下層獨立的一主多從雙層隨機線性規劃問題研究

紀斌　童小嬌　耿玉蘋

摘 要 Herminia I.Calvete等研究了一主多從雙層確定性線性規劃問題，證明了這類問題等價于一類常規的雙層線性規劃問題.本文在此基礎上，推廣確定型的問題到隨機型優化情況，考慮了一類下層優化相互獨立的一主多從雙層隨機優化問題（SLBMFP）.在特定的隨機變量分布條件下，理論上證明了該類問題可以轉化為一主一從雙層確定性優化問題.本文的研究對于求解一主多從雙層隨機優化模型，解決此類模型在實際應用中的問題具有一定的意義.

關鍵詞 雙層規劃；一主多從；隨機優化

中圖分類號 O010224 文獻標識碼 A

1 引 言

雙層規劃是一種具有雙層遞階結構的系統優化問題，其中上下兩層優化分別擁有各自的決策變量、目標函數和約束條件，一般來講，上層決策者（Leader）知曉下層決策者（Follower）的信息，下層根據上層給出的決策信息進行決策，上下兩層的策略選擇和目標實現根據下層的反應做出符合自身利益的最終決策.雙層規劃問題具有層次性、獨立、沖突性、制約性以及依賴性的特點.

經濟學家Von Stackelberg在1952年首次提出了雙層規劃問題，20世紀60年代，Dantzing和Wolf提出了求解大規模雙層線性規劃的分解算法.70年代期間，受Stacklberg博弈模型在市場經濟研究中的影響，雙層規劃問題的研究開始受到數學界和應用界的重視.Bracken和McGil在1973年給出了雙層規劃模型的一般結構，其后Bracken和McGill提出了一類“約束中含有優化問題的數學規劃”，即多層規劃問題.1977年Candler和Norton在他們的研究報告中首次提出了雙層規劃和多層規劃的概念.Candler等先后提出了雙層規劃及多層規劃的一般數學模型[1].M.Taran和E.Roghanian[2]利用KT條件處理多目標雙層規劃問題.J.Ma等[3]通過粒子群算法解決了基于顧客流失所建立的一主多從雙層規劃模型.C. Shi等[4]和E.Ansari等[5]分別用拓展的KT法和K次最好法求解一主多從雙層規劃模型.在實際應用中，大量決策系統都處于復雜多變的環境，系統參數往往具有不確定性，由此建立的優化模型為不確定型優化問題.此類不確定決策問題的研究具有更廣泛的背景和更符合實際的應用價值.Patrikssion和Wynter首次將隨機參數引入到多層決策問題中，提出了帶有均衡約束的隨機規劃.劉寶碇系統研究了雙層隨機規劃問題，在文獻[6]中，他提出了隨機期望值規劃模型、隨機機會約束規劃模型以及隨機相關機會規劃模型，分別對三種模型定義了Nash均衡解和StackelbergNash均衡解的概念.高金伍和劉寶碇[7]提出了一般的雙層隨機規劃模型，給出了求解模型的Nash均衡解和StackelbergNash均衡解的混合智能算法.

目前，對于雙層隨機優化問題的研究相對較少，尤其在模型求解方面，其算法主要是利用混合智能算法，求解相對復雜，難度比較高。但雙層隨機問題在解決實際問題中的應用廣泛，于是文章考慮下層具有多個相互獨立隨從的雙層隨機線性優化問題（SLBMFP），通過一類特殊的隨機變量分布情況，得到了機會約束的顯示表達式，首先將原模型轉化為一主多從雙層確定型規劃問題，然后進一步把一主多從雙層規劃問題轉化為一主一從雙層規劃模型，運用文獻[1]類似的方法，理論證明了原模型與最終的模型等價，使得對雙層隨機規劃問題的求解轉變為求解雙層確定性規劃問題，降低求解的復雜度.

2 將SLBMFP轉化為

一主多從雙層確定型規劃問題

下層隨從相互獨立的一主多從雙層隨機線性規劃模型（stochastic linear bilevel multifollower programming：SLBMFP） （1）為：

4 結 論

文章在文獻[1]的基礎上，推廣確定型的雙層優化問題到隨機型雙層優化問題.研究了下層隨從之間相互獨立的一主多從雙層隨機線性規劃問題，在特定的隨機變量分布情況下證明了這類問題可以被轉化成一類常規的雙層確定性規劃問題，使得對雙層隨機規劃問題的求解轉變為求解雙層確定性規劃問題.由于目前對雙層隨機模型的研究相對很少，對于它們的求解主要局限于智能算法，相對比較復雜，而針對雙層確定性模型的求解，已經有相當的算法，求解起來相對簡單容易很多，因此文章的結果對于求解雙層隨機模型，解決此類模型在實際應用中的問題具有一定的意義.

文章針對的是線性情況的研究，在非線性情況下（如二次情況）是否可以得到類似的結論，或在隨機變量滿足其他類型的情況下是否有相似的結論，這些是我們繼續的研究問題.

參考文獻

[1] HI Calvete，CGalé. Linear bilevel multifollower programming with independent followers[J]. J Cllral of Global Optimization， 2007，39（3）：409-417.

[2] M TARAN，E ROGHANIAN. A fuzzymutiobjective multifollower linear bilevel programming problem to supply chain optimization[J].Uncertain Supply Chain Management，2013，1： 193-206.

[3] Y GAO ，G ZHANG， J LU， et al.A bilevel decision model for customer churn analysis[J]. 2013，30（3）：583-599.

[4] C SHI，J LU，G ZHANG.Model and extendde KuhnTucker approach for bilevel multifollower decision making ireferentialuncooperative situation[J].J Global Optimal，2007，38 （4）：597-608.

[5] E ANSARI，H Z REZAI.Solving multiobjective linear bilevel multifollower programming problem[J].Industrial. Mathematics，2011，3（4）：303-316.

[6] 劉寶碇.不確定規劃及應用[M].北京，清華大學出版社，2003.

[7] B Liu，K Yao.Uncertain multilevel programming：algorithm and applications[J].Computers&Industrial; Engineering，2014，89：235-240.

[8] 朱慧明，韓玉啟.矩陣正態統計分布的一個性質[J].經濟數學，2004，21（4）：355-360.