概率的定義與發展史

王曉華

概率的定義與發展史

王曉華

初中階段我們學習的概率內容比較基礎，到了高中和大學階段，概率內容將進一步豐富和深化，為了讓同學們對概率知識板塊有個全面的了解，下面就概率的定義和發展史作一個簡單的介紹.

概率論起源于17世紀中葉，但是它的嚴格化卻是在20世紀完成的.在幾百年的時間里，人們對概率意義的認識不斷深化，下面幾個定義就反映了這種認識的發展.

1.古典定義

古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老.在數學史上，概率源于賭博.概率論的創立正是從研究賭博等問題入手，建立相關的數學模型，并從中逐步抽象出有關概率的一些初始概念.

17世紀有個叫保羅的人，一天他與梅累兩個人一起賭錢，賭注是每人拿出6枚金幣，通過擲骰子，先勝三局者得到12枚金幣.剛賭完三局時，賭博因故不能進行，此時保羅勝一局，精通賭博的梅累勝了兩局.因此，他們對賭注如何分配產生了爭吵.保羅認為，根據勝的局數，他應得總數的，即4枚金幣，梅累得總數的，即8枚金幣.可是梅累卻不這樣想.于是他們一起去請教法國數學家帕斯卡.

“賭金分配”問題在幾年里一直困擾著帕斯卡.經過反復研究，1654年帕斯卡終于取得了令人滿意的答案，于是他寫信把自己的心得告訴了好友（法國數學家費馬），從此一場更深入的討論在兩人之間展開了.荷蘭數學家惠更斯也對他們研究的問題很感興趣，他潛心研究，于1657年出版了《論賭博中的計算》，該書塑造了概率論的雛形.

帕斯卡、費馬、伯努利等數學家都在古典概率的計算、公式推導和擴大應用等方面做出了重大的貢獻.但直到1812年，法國數學家拉普拉斯才在《概率的分析理論》中給出了概率的古典定義：如果試驗的全部可能結果只有n（有限數）個，每個結果發生的可能性大小相等，其中m個結果發生時必然導致事件A發生，那么分數叫做事件A發生的概率，記作P（A）=.古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法.

2.幾何定義

概率的幾何定義提供了某種特殊類型的隨機試驗：試驗的一切可能結果是無限的且等可能的情形.1777年，法國數學家布豐發表了《或然性算術試驗》，首先提出并且解決了著名的“布豐投針問題”，開始了幾何概率的早期研究，形成概率的幾何定義.

3.統計定義

概率的古典定義和幾何定義都要求在隨機實驗中基本事件發生的可能性相等，但人們發現在相同的條件下做大量重復試驗，一個事件發生的次數和總的試驗次數N之比，在試驗次數N很大時，它的值將穩定在一個常數附近.N越大，這個比值“遠離”這個常數的可能性越小，這個常數就稱為這個事件的概率.這個定義與統計有密切的關系，它建立在頻率穩定性的基礎上，所以稱為概率的統計定義.這種概率討論的對象不再限于隨機試驗所有可能的結果為等可能的情形，因而更具一般性.1919年德國數學家馮·米塞斯在《概率論基礎研究》一書中提出了此定義：在相同的條件下，做大量重復試驗，隨著試驗次數的增加，某個事件出現的頻率總是在一個固定數值的附近擺動，顯示出一定的穩定性，把這個固定的數值定義為這一事件的概率.

3.公理化定義

概率的前三種定義屬于“描述性”定義，在敘述中都用了“可能性”一詞，而概率恰是關于“可能性”的概念，所以這些定義從理論上看是不嚴格的，有循環定義之嫌.由于缺乏嚴格的理論基礎，常常被人找到一些可鉆的空子，其中最為典型的要算1889年法國數學家貝特蘭提出的概率悖論：在半徑為1的圓上隨機地取一條弦，問所取的弦其長超過圓內接等邊三角形邊長的概率是多少？

這個提問者給出了三個不同的答案，產生的根本原因是三種解法所作的等可能假設是不同的，所對應的樣本空間是不同的，它們是三個不同的隨機試驗.因此，在樣本點為無限的情況下，必須對樣本空間及樣本點作具體限定，概率的公理化定義由此應運而生.

1900年，38歲的希爾伯特在世界數學家大會上提出了建立概率公理系統的問題，這就是著名的“希爾伯特的23個問題”中的第6個問題，從而引導了一批數學家投入這方面的工作.在概率公理化的研究道路上，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫的成績最為顯著，1933年他在《概率論基礎》中，運用集合論和測度論表示概率論的方法賦予了概率論以嚴密性.當然理解這個定義，需要一定的預備知識，故此處不再贅述.公理化定義作為一個數學平臺，讓人們在此基礎上進行演繹，得到系統的概率論知識體系.這個定義的產生是概率論發展史上的一座里程碑.

總之，“概率”概念的建構，經歷了古典概率、幾何概率、統計定義再到公理化定義，體現了概率定義“從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象”的逐步變化，反映了人們對概率的認識所經歷的過程.各種定義產生的過程，也體現了人類認識隨機現象所走過的艱難曲折的道路，折射著概率發展的不同階段和水平，滲透著豐富的數學化、模型化思想方法，蘊含了深刻的辯證哲理.

（作者單位：江蘇省無錫市新安中學）