領悟“冪的運算”中的數(shù)學思想方法

陳蘭

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領悟“冪的運算”中的數(shù)學思想方法

陳蘭

冪的運算是整式乘除法的重要組成部分，學習冪的運算不僅是運用其性質(zhì)進行計算，領悟冪的運算過程中蘊含的數(shù)學思想更是學習過程中不可或缺的深層認識.巧用各類數(shù)學思想對解決有關問題常有事半功倍的效果.

一、整體代入思想

例1已知2x+5y-4=0，求4x-1·32y的值.

【解析】4x-1·32y不是簡單的同底數(shù)冪的乘法，另外指數(shù)x-1和y并沒有直接的值可以代入，由2x+5y-4=0可得2x+5y=4，故而想到可逆用冪的乘法法則轉(zhuǎn)化為以2為底的冪相乘的形式，然后整體代入求值.

解：由已知2x+5y-4=0，得2x+5y=4，

所以4x-1·32y=（22）x-1·（25）y=22x-2·25y= 22x-2+5y=22x+5y·2-2=24×2-2=22=4.

【點評】當無法由已知條件直接求未知數(shù)的值時，可考慮整體代入的思想方法，在解決不同底數(shù)的代數(shù)式的求值時，關鍵將不同底化為同底，通過轉(zhuǎn)化會發(fā)現(xiàn)有整體代入的結(jié)構(gòu)，故而問題迎刃而解.

二、方程解析思想

例2根據(jù)條件，求下列各式中x的值.

（1）已知33x-3=1，求x的值；

（2）已知23·（22）x=256，求x的值.

【解析】（1）方程的右邊是1，我們知道任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1，從而有3x-3=0，知識點：a0=1（a≠0）.

（2）已知方程的左右兩邊不是同底數(shù)的冪，所以先考慮將它們轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪，重新構(gòu)建新的等量關系，求出未知數(shù)的值.

解：（1）因為33x-3=1，所以33x-3=30，則3x-3=0，解得x=1.

（2）因為23·（22）x=256，所以23·22x=28，所以23+2x=28，則3+2x=8，解得x=2.5.

【點評】對于同底數(shù)冪的乘法中的方程，關鍵是通過適當?shù)淖冃螌で蟮攘筷P系構(gòu)建出新的方程.

三、化歸轉(zhuǎn)變思想

例3已知xm=9，xn=6，xp=2，則xm+3p-2n的值.

【解析】本題的關鍵是利用同底數(shù)冪乘除法的性質(zhì)，把要求的式子xm+3p-2n轉(zhuǎn)化為與已知條件有關的形式，再分別代入求值.

解：解法1：xm+3p-2n=xm·x3p÷x2n=xm·（xp）3÷ （xn）2=9×23÷62=2；

解法2：由xn=6，得（xn）2=62=36，（xp）3= 23=8，所以xm+3p-2n=xm·（xp）3÷（xn）2=9×8÷36=2.

【點評】解法1是逆用同底數(shù)冪的乘除法性質(zhì)、冪的乘方性質(zhì)，將xm+3p-2n轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除的混合運算，基本思想是從所求目標出發(fā)回歸已知條件；解法2從已知條件出發(fā)構(gòu)造出求值式中的x3p，x2n，運用同底數(shù)冪的乘除法性質(zhì)轉(zhuǎn)化求值式xm+3p-2n為xm·（xp）3÷（xn）2，基本思想是從已知條件轉(zhuǎn)化為所求目標.

變式1已知x3=m，x5=n，用含有m、n的代數(shù)式表示x19是多少.

【解析】由同底數(shù)冪的乘法的逆運算可得x19=x9·x10，再由冪的乘方的逆運算可得x9=（x3）3，x10=（x5）2，最后通過轉(zhuǎn)化后的結(jié)果代入求值.

解：x19=x9·x10=（x3）3·（x5）2=m3n2.

【點評】本題的關鍵在于表達形式的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后再運用整體代入的思想.

變式2 已知9x+1-32x=72，求x的值.

【解析】本題左右兩邊是不同的形式，首先從形式上進行化歸統(tǒng)一，兩邊都可以向底數(shù)為9上進行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合方程的思想尋找相等關系式，求出未知數(shù)的值.

解：由9x+1-32x=72得（32）x+1-（32）x=72，9x+1-9x=9×8，9x（9-1）=9×8，9x=9，x=1.

變式3 已知2a=4，2b=6，2c=9，求a、b、c之間有什么樣的數(shù)量關系？

【解析】觀察4、6、9之間的聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)4×9=36，故而可以建立2a、2b、2c三者之間的關系，通過關系式的代入轉(zhuǎn)化可得2a×2c= （2b）2，再運用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運算得出關系.

解：因為4×9=36，所以2a×2c=（2b）2，所以2a+c=22b，所以a+c=2b.

【點評】本題對同學們通過尋找數(shù)量關系發(fā)現(xiàn)等量關系方面的要求有點高，僅僅從獨立的各式2a=4，2b=6，2c=9求不出a、b、c的值.

四、分類討論思想

例4（2m-7）m+3=1，求m的值.

【解析】我們知道-1的偶次冪等于1，1的任何次冪都等于1，還知道非零數(shù)的零次冪等于1，從而得出此題需要分情況討論：一是指數(shù)為0且底數(shù)不為0；二是底數(shù)為1指數(shù)為任何數(shù)；三是底數(shù)為-1指數(shù)為偶數(shù).

解：①當m+3=0且2m-7≠0時，解得m=-3；

②當2m-7=1時，m+3為任何數(shù)，解得m=4；

③當2m-7=-1時，m+3為偶數(shù)，解得m=3.

綜上可知，m的值為-3、4、3.

【點評】涉及冪的乘方值為1的問題時，同學們往往容易漏解，另外討論時要對相應的解進行條件的驗證，關于1的偶、奇次冪，0次冪的問題要理解到位，利用分類討論的思想考慮全各種可能情況，做到不重復、不遺漏.

（作者單位：江蘇省泰州實驗中學）