一個超混沌Lorenz系統的Hopf分岔分析

劉　暢, 張　莉, 秦　爽

(1. 信陽職業技術學院, 河南　信陽　464000; 2.蘭州工業學院基礎學科部, 甘肅　蘭州　730050;

3.蘭州交通大學數理學院, 甘肅　蘭州　730070)

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一個超混沌Lorenz系統的Hopf分岔分析

劉暢1, 張莉2, 秦爽3

(1. 信陽職業技術學院, 河南信陽464000; 2.蘭州工業學院基礎學科部, 甘肅蘭州730050;

3.蘭州交通大學數理學院, 甘肅蘭州730070)

[摘要]分析了一個超混沌Lorenz系統,并且對其平衡點的局部穩定性和Hopf分岔的存在性進行研究，通過非線性動力學理論研究該系統Hopf分岔周期解的穩定性；最后通過計算機仿真證明理論分析的正確性.

[關鍵詞]超混沌系統;Lyapunov指數;Hopf分岔;范式理論

自上個世紀Lorenz在一個三維自治系統中發現混沌吸引子以后[1],在研究混沌理論及其應用的過程中,混沌理論的研究價值及其他的應用價值不斷被學者們所認識,對混沌系統運動研究的關注越來越多.伴隨著科學技術的發展以及對混沌理論的逐步深入研究以及工程實際的需要,學者們相繼提出各種各樣的非線性混沌系統.袁地[2]構造了一個不同于Lorenz系統和Chen系統的三維連續自治混沌系統,并且對系統在不同參數時所產生的復雜動力學現象進行分析.劉俊紅[3]討論了一類新型混沌動力學系統的自適應控制及同步問題,實現了在不同初值且參數未知情況下的自適應同步.高智中[4]構造了一個新的四維超混沌系統,并用數值模擬方法研究該系統的相圖、分岔圖、Lyapunov 指數譜等動力學行為. 文獻[5]設計了一個二次非線性控制器,可以把具有潛在威脅的亞臨界Hopf分岔轉化成為超臨界Hopf分岔. 文獻[6]通過Washout-filter方法設計了一個Hopf分岔狀態反饋控制器,在保持平衡點不變的情況下,使得非線性系統在期望的參數值處將原來發生的亞臨界Hopf分岔轉化為超臨界Hopf分岔,并且保證了系統在參數值范圍內是漸近穩定的. 杜文舉等[7]基于Washout濾波器對一類Vander Pol-Duffing系統設計了狀態反饋控制器，研究了控制增益對Hopf分岔的存在性及其極限環幅值的影響. Dang等[8]提出了一個超混沌Lorenz系統，設計了兩類非線性控制器實現了該系統的同步,并且根據Lyapunov穩定性理論證明了系統的全局漸進穩定性.但文獻[8]并沒有系統研究Hopf分岔.本文運用中心流行理論和范式理論，更進一步對系統的Hopf分岔行為進行研究.

1新的四維混沌系統

本文主要研究一個新的四維混沌系統[8].該系統的狀態方程如下：

(1)

其中x=(x,y,z,u)Τ∈R4是系統的狀態變量,a,b,c,m為實參數.當參數a=35,b=7,c=12,d=3,m=5時,系統(1)存在一個混沌吸引子,如圖1(a)所示.此時，系統(1)的時間響應圖、龐加萊截面圖、Lyapunov指數譜圖，如圖1 (b)、圖1(c)和圖1(d)所示.

圖1　(a) 三維空間吸引子圖;(b)系統時間響應圖;

2平衡點分析和Hopf分岔的存在性

令方程組(1)的右邊等于零，則有

a(y-x)=0,bx+cy-xz+u=0,

-dx+xy=0,-mx=0.

(2)

可以解得系統有唯一的平衡點E0=(0,0,0,0).

系統(1)在E0=(0,0,0,0)的Jacobian矩陣為

(3)

所以,求得系統(1)在平衡點E0處Jacobian矩陣的特征方程為

f(λ)=(λ+d)[λ3+(a-c)λ2+

(m-ab-ac)λ+am]=0

(4)

根據Routh-Hurwitz判據, 知方程(4)的一切根的實部為負數的充要條件是不等式

d>0,a>c,am>0,m-a(b+c)>0,

(a-c)(m-ab-ac)>am

成立.所以,當滿足以上條件時,平衡點E0漸近穩定.

令λ=iω(ω>0)為方程(4)的根,則有

-iω3-(a-c)ω2+(m-ab-ac)iω+am=0

分離以上方程的實部和虛部可得

以及方程(4)的4個特征值為

λ1，2=±iω0,λ3=-d,λ4=c-a.

對方程(4)兩邊同時關于m求導,有

(5)

根據上式可得

根據Hopf定理[8],可知m0便是分岔的臨界值. 當mm0時,有極限環出現.綜上所述,系統(1)發生局部的Hopf分岔.假設a>0,b>0,c<0,m>0,a+c>0,當m穿過臨界值m0時,系統(1)在平衡點E0處發生Hopf分岔.

3周期解的方向及其穩定性

以下利用Hassard等在文獻[9]中提到的范式理論,對系統(1)Hopf分岔所分支出的周期解的方向及其穩定性做進一步研究.通過計算可以得出

Jυ1=iω0υ1,Jυ3=-dυ3,Jυ4=(c-a)υ4

的特征向量

對系統(1)定義如下矩陣

P=(Reυ1,-lmυ1,υ3,υ4)

和變換

(x1,y1,z1,u1)T=P(x2,y2,z2,u2)T

從而有

(6)

其中，

F4(x2,y2,z2,u2)=-kmc(a-c)x2z2+ka(a-c)2u2z2,

k1=ak(a-c)[(a-c)(b+c-1)+m],

k2=ω0k[(a-c)3+ma],

k5=k(a3-2a2c+ac2-a2+2ac-c3),

k7=-kmc[m+(a-c)(b+c-1)],

k9=k(a-c)[(a-c)(a2-ac)+a-ab+c2+2mc],

應用Hassard等在文獻[9]中提出的方法,進而我們有

通過解方程

Dw11=-h11,(D-2iω0I)w20=-h20,

可得

其中，

基于上面的分析和計算可得

=0,

因此,可以得到下面的表達式

μ2決定Hopf分岔的方向:當μ2>0(μ2<0)時,Hopf分岔是亞臨界的(超臨界的),并且如果m>m0(m0)時,周期解在中心流形上是穩定的(不穩定的).τ2決定周期解的周期:如果τ2>0(τ2<0),則周期是遞增的(遞減的).因為當a>0,b>0,c<0時,則有Re(λ′(m0))>0.因此,如果Re(C1(0))>0(Re(C1(0))<0),則系統(1)在平衡點E0的Hopf分岔是超臨界的(亞臨界的),并且周期解在中心流形上是穩定的(不穩定的).

4數值仿真

為了驗證以上理論分析,選取一組參數:a=3,b=2,c=-1,d=3.可以通過計算得出Hopf的臨界值m0=12. 當m>m0時,則平衡點是穩定的; 當m0,τ2=-0.068 593<0, 則系統(1)在平衡點E0的Hopf分岔是超臨界的,當m

圖2　當(a,b,c,d)=(3,2,-1,3)時的平衡點穩定情況：

5結論

本文對一類超混沌Lorenz系統的Hopf分岔行為進行研究，通過理論分析對系統平衡點的穩定性進行研究，選取適當的分岔參數證明了系統Hopf的存在性，而且進一步分析了Hopf分岔周

期解的方向及其穩定性，并通過計算機仿真給出分岔參數變化時系統的相圖，數值仿真和理論分析吻合,證明了理論分析的正確性.

[參考文獻]

[1]LORENZEN.Deterministicnonperiodicflow[J].J.AtmosphericSci, 1963, 20: 130-141.

[2]袁地.一個類Lorenz系統的混沌動力學分析[J].安陽師范學院學報,2009(2): 26-30.

[3]劉俊紅,楊萬利,鄭素文.一類新型混沌動力學系統的自適應控制及同步研究[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2010,24(4):91-94.

[4]高智中.一個新超混沌系統及其線性反饋同步[J].中山大學學報, 2012, 51(6):31-34.

[5]李鵬松, 陳書吉，呂雪，等．單參數電力系統亞臨界Hopf分岔控制[J]．吉林大學學報(理學版), 2013,51(4): 618-622.

[6]安袆春,張慶靈,張艷，等.基于Wash-out-filter方法控制非線性系統Hopf分岔[J]．東北大學學報(自然科學版), 2008, 29(10):1318-1384.

[7]黨紅剛,何萬生,郭麗峰. 超混沌Lorenz系統的同步[J]．重慶工學院學報(自然科學版), 2008,22(11):104-106.

[8]杜文舉,張建剛,俞建寧,等. 基于Washout濾波器的VanderPol-Duffing系統的Hopf分岔控制[J]．吉林大學學報(理學版)，2014,52(3): 568-574.

[9]HASSARDBD,KAZARINOFFND,WANYH．TheoryandapplicationsofHopfbifurcation[M].London:CambridgeUniversityPress, 1981.

(責任編輯吳強)

Hopf bifurcation analysis of a hyperchaotic lorenz system

LIU Chang1, ZHANG Li2, QIN Shuang3

(1. Xinyang Vocational & Technical College, Xinyang He’nan 464000, China;2. Basic Courses Department， Lanzhou Institute of Technology, Lanzhou Gansu 730050, China;3. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

Abstract：The paper mainly focuses on the analysis of a hyperchaotic Lorenz system. The local stability of equilibrium is analyzed and existence of Hopf bifurcation is established. The stability of bifurcating periodic solutions is studied by nonlinear dynamic theory. Finally, numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

Key words：hyperchaotic system; Lyapunov exponents; Hopf bifurcation; normal form theory

[中圖分類號]O415.5

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0014-05

[通訊作者]秦爽(1992—) , 女，黑龍江大慶人，碩士，主要從事非線性系統動力學及其控制方面的研究.

[作者簡介]劉暢(1983—), 女, 河南信陽人，助教,主要從事非線性動力學方面的研究.

[基金項目]國家自然科學基金項目(61364001).

[收稿日期]2015-09-17