冪的運算幾點提示

周海燕

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冪的運算幾點提示

周海燕

“冪的運算”是初中生必須掌握的基礎知識，也是一項基本的計算技能.更是同學們學好后續(xù)知識的保證，如整式的運算和因式分解都以“冪的運算”為基礎知識.為了讓學生能較好地學習本章，對此作了如下幾點提示：

一、冪的運算與生活的密切聯(lián)系

數(shù)學知識不是孤立的數(shù)字游戲，它是源于生活的，“冪的運算”同樣也是來源于生活的.如同底數(shù)冪的乘法中有這樣一個現(xiàn)實問題：“一種電子計算機每秒可進行1014次運算，它工作1013秒可進行多少次運算？”再比如課本上的例2：一顆衛(wèi)星繞地球運行的速度是7.9×103m/s，求這顆衛(wèi)星運行1 h的路程.再如“冪的乘法與積的乘方”中如何解決黑板上寫不下100個104的連乘等，使大家體會生活數(shù)學中的“大數(shù)值”.同底數(shù)冪的除法與科學計算中的負指數(shù)也有很多生產(chǎn)、生活中的應用實例，如課本例4在顯微鏡下，一種細胞的截面可以近似看成圓，它的半徑約為7.80×10-7m，試求這種細胞的截面面積.還有納米與微米換算等，讓大家感受微觀世界中的“小數(shù)值”.

二、冪的運算注重新舊知識的聯(lián)系

“冪的運算”中有大量的有理數(shù)的乘方運算.實際是通過“做一做”有理數(shù)的乘方運算讓同學們體會感受同底數(shù)冪的乘法的合理性，并讓同學們能說出每步計算的依據(jù)，逐步從合情推理向演繹推理過渡.并讓同學們感受證明的必要性，發(fā)展大家的演繹推理的能力.讓同學們在“做”（即計算）中學法則，在法則運用中體會計算.

三、冪的運算中各個公式的區(qū)別與聯(lián)系

在“冪的運算”中有這樣四個法則：

1.同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n（m、n是正整數(shù)）.

（1）先弄清楚底數(shù)、指數(shù)、冪這三個基本概念的含義.

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式，如：（2x+y）2·（2x+y）3=（2x+ y）5，底數(shù)就是一個二項式（2x+y）.

（3）指數(shù)都是正整數(shù).

（4）這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即am·an·ap·…=am+n+p+…（m，n，p都是自然數(shù)）.

2.冪的乘方法則：（am）n=amm（m、n是正整數(shù)）.

要掌握冪的乘方和同底數(shù)冪的區(qū)別，如（x3）4=x3×4=x12與x3·x4=x3+4=x7.

3.積的乘方（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）.

積的乘方主要強調(diào)的是指數(shù)相同，并要與冪的乘方區(qū)別開來，積的乘方乘方后相乘，冪的乘方是指數(shù)相乘.

4.同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n（m、n是正整數(shù)，m＞n）.

和同底數(shù)冪相乘一樣要強調(diào)底數(shù)相同，不同的是指數(shù)相減.而且它們之間是互為逆運算的關系.

四、冪的運算中法則的逆用

大多數(shù)同學在運用上述冪的運算法則時，正向運用問題不大，但進行逆向思維時，卻困難重重.但這些法則的逆用可以進行簡便計算，化繁為簡.

如：（1）同底數(shù)冪的乘法與積的乘法的反用：若am=6，an=7，求a2m+n；

（2）冪的乘方的反用：若5a=3，求25a的值；

（3）同底數(shù)冪的除法的反用：若am=3， an=6，求a3m-2n.

五、冪的運算中的數(shù)學思想方法

冪的運算中除了上面講的整體思想和逆向變換思想外，還有轉(zhuǎn)化思想.例如：若2×8m×16m=410，求m的值.本題左邊形式上不符合同底數(shù)冪的乘法，通過轉(zhuǎn)化為2為底的同底數(shù)冪的乘法，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的公式.再有分類思想，如課本復習題第9題：已知a、b是有理數(shù)，且ab=1，求a、b.本題要對a、b進行分類.當b=0時，a為不等于0的數(shù)；當b不等于0時，若a=1，則b為任何整數(shù)；若a=-1，則b為任何偶數(shù).

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）