借助圖形建模讓規(guī)律感知更清晰
——《間隔排列》教學(xué)及思考

○王建生

借助圖形建模讓規(guī)律感知更清晰
——《間隔排列》教學(xué)及思考

○王建生

●圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是學(xué)習(xí)的工具。“間隔排列”一課運(yùn)用形象的圖形語言，建立抽象的規(guī)律模型，為學(xué)生今后探索更多規(guī)律積累了經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)和結(jié)果是模型化。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程總是循著“具象”操作到半具體、半抽象的“表象”操作，最后達(dá)到“抽象”操作的結(jié)果。借助圖形，建立模型，運(yùn)用模型進(jìn)行抽象，可以幫助學(xué)生更好地抵近規(guī)律的學(xué)習(xí)本質(zhì)，更清晰地表達(dá)、理解和運(yùn)用規(guī)律。

一、挑戰(zhàn)中感受規(guī)律，讓探索成為自主之需

師：同學(xué)們，喜歡小動(dòng)物嗎？今天老師帶大家到小兔的家看一看。

師：從圖中你看到哪些物體？

生：小兔和蘑菇；木樁和籬笆；夾子和手帕。

師：這三組對(duì)應(yīng)物體的排列都有相同的特點(diǎn)，有怎樣的特點(diǎn)呢？

師：我們先來觀察小兔與蘑菇，如果這樣排列，你能直接看出是蘑菇多還是小兔多嗎？

生：不能。

師：如果這樣排列呢？

生：容易多了。

師：為什么下面的排列比上面的更容易看出誰多？

生：因?yàn)橄旅娴臄[法有規(guī)律。

師：真有數(shù)學(xué)的眼光，從數(shù)學(xué)的角度看，下面的排列比上面的有規(guī)律。今天我們就來學(xué)習(xí)這里的規(guī)律。

有沒有規(guī)律，只有在對(duì)比中才能更深切地感受，為了突出“規(guī)律”，我們課上首先展示的是沒有規(guī)律的排列圖，再出示有規(guī)律的排列圖。以哪一種排列能直接看出小兔多還是蘑菇多為切入，通過無與有的對(duì)比，放大認(rèn)知沖突，從而激發(fā)自主探索規(guī)律的興趣，加深對(duì)規(guī)律排列的感知和理解。杜威說：“最好的一種教學(xué)，牢牢記住學(xué)校教材和現(xiàn)實(shí)生活二者相互聯(lián)系的必要性，使學(xué)生養(yǎng)成一種態(tài)度，習(xí)慣于尋找這兩方面的接觸點(diǎn)和相互關(guān)系。”這句話告訴我們，教學(xué)需要在學(xué)生直接面對(duì)知識(shí)的路徑教學(xué)之外，做出豐富和完善的改進(jìn)，也就是教學(xué)不是直接讓學(xué)生面對(duì)抽象而缺乏生動(dòng)感、意義感的知識(shí)，而是引導(dǎo)學(xué)生投身蘊(yùn)含問題的生活情境，對(duì)生活中的問題進(jìn)行探索，在問題解決中建構(gòu)新的知識(shí)。

二、共建中凸顯規(guī)律，讓表達(dá)獲得形象詮釋

師：剛才我們觀察了三組物體，它們都有共同的規(guī)律：你能用這里的圓和正方形，或者點(diǎn)和線段把共同的規(guī)律擺出來嗎？

師：拿出課前發(fā)到的信封，用里面的圓片和正方形擺一擺。同桌互相看一看。

師：圓和正方形，誰到屏幕上擺？

（生展示思考結(jié)果。）

師：點(diǎn)和線段誰到屏幕上擺？

（生展示思考結(jié)果。）

師：我們先來看圓和正方形，屏幕上的擺法能表達(dá)剛才的規(guī)律嗎？

（生沒有異議。）

師：除了個(gè)數(shù)不同外，還有不同的擺法嗎？老師在黑板上這樣擺，可以嗎？

生：可以。

師：屏幕上與黑板上的圓與正方形，個(gè)數(shù)不同，兩端的物體也不同，為什么都可以表示剛才的規(guī)律呢？你是怎么判斷的？

生：（1）圓與正方形一個(gè)間隔著一個(gè)，最后一個(gè)是圓；（2）每相鄰兩個(gè)圓之間都有一個(gè)正方形。

師：圓與正方形跟點(diǎn)和線段根本不同，為什么也可以表示規(guī)律呢？

生：（1）點(diǎn)與線段一個(gè)間隔著一個(gè)，最后一個(gè)是點(diǎn)；（2）每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間都有一根線段。

師：看來，不管用什么形式，最主要的是反映出這兩條規(guī)律。（1）兩種物體一個(gè)間隔著一個(gè)，最后一個(gè)與第一個(gè)相同；（2）相鄰兩個(gè)第一種物體中間有一個(gè)第二種物體。

學(xué)生分步觀察小兔與蘑菇、木樁和籬笆、夾子和手帕的排列規(guī)律后，三組物體整體觀察，然后用圓和正方形、點(diǎn)和線段，分別在屏幕和黑板上表示三組物體的共同規(guī)律,借助于圖形，讓規(guī)律具體化，形象化，不但突出了規(guī)律的結(jié)構(gòu)特征，去掉了無關(guān)細(xì)節(jié)的干擾；同時(shí)圖形是可以用眼睛看的，使學(xué)生利用相對(duì)容易的直覺推理；最后，圖形可以再現(xiàn)情境或現(xiàn)實(shí)，而后者是認(rèn)識(shí)的源泉。

數(shù)學(xué)抽象事實(shí)上是一個(gè)模式化的過程。模式化的一個(gè)重要特征，就是“去情境化”“去時(shí)間化”和“去個(gè)性化”。用圓和正方形、點(diǎn)和線段，分別表示三組物體的共同規(guī)律，就是用一個(gè)模型來概括三組物體排列的共同特點(diǎn)，形成半具體、半抽象的圖式模型，為抽象規(guī)律的建構(gòu)提供支撐。從實(shí)物圖到幾何圖，再從幾何圖上升到線段圖，這一步步提升的過程就是逐步建模，模型不斷簡化的過程。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就是學(xué)習(xí)如何建模，而模型也是有層次的。在這里，我們從實(shí)物圖入手，但不止于實(shí)物圖，在實(shí)物圖的基礎(chǔ)上通過幾何圖、線段圖，形成一定的表象，進(jìn)一步上升到抽象的言語表達(dá)，學(xué)生對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)到達(dá)觸摸本質(zhì)的深度與高度。

三、運(yùn)用中深化規(guī)律,讓內(nèi)容自然豐滿

師：小兔家的三組物體之間都有這樣的規(guī)律。其實(shí)生活中的一一間隔還有第二種情況（出示兩端不同的一一間隔模型），比一比，誰能發(fā)現(xiàn)老師的擺法跟剛才的擺法之間有什么聯(lián)系？

生：都是一個(gè)隔著一個(gè)排列。

師：數(shù)學(xué)上把這兩種情況都叫做一一間隔。

師：又有什么區(qū)別呢？表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上的區(qū)別是——

生：上面是兩端一樣（兩端物體數(shù)=中間物體數(shù)）；下面是兩端不一樣（兩種物體個(gè)數(shù)相等）。

間隔在生活中有多種表現(xiàn)形式，本課要學(xué)習(xí)的是兩端不封閉的。兩端不封閉的又有兩種情況，第一種是兩端相同，這是本課學(xué)習(xí)的主體；第二種是兩端不同，這是本課學(xué)習(xí)的補(bǔ)充。說第二種是補(bǔ)充，是因?yàn)榈谝环N只有在與第二種的對(duì)比中才能更體現(xiàn)出數(shù)量上的差異，學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，才更加需要判斷推理，所以及時(shí)把第二種一一間隔補(bǔ)充完整，讓規(guī)律進(jìn)一步深化。

數(shù)學(xué)思維離不開判斷，只有選擇的不同，才有判斷的必要。在后面實(shí)際問題的解決中，首先要判斷的是否是一一間隔，是哪一種一一間隔。只有確定好哪一種，才能根據(jù)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系解決問題，所以，及時(shí)把一一間隔知識(shí)結(jié)構(gòu)補(bǔ)充完整，正是基于從發(fā)展學(xué)生思維的角度出發(fā)，把知識(shí)學(xué)習(xí)歸納到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的根目錄之下。規(guī)律如何使用與什么情況下使用構(gòu)建成一個(gè)完整的知識(shí)鏈，避免了只埋頭拉車不抬頭看路的規(guī)律學(xué)習(xí)弊端。

四、反思中提升規(guī)律,讓本質(zhì)順勢升華

課堂思考：小兔和蘑菇排成一行，如果相鄰兩只小兔中間有2個(gè)蘑菇，那么6只小兔中間一共有多少個(gè)蘑菇？

追問：通過做這一題，你對(duì)這里的“一個(gè)隔著一個(gè)排列”是怎么理解的？

點(diǎn)撥：這里的“一”不但可以指“一個(gè)”，還可以指“幾個(gè)組成的一個(gè)整體”。

關(guān)于拓展題有兩種選擇，一種是本課學(xué)習(xí)內(nèi)容的綜合運(yùn)用，如貼瓷磚，長方形和正方形的瓷磚一一間隔排列，一共有81塊瓷磚，問長方形瓷磚有多少塊？另一種是本質(zhì)上的拓展，男、女生一一間隔排列，每相鄰兩名女生中間站2名男生，問6名女生中間一共占了多少男生？最終我們選擇了第二種。因?yàn)榈诙N更能反映一一間隔的本質(zhì)，幫助學(xué)生加深對(duì)間隔的點(diǎn)數(shù)與段數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。

為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這里的“一”，不但指“單個(gè)的一”，還可以指“幾個(gè)組成的一個(gè)整體”，從而建構(gòu)起更有包容性的間隔問題的解題模型，最后我們還是采用了小兔與蘑菇作為素材，主要是為了幫助學(xué)生盡可能減少不必要的外部因素干擾，便于問題實(shí)質(zhì)的比較。同樣的小兔與蘑菇排成一行，小兔不變，蘑菇由“1個(gè)”變成“2個(gè)”，帶來的是什么沒變，什么變了，從而更有利于學(xué)生加深對(duì)其中模型的理解。