螺桿鉆具馬達線型的優化設計

陳　欣， 趙　娜

(沈陽工業大學理學院， 遼寧　沈陽　110870)

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螺桿鉆具馬達線型的優化設計

陳欣， 趙娜

(沈陽工業大學理學院， 遼寧沈陽110870)

[摘要]應用齒輪嚙合理論原理，采用三次樣條函數作為擬合曲線進行數值分析，得到離散的定子與轉子共軛線型.以簡單函數尋找解析解的方法為基礎，擴散到以數值分析為基礎尋找優化解的范圍.將簡單函數求解法與三次樣條插值法進行比較，證明了優化方法的有效性與可行性.

[關鍵詞]馬達線型；優化；轉子；定子；螺桿鉆具

螺桿機械是以共軛螺旋曲面嚙合為工作原理的一類高技術機械裝備.單螺桿馬達是一類應用非常廣泛的單螺桿動力裝置.它將液體(泥漿)的勢能轉換成轉子的動能，實現對鉆具轉子鉆頭的驅動.定子和轉子是螺旋機械的重要零件，線型是指單螺桿馬達的轉子和定子在橫截面中的曲線形狀.螺桿端面線型對鉆具的性能影響較大，因此端面線型的設計需遵循嚴格的要求：密封性能佳、傳動性能優、工藝性能好.

目前，在國際上排在前三名的單螺桿鉆具生產制造企業是美國斯倫貝謝公司、美國貝克休斯公司和美國哈里伯頓公司.在單螺桿機械設計制造方面，這些公司的定轉子線型設計一直沿用1939年法國人莫諾提出的用數學解析方程式表示的共軛曲線作為定轉子廓形的傳動設計理論.

從定轉子的線型優化設計到螺旋曲面的成型理論及制造工藝方法，國內外學者都做了大量的理論和應用研究，但在單螺桿機械內螺旋定子截面廓形檢測方面國內外沒有相關報道.近期，沈陽工業大學國家科技園在單螺桿動力裝置優化設計方面通過對注膠后的內螺旋定子進行檢測，根據檢測結果重新設計出新的轉子線型，這樣加工出的轉子和注膠后的定子就能達到理想的嚙合，大幅度提高了螺桿副的嚙合精度.

本研究主要是在數控加工技術可以滿足任意三維離散表面和二維曲線的成型要求，以及計算機輔助技術解決了復雜共軛嚙合方程及超越函數數值求解[1]的基礎上，應用嚙合理論建立螺桿鉆具馬達線型方程，選用三次樣條函數作為擬合曲線，以數值分析為基礎求離散的數值優化解的范圍，最終實現螺桿鉆具馬達線型的優化設計.

1螺桿鉆具馬達線型的理論基礎

1.1嚙合理論基礎

單螺桿馬達是螺桿鉆具的主要動力部件，馬達總成是由轉子和定子兩個基本部分組成的容積式動力機械.然而，轉子和定子能夠形成一個容積式馬達應具備以下基本條件[2]：

(1)密封條件：定轉子曲面應組成空間共軛封閉，即轉子、定子副必須大于馬達的最小長度，并具有合適的間隙值；

(2)連續下移條件：轉子連續轉動能導致密封腔沿軸向向下連續移動；

(3)隔離條件：轉子、定子副能形成相互分隔的密封腔，即：轉子在定子的任何位置時過流截面能分成確定的互不連通區域；

(4)消失條件：當轉子在定子中運動時，各個區域的大小能從最大變為零.

轉子、定子副在工作時，定子固定不動，而螺桿馬達螺旋轉子在定子內作偏心距為e的平面行星運動，定子曲面就是在這種確定的相對運動條件下轉子螺桿曲面的包絡曲面.

在平面行星運動中，假設轉子為5頭螺桿，定子為6頭螺桿，轉子與定子中心距為偏心距e，讓定子保持不動，轉子在繞自身回轉中心作順時針方向自轉運動的同時，又繞定子襯套中心作方向為逆時針的公轉運動.運動過程中，轉子與定子在任何位置都有若干個嚙合點，每個嚙合點的位置連續變化，所形成的嚙合線是一條連續曲線.于是，轉子和定子能夠嚙合的條件為：

(1)轉子與定子的頭數比為N/(N+1)；

(2)轉子與定子具有相同的偏心距e；

(3)轉子與定子的導程比為N/(N+1)；

(4)轉子與定子的嚙合線連續.

1.2三次樣條曲線

在實際生產中，端截面廓形往往不能用解析方程式的形式給出，而是通過設計、測量、實驗得到離散點坐標(xi，yi)(i=0,1，…，n)進行描述.可先將離散數據點進行曲線擬合，構成端面的近似截面曲線，再形成空間螺旋面.將曲線擬合成連續曲線的方法有很多種，但由于有些實際問題要求二階導數連續，且在節點處只給出函數值，不給出導數值，同時保證曲線光滑性較好，因此，插值方法的選取主要考慮三次樣條函數[3，4].

設[a，b]上有插值節點a≤x0

(i)S(x)∈C2[a，b](C2[a，b]代表[a，b]上二階導數連續的函數集合)；

(ii)S(xi)=yi(i=0,1，…，n)；

(iii)S(x)在每個小區間[xi，xi+1](i=0，1，…，n-1)上是三次多項式；

則稱S(x)為三次樣條插值函數.在采用三次樣條擬合螺旋曲面廓形時，需保證擬合段內曲線的橫坐標x保持單調性.如果被擬合曲線的橫坐標x不單調，可采用分段擬合法對每個小區間進行分段處理.

由上述定義可知，S(x)在每個小區間[xi，xi+1](i=0，1，…，n-1)內為一個三次多項式，需確定4個待定系數；共有n個小區間，故需要確定4n個系數.根據S(x)∈C2[a，b]，在節點xi(i=0,1,…,n)處應滿足連續性條件：

S(xi-0)=S(xi+0)

S′(xi-0)=S′(xi+0)(i=0，1，…，n-1)

S″(xi-0)=S″(xi+0)

共有3n-3個條件，再加上S(x)滿足插值條件S(xi)=yi(i=0，1，…，n)，總共有4n-2個條件.要想唯一確定S(x)還必須附加兩個條件.通常在[a，b]的兩端點a=x0，b=xn給出約束條件(稱為邊界條件)[5，6].因為螺桿轉子各段齒形間是圓弧連接，所以本文采用的邊界條件為：

(1)

2螺桿鉆具馬達共軛線型的優化設計模型

2.1螺桿鉆具馬達的共軛線型模型

如圖1所示，設轉子的齒頂曲線CR是已知的光滑連續函數，CS是與其共軛的定子曲線，M0是兩曲線在初始位置的嚙合點；φR、φS為獨立運動參數；轉子和定子自初始位置分別轉過φR、φS后曲線CR和CS到達CR′和CS′的位置.此時，兩曲線上必有某接觸點M′是轉子齒廓與定子齒廓的公共點.

圖1　定子與轉子的共軛嚙合運動

由齒輪嚙合原理，螺桿鉆具馬達轉子與定子齒廓的共軛嚙合方程[7，8]為：

(2)

定子共軛線型的通用方程[9，10]為:

θ∈[-θcr，θcr]

(3)

θ∈[-θcr,θcr]

(4)

其中：

γ是轉子齒頂曲線CR上任意點的切線矢量τR與x1軸的夾角，e是定子與轉子的偏心距.

p=xsinγ-ycosγ.

2.2 螺桿鉆具馬達線型的優化設計

在螺桿馬達中，描述共軛副的基本特征的參數主要是綜合曲率、過流面積和相對滑動率三項.本文以最大綜合曲率、最大相對滑動率和過流面積最大為目標函數，以無曲率干涉、具備足夠的齒形接觸強度和共軛線型的光滑連續性為約束條件來建立優化模型.

2.2.1目標函數

minF(X)=Wρmax(ρRS)+Wηmax(ηRS)+

WA(-ASR)

式中，

這里，Wρ、Wη和WA為權重系數，Wρ+Wη+WA=1；KR、KS分別為轉子曲線CR和定子曲線CS的相對曲率.

ψ=[df(θ，φR)/dφR]+ζ[df(θ，φR)/dθ]，

ξ=-(i·H)/[i(dRt/dθ)].

2.2.2約束條件

(1)無曲率干涉

轉子共軛曲線CR和定子共軛曲線CS在任意嚙合點的誘導曲率[11-14]KRS為：

對于嚙合的轉子和定子，在嚙合點的鄰域內無曲率干涉的充要條件是：

KRS<0，

則其約束方程應為：

M1(X)=ψ<0.

(2)具備足夠的齒形接觸強度

為了保證轉子和定子的共軛線型具有足夠的耐磨性和抗疲勞強度，令

M2(X)=[(ρRt)min/ρRt]-1≤0，

M3(X)=[ρRt/(ρRt)max]-1≤0，

M4(X)=[(ρRr)min/ρRr]-1≤0，

M5(X)=[ρRr/(ρRr)max]-1≤0，

M6(X)=[(ρSt)min/ρSt]-1≤0，

M7(X)=[ρSt/(ρSt)max]-1≤0，

M8(X)=[(ρSr)min/ρSr]-1≤0.

其中，ρRt、ρRr、ρSt、ρSr分別是轉子齒頂、轉子齒根、定子齒頂、定子齒根的曲率半徑.

(3)共軛線型的光滑連續性

轉子齒頂Rt(θ)是預先給定的光滑連續曲線，雖然它滿足數學理論，但未必在實際工程應用中適用，通常存在干涉現象，需要進行幾何修形.為了滿足齒形的密封和嚙合原理，則在分界點需滿足二階導數連續的條件，即(1)式成立.

3實例分析

假設某螺桿鉆具，轉子與定子的頭數比是5∶6，定子與轉子的偏心距e=9 mm，其轉子齒根的最小直徑是(ΦRr)min=86 mm，定子齒頂的最大內徑是(ΦSt)max=140 mm.應用優化模型及優化設計程序，對轉子與定子的共軛線型進行計算研究.表1的3種線型方案分別是：普通內擺線外等距曲線，普通漸開線曲線，三次樣條離散曲線.

表1　線型優化設計結果的比較(令WH=Wη=WA=1/3)

比較表1中的各項數據，可得到如下結論：

(1)表1中的數據表明，對于幾何參數相同的螺桿馬達，本文采用的三次樣條離散曲線方法求得的轉子與定子的共軛線型的最大綜合曲率和最大相對滑動率指標均最小，即嚙合性能最佳.同時，其共軛線型的過流面積也比普通簡單函數的線型要大，可滿足低轉速大扭矩螺桿鉆具馬達的技術性能條件.

(2)選用普通內擺線外等距曲線、普通漸開線曲線這樣的簡單函數作為轉子齒頂廓形的生成線，都存在不同程度的打扣和曲率干涉現象，很難得到定子與轉子的共軛線型，實際應用中需要進行修正.詳細研究發現，干涉點均出現在分界點處，因為這兩種線型在分界點處的一階和二階導數不光滑連續.

由此可以推論：若利用三次樣條離散曲線的方法，采用分段連續的轉子廓形，螺桿鉆具馬達將會獲得嚙合性能較佳和過流面積較大的定子與轉子共軛線型.

4結語

(1)本文運用嚙合原理，建立螺桿鉆具馬達共軛線型通用方程組，構造的優化設計數學模型對內嚙合傳動副具有普遍的適用性.

(2)本文采用優化設計方法，將采用三次樣條函數作為原始廓形曲線，所求得離散的定子與轉子共軛曲線和普通擺線類與漸開線類曲線相比，線型光滑連續，無干涉現象發生，嚙合性能指標好，過流面積大，最大綜合曲率和最大相對滑動率小，是一種很有前景的線型方案.

(3)本文以數值分析為基礎，尋找離散數據點的數值優化解的范圍，區別于傳統螺桿鉆具馬達定子與轉子的共軛線型的優化，為優化設計提供了新的思路和方法.

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(責任編輯穆剛)

Research of optimum design method with positive displacement motor linear

CHEN Xin, ZHAO Na

(School of Science, Shenyang University of Technology, Shenyang Liaoning 110870, China)

Abstract：The application of theory of gear meshing principle, using cubic spline function fitting curves, to the numerical analysis, the discrete conjugate linear of stator and rotor is obtained. Based on the simple function for analytical solution method, spreading to the base of the numerical analysis the range of optimized solution is obtained. Compared with the simple function solving method and cubic spline interpolation method, the effectiveness and feasibility of the optimization method are verified.

Key words：motor linear; optimization; rotor; stator; positive displacement motor

[中圖分類號]O29

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0023-04

[作者簡介]陳欣(1963—)，女，山東蓬萊人，教授，博士，主要從事工程數學、復雜曲面制造技術、曲面反求理論等方面的研究.

[收稿日期]2015-06-27