探究明理感受數學魅力
——《判斷2、3、5的倍數特征》一課的教學與說明

羅鳴亮

【課前思考】

在一次教學研討活動中，觀摩了一位教師執教的《3的倍數特征》一課。課中有學生質疑“3的倍數為什么要看各個數位上的和”，教師一帶而過；課后追問現場教師是否知道背后的道理，均都搖頭否定。這引起了筆者的思考——師生是不是只要知道3的倍數特征就行了？這個道理是否能在課堂上讓學生明白透徹？

帶著思考，查閱幾套版本教材，發現教材在教學2、3、5倍數特征這一內容時，幾套教材均借助百數圖，讓學生通過觀察，尋找到2、3、5倍數的特征，但是對于其特征背后的道理，并無進一步探究，僅是在最后以“你知道嗎”“百花園”等欄目，做簡單的介紹。再查閱臺灣版教材，筆者看到教材利用數形結合的方式，借助對方格圖進行平均分，讓學生明白：判斷這個數是不是3的倍數，就是要把每個數位上表示的數，3個3個分，分剩下的再合起來分進行判斷的。141就是把1個百、4個十都分別3個3個分，分剩下的1和4再加上個位的1得到“1+4+1”的判斷方法。這樣的處理，從倍數的本質特征入手，不僅讓學生知道該怎么判斷3的倍數，而且理解為什么這么判斷的道理，讓學生明明白白地學數學。

“好的數學教學，是把數學知識、數學方法、數學思維、數學思想融為一體的教學。”我們是否以探究這一知識背后的道理為載體，設計一節拓展課，讓學生深入明白知識的來龍去脈。這既是對已有知識的有效拓展，又有效激發學生對數學知識的探究欲望，讓學生在探究中真正感受數學學習的魅力，以培養學生的理性精神。

【教學目標】

1.學生通過自主提出問題，借助小組討論、舉例說等方法，探索解決“為什么判斷2、5的倍數只要看個位，而判斷3的倍數要看各位上數的和”這一規律背后的道理。

2.在自主探究、交流互動中培養學生解決問題的能力，發展推理能力，積累數學活動經驗，滲透抽象、推理、符號化等數學思想。

3.激起學生對數學知識本質的探究欲望，感受數學的理性精神。

【教學過程】

一、喚醒舊知，產生新問題

師：前不久，我們學了 2、3、5的倍數的特征。判斷一個數是不是5的倍數，怎么判斷？

生：看一個數的個位上是不是0或5。

師：那么3呢？

生：所有數位上的數字相加是3的倍數。

師：是的，5的倍數看個位，3的倍數看各個數位的和，對比一下，你有新的問題產生嗎？

生：它們的公倍數是誰？

師：學過了嗎？那就不是問題了。還有嗎？

（學生沉默）

師：剛才說過了，5的倍數看個位，3的倍數看的是各個數位，我女兒學完這節課以后，她提出了一個問題，你猜她會提什么問題？

生：為什么5的倍數只要看個位就行了，而3的倍數為什么要看全部位數？

師：這個問題提的好嗎？

生：好。

師：好在哪？

生：把3和5的倍數之間的判斷方法之間作了比較，產生新問題。

【說明：“提出問題比解決問題更重要”，從已有的知識入手，讓學生在比較中提出新的問題，培養學生的質疑能力。】

二、感悟判斷5、2倍數特征的道理

1.初步思考，嘗試尋找答案。

師：我們先看第一個問題，為什么判斷一個數是不是5的倍數只要看個位數？其他數位都不用看呢？同桌之間先討論一下，說一說，看看怎么解決這個問題？

師：一組一個代表，誰先來？

生：比如說兩個5相加，它末尾是0，偶數個5相加，得數的個位是0；奇數個5相加，得數的個位是5，所以5的倍數個位只能是0或5。

(學生鼓掌)

師：都同意了？有沒有不同意見？或者補充呢？

生：我和我的同桌還有一種判斷方法，就是一個奇數乘以5，它的個位一定是5；一個偶數乘以5，它的個位一定是0。

師：想想看，我們提出的問題是：為什么判斷這個數是不是5的倍數為什么只看個位呢？而其他數位都不用看呢？

生：我認為它或許是因為十位、百位、千位、萬位等位數都是由個位進過來的，所以只需要看個位。

師：誰聽明白了？

生：我有補充，就是除了個位外，其他數位上的數表示的末尾都是0，百位表示幾百，末尾有0，十位表示幾十，末尾也有0。有0的就是5的倍數，而那個只要看個位是不是5的倍數就可以了。

2.舉例講理，初步理解道理。

師：你真聽懂了？誰能說清楚？

生：我認為應該是可以把它分成幾部分，比如說是1995，可以把它分成1000、900、90和5，1000可以被5整除。

師：聽懂的請舉手。真好，有些同學聽懂了，有些同學沒聽懂，怎么辦？想想看，如何讓大家都能聽懂？

生：我可以舉個例子，比如說1995，可以把它分成4部分，分別是 1000、900、90、5，然后1000是5的倍數，900也是5的倍數，90也是，5也是5的倍數。

師：聽明白了？還有不懂的嗎？重要的事情——

生：說三遍。

師：好，你可以到黑板上寫一寫，掌聲請他。

生：（寫 1995），我把 1995分成四部分，然后再用1000除以5，可以算出它是5的倍數，然后再用900除以5，它也是5的倍數，然后90和5也是同樣的。

師：那為什么你只看個位，其他位不用看呢？

生：因為它們的個位都是0，都是5的倍數，所以不用看。

3.數形結合，直觀理解道理。

師：我們一起來理解他所說的，這里（十位）寫個1,1是5的倍數嗎？是還是不是？1怎么會是5的倍數呢？

生：因為這個1在十位上，10是5的倍數。

師：對不對？掌聲送給他！是的，這個1（課件出示），5個5個地分，剛好分完。

師：（在計數器上撥3個珠子）現在呢？是不是5的倍數？為什么是？

生：因為它表示3個十。

師：現在不讓大家看見，（教師隱藏計數器，在十位上撥任意珠子）現在呢？是不是5的倍數？你沒看到，怎么知道是呢？

生：因為十位上無論撥幾個珠子都能被5整除。

師：為什么？

生：因為每個十都是由2個5組成的，十位表示的是有幾個十，一個十有2個5，不管幾個十都能被5整分。

師：真好。那我現在不在十位撥了，百位是1，是5的倍數嗎？講道理，為什么？

生：100里面有10個10，然后10是可以被5整除的，10個10也能被5整除。

師：對，猜猜接下來我會在哪一位上撥？

生：（興奮地喊）千位。

師：確定？對不起，你們都猜錯了。我為什么不在千位上撥了？

生：千位和百位、十位都一樣，因為1000是由10個100組成，而100能被5整除。

師：真好，是的，那么千位還用看嗎？（不用看）猜猜，我接下來撥哪一位？

生：個位。

師：（隱藏計數器，在個位上撥任意珠子）現在呢？怎么啦？

生：不一定是5的倍數。

生：因為如果你個位撥了1個的話，不是5的倍數，在個位撥5才能是5的倍數。

生：或者你沒撥，就是0，就沒必要分了，一定是5的倍數。

師：同學們說得真有道理。我們一起來看看剛才撥了幾個？6個珠子，5個5個地分，還余1個。現在你明白了為什么判斷是不是5的倍數只看個位，其他數位不用看的道理了嗎？

生：因為其他數位上的數表示的是幾個十、幾個百、幾個千……，它們一定是5的倍數，所以不用看。

4.方法遷移，明白判斷2的倍數特征的道理。

師：5的道理是這樣，想想看，誰和5的道理是一樣的？

生：2。

師：為什么？

生：因為它的十位，如果1個十的話，它里面就有5個2，100里面就有50個2，1000就是500個2，所以十位、百位、千位都不用看。個位不撥的時候，或者撥 2個、4個、6個、8個，然后才能是2的倍數，其他都不是2的倍數。

師：說得好嗎？

師：是的，他剛才講的1個十里面可以分成5個2，不僅講到百，還講到千了，是吧？所以判斷2的倍數的道理和5的道理是一樣的。

【說明：數學思想和數學活動經驗要在過程中實現，只有經歷解決問題的過程，才能體會到數學思想的精髓，才能感悟數學思想和方法，從而積累數學活動經驗。在此環節中，通過學生自主探究2的倍數這一特征的道理，讓其借助舉例、畫圖等直觀方式，學生從表述不清晰的說理，到結合舉例實例說理，到最后借助板書，根據數的組成，清楚地表達出自己的觀點，逐步推理出判斷2的倍數只要看個位數的道理，我們看到學生的思考在逐步深入，逐步完善。】

三、明晰判斷3的倍數的道理

1.反思總結，積累經驗。

師：5、2的道理都明白了，但是判斷3的倍數為什么不能只看個位呢？

生：因為3個3個分結果是不確定的，可能是0，可能是1，可能是2等等，所以不能看個位，得總體來看。

師：為什么不確定？為什么要總體來看呢？

生：就是因為10不能被3整除，100不能被3整除，1000也不能被3整除。它有余數，所以必須和最后的個位加起來判斷。

師：你聽懂了沒有？他說的和你說的有什么不一樣？

生：他是從10出發來考慮的，因為10可以組成百、千、萬等等。

師：真好！你解讀好了，他為什么懂得從10考慮，你怎么沒想到？

生：大概是我沒反應過來吧，沒結合2和5，所以我以后考慮問題應該全面點。

師：會反思的孩子，掌聲送給他！

2.合作探究，互動說理。

師：這位同學結合2和5的經驗來思考。你看，10個珠子3個3個分？剩1個，那就產生了我們要解決的第二個問題，是什么？想自己研究嗎？（想）你準備怎么研究？

生：舉例子，尋找規律。

師：真好，會用剛才的方法來探究了。我已經給大家準備了探究單，在抽屜里，請拿出來，先獨立思考，再同桌商量，最后小組交換意見。

師：好，誰來說說你們的想法？

生1：我先舉個例子，比如說12，我們先把10拆分開，用10除以3它還余下了1，這個1再加上個位上的2就等于3，可以被3整除，所以12這個數是3的倍數。

師：聽懂的請舉手，有什么問題要問他的嗎？

生2：是所有十位以上的整數都是除以3后余下1嗎？

生1：是每個十除以3都余下1。

生2：那300呢？

生 1：300可以分成 3個100，100除以3余下了1個1，3個100就余下了3個1。

師：這個同學不得了，你舉的12，他一下子舉出更大的數。沒關系，我們先來看看12，剛才把12分成10和2,，你看，10個珠子，把10個珠子3個3分余下1個，為什么要加2？

生：因為個位還沒有算，所以要1＋2。

師：哦，1加2的1表示什么？這個1是哪來的？

生：是10除以3之后余下來的1。

師：余下的這個1有沒有被分掉？那為什么要加2呢？

生：因為個位上有個2，再加10除下來的1，又可以湊起來。

師：聽懂了嗎？那好，22我們是怎么判斷的？

生：首先把這個22的20分成2個10，1個10除以3后它就會余下1個1，2個10除以3后也會余下來2個1，然后加上個位的2，2+2=4，4不能被3整除，所以4不是3的倍數。

師：同意嗎？這個同學還用框框表示出，這里的兩個2是不一樣的。一個表示2個十，一個表示分剩下的2個一再加2個。掌聲祝賀她，你可以驕傲地走回去。

師：要不要來個大一點的？42我們怎么判斷？（4加2）

生：4個十3個3個分，就余4個1,4個1加上個位上的2，是6,6可以被3整除，就是3的倍數，

師：同意嗎？

生：我想給他補充一下，4個10它能分成4個9，4個9加4。9是能被3整除的，所以4乘9肯定能被3整除的。余下來的4加上末尾的2是6，6也能被3整除。所以他們表述的4個1，是40剩下來的4個1。

師：你們有沒有聽明白？為什么大家都覺得同意了，他還要補充呢？補充的和它有什么不一樣呢？3個十怎么會余3呢？

生：每個十余1，3個十就余3。

師：那這個3不是還可以分嗎？

生：現在先不分，把它留到最后面分。

師：所以你一直要強調？

生：把它分成4個9余4。

師：在大家的互相補充中，我們又有些新的認識，要不要換個大一點的數？

師：誰來講道理？142怎么判斷？為什么呢？

生：因為100除以3，除不盡，有余數。（停頓思考）

師：對了，那“142”里的這個1與底下的“1+4+2”的1一樣嗎？

生：不一樣。

師：有什么不一樣？

生1：上面的1表示的是1個百，下面的1表示的是余下來的1。

生2：1個百3個 3個分，分了99個，還余1個。

師：這里的4呢？

生：1個十3個3個分，余1個，4個十就余4。

師：那你明白“1+4+2”的道理了嗎？

生：就是1個百3個3個分余1個，4個十3個3個分余4個，把余下來的1個、4個還有個位的2個合起來再一起分，如果能分完就是3的倍數，如果不能分完就不是3的倍數。

3.符號抽象，明晰道理。

（教師板書：abc）

師：這個數咱們怎么判斷是不是3的倍數呢？同桌之間先小聲地說一說。

師：孩子你上來。（掌聲）

生：先算a除以3等于多少，看它余下來多少，再算b除以3等于多少，看它余下來多少，最后看c除以3等于多少，看它余下來多少。

生：a個百余下來是a，b個十就是余下來b,c個一就是余下來c。

師：為什么要把它加起來呢？

生：合在一起分，看看是不是能分完，就能判斷是不是3的倍數。

【說明：學生經歷5、2倍數特征的道理探究后，再探究3的倍數特征時，已具有研究經驗和研究方法做支撐，探究就變得有道可循。為此，本環節在學生合作探究、交流中，加上教師關鍵的追問，得出為什么3的倍數要看各位上數的和的道理。讓學生在反思、抽象、概括中，內化為自身的活動經驗，最后借助符號總結歸納，完成論證推理過程，從中獲取成功的喜悅。】

四、反思總結

師：想想看，今天這節數學課與平時有不同的地方嗎？

生：平時的數學課不往里面挖的，這節課我知道了為什么3的倍數這樣判斷。我知道了它里面究竟是什么意思，我也知道了2和5的倍數的意思，我覺得我這節課收獲挺大的。

生：我覺得平時我們上數學課老師直接教我們方法，這節課我們是尋找為什么要這樣做。刨根問底，歸納方法。

生：……

【說明：借助反思，讓學生感受到數學不僅要知其然，還要知其所以然，進一步感受數學學習的獨特魅力。】

【課后思考】

教學的最高境界是在教給學生知識與方法的同時，還要讓學生在探究知識的過程中感悟和領悟數學中所蘊含的數學文化、數學思維、數學態度、數學精神。令學生悟之得“智”，真正變得聰慧起來。教師在課堂教學中，應該借助具體的數學知識為載體，讓學生在探究知識的來龍去脈中，領略、感受數學學習的魅力！