分類話勾股

□于化平

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分類話勾股

□于化平

在用勾股定理解題時，有時會遇到多種情況，稍不留神就會造成錯解，這就需要我們利用分類討論思想求解.為幫助同學們解決這類問題，現將勾股定理中需用到分類的問題加以淺析.

一、根據直角頂點位置分類

例1（2015·江西）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為______.

分析：利用分類討論，當∠APB＝90°時，易知∠PAB為60°或30°，利用特殊三角形的性質求得AP的長；當∠ABP＝90°時，易得BP，利用勾股定理可得AP的長.

圖1

圖2

解：分三種情況討論：

（1）如圖2，當P在△ABC內部，∠APB＝90°時，

∵AO＝BO，

∴PO＝AO＝BO＝2.

又∠AOC＝60°，

∴△APO是等邊三角形，

∴AP＝2.

（2）如圖3，當P在△ABC外部，∠APB＝90°時，

∵AO＝BO，

∴PO＝AO＝BO＝2.

又∠AOC＝60°，

∴∠BAP＝30°.

∵AB＝4，∴BP＝2.

在Rt△ABP中，

圖3

圖4

（3）如圖4，當∠ABP＝90°時，

∵BO＝AO＝2，

點評：本題涉及到的知識有勾股定理、含30°直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線，而分類討論、數形結合是解答此題的關鍵.

二、根據等腰三角形腰的位置不確定分類

例2（2015·通遼）如圖5，在一張長為7cm、寬為5cm的矩形紙片上，剪下一個腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為______.

圖5

分析：因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分三種情況進行討論：

（1）如圖5，△AEF為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；

（2）如圖6，先利用勾股定理求出AE邊上的高BF，再代入面積公式求解；

（3）如圖7，先求出AE邊上的高DF，再代入面積公式求解.

解：分三種情況計算：

（1）當AE＝AF＝4時，如圖5，

圖6

圖7

（3）當AE＝EF＝4時，如圖7，

則DE＝7-4＝3，

點評：本題主要考查矩形的角是直角的性質和勾股定理的運用，要根據三角形腰位置的不確定分情況討論，有一定的難度.