三角形中的不等問題舉例

■山東省棗莊二中 仲崇輝

以解三角形為載體,考查運用三角變換、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知識和方法求取值范圍或求值的大小,要求同學們有較強的邏輯思維能力、三角恒等變換能力以及準確的計算能力。同學們解這類問題時要認真審題,利用相關知識將條件轉化為三角形的邊角條件,利用正余弦定理將問題轉化為三角形的邊或角的函數問題,再利用基本不等式或函數求值域的方法處理。

最容易出現的錯誤:①沒進一步確定角的范圍,從而出錯;②在求最值時沒有結合三角函數圖像求最值,而是直接代入角范圍的兩端點值,從而出錯。

一、關于三角形中邊的代數式的范圍（最值）問題

點評:對于三角形中邊的代數式的最值問題,若是三角形中最大(小)邊長問題,先根據角判定三邊的大小關系,再用正弦定理或余弦定理求解;若是關于兩邊以上的齊次代數式,能求得兩邊的和或積為常數,可以利用基本不等式求最值,也可以利用正弦定理化為求對應角的三角函數式的最值,常用題中條件和三角形內角和定理化為一個角的三角函數式的最值問題,利用三角公式化為一個角的三角函數在某個范圍上的最值問題,然后利用三角函數圖像與性質求最值,要注意角的范圍。

二、關于三角形中角的三角函數式的范圍（最值）問題

例2 (2016年高考北京理數)在△ABC中,a2+c2=b2+2ac。

(1)求B的大小;

(2)求2cos A+cos C

的最大值。

解析：(1)由余弦定理及題設條件得:

點評:對于三角形中角的三角函數式的最值問題,若是三角形中某個角的余弦的最值問題,常用余弦定理化為邊,再利用基本不等式求最值;若是含有多個角的三角函數式的最值問題,常用題中條件和三角形內角和定理化為一個角的三角函數式的最值問題,再利用三角函數圖像及其性質求最值,但要注意角的范圍。

三、關于三角形面積的最值問題

例4 (2018年棗莊第三次聯考)如圖1,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=b(sin C+cosC)。

(1)求B的大小;

圖1

點評:對三角形中面積的最值問題,若一角為定值,常用余弦定理及基本不等式求出這個角兩邊積的最值,再利用面積公式求出面積的最值;也可以利用正弦定理化為求角的三角函數式的最值問題,常用題中條件和三角形內角和定理化為一個角的三角式函數最值問題,再利用三角公式化為一個角的三角函數式在某個范圍上的最值問題,利用三角函數圖像及其性質求最值,要注意角的范圍;若鄰邊的積為定值,先求出夾角的正弦值的取值范圍,即可求出三角形面積的最值。