、星形、樹形或環形組合方式組成的NON的性質，如圖6所示。圖中每個節點表示一個子網絡，邊表示子網絡之間的相依關聯，這里相依邊可以是有向也可以是無向的[27-28]。

1.4.1鏈形、星形

對于鏈形、星形組合方式組成的相依網絡，利用滲流理論研究其魯棒性可以得到結論：在這兩種組合方式下，相依網絡的滲流閾值和極大連通子圖規模相同，并且極大子圖存在的概率可以表示為：

P∞=p[1-exp(-kP∞)]n

(2)

對于ER網絡組成的星形NON，存在一個相依強度的臨界值——當相依強度大于這個臨界值時NON的滲流過程為一階相變，反之則為平滑的二階相變狀態[29-31]，并且級聯失效后存在最大連通子圖的概率取決于星形網絡的拓撲結構。

1.4.2樹形

根據子網絡的不同類型，Gao[32]等研究了由RR和ER網絡組成的兩種樹形NON的滲流特性。對于n個平均度為k的ER網絡組成的NON，移除一定比例節點后存在極大連通子圖的概率為：

P∞=p[1-exp(-kP∞)]n

(3)

而對于由n個平均度都為k的相依RR網絡組成的樹形NON，移除比例為1-p的節點后，存在最大連通子圖的概率為：

(4)

在極限情況即子網絡個數n=1時，樹形NON在pc處的滲流過程為二階形式，而n>1時則為一階相變。此外在相同條件下，RR網絡組成的樹形NON魯棒性比ER網絡組成的樹形NON更好，并且在ER型NON中關于子網絡平均度k存在臨界閾值kmin(n) (與子網絡個數n有關)。當子網絡平均度小于此閾值時，即使只有一個節點失效也會導致整個NON的崩潰。但由RR網絡構成的樹形NON不存在這樣的閾值。

1.4.3環形

對于圖6(d)所示的環形NON：由n個平均度都為k的ER網絡組成，各個子網具有相依關系的節點比例q都相同，且相依邊的方向也一致。當對每一個子網絡中的節點都移除同樣比例1-p的節點時，可以得到最大連通子圖的概率滿足：

P∞=p[1-exp(-kP∞)](qP∞-q+1)

(5)

1.4.4其他組合方式

除以上方式外，對于其他組合方式也有人做了一些探索，Buldyrev[33]等研究了由ER子網絡組成的RR型相依網絡——由n個ER網絡組成，每個子網都依賴于其他m個子網的魯棒性和滲流特性。與環形組合方式分析過程類似，假定每個子網初始失效節點的比例都為1-p，子網間具有相依關系的節點比例q都相同，則這類相依網絡級聯失效后的極大連通子圖與子圖的個數無關，可表示為：

(6)

對比式(2)～(6)可知：鏈形、星形和樹形NON在級聯失效后最大連通子圖的存在概率與子網個數有關，并且在節點失效比例等初始條件相同的情況下，網絡的滲流閾值和級聯失效后存在極大子圖的概率也相同。但環形以及RR型NON級聯失效后的最大連通子圖存在的概率與子網個數無關[27]。

2結論

在網絡化基礎設施相依關聯逐漸加強的背景下，從相依網絡的概念被提出到現在，研究人員逐步分析了不同子網類型、不同相依方式及強度[34]、不同攻擊方式下相依網絡的特性。近兩年又對不同子網類型、不同組合方式、不同耦合強度等條件下網絡相依性對NON魯棒性的影響進行了探討。在應用范圍上，相依網絡研究已經逐漸從最初的網絡化基礎設施設計和優化[35]、安全操作和控制[36-38]等方面，拓展到了如生理系統、生態學、流行病傳播[39]、氣候變化、信息擴散[40]、經濟網絡、交通網絡等其他很多方面，為人們理解社會、自然的內在運行規律提供了一種理論手段。

綜上所述，我們可以對今后該領域研究的大致方向進行預測，具體可以概括為以下兩方面：

1)理論方面。節點或邊上加上權值以表示節點或邊的容量、負載、失效概率等物理含義的加權相依網絡魯棒性分析仍是目前該領域研究的一個薄弱環節[41-43]。另外現有研究模型的規模多是固定的，而現實世界中網絡大都處于動態演化的狀態，因此考慮節點或邊演化的動態相依網絡性質也應該給予足夠的重視[44]。其他如孤立網絡的各種動力學行為在相依網絡中的表現、節點的空間約束對相依系統的影響等也是今后該領域研究的潛在熱點[45]。

2)實踐應用方面。目前所建的相依網絡模型對實際系統的描述能力有限。以往開展的相依網絡研究大都從理論角度出發，沒有把目光集中于實際相依網絡的分析建模上，所建模型與現實世界中的系統沒有緊密聯系。因此，從現實出發、根據實際系統的特點和數據進行相依網絡分析應該成為今后的研究重點。此外，網絡相依性理論在如社會學、經濟學、生態學、生理系統等新領域的應用也應成為下一步關注的重點。

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Review of the interdependent networks

LAOSongyang,WANGJunde,BAILiang

(Science and Technology on Information Systems Engineering Laboratory, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：In recent years, the network dependency and interdependent networks have become a research hotspot in the field of complex network, but literature about the overview of related research progress is still very rare. Based on the systematic research of domestic and overseas literatures, the percolation theory of the interdependent networks was briefly introduced, and the cascading failure process of the interdependent networks was described. Then the related progress was summarized from three aspects that can affect the robustness of interdependent networks: characteristics of sub network, type of dependency edge, the combination of sub networks. Finally, the future development direction of interdependent networks was prospected in both theoretical and practical aspects.

Key words：interdependent networks; cascading failures; percolation theory; robustness; overview

中圖分類號：O231;O157.5

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)01-122-07

作者簡介：老松楊(1968—)，男，廣東佛山人，教授，博士，博士生導師，E-mail：laosongyang@vip.sina.com

基金項目：國家自然科學基金資助項目(60902094)

*收稿日期：2015-01-30

doi:10.11887/j.cn.201601020

http://journal.nudt.edu.cn