勾股與中考

□田全靜

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勾股與中考

□田全靜

考點1：直角三角形的判定

例1（呼和浩特）如圖1，在單位正方形組成的網格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（）.

圖1

A. CD、EF、GH

B. AB、EF、GH

C. AB、CD、GH

D. AB、CD、EF

分析：此題先根據網格圖計算出AB2、DC2、EF2、GH2，再看哪兩條的平方和等于第三條的平方，就可以判斷出哪三條線段能構成一個直角三角形的三邊.

解：在Rt△ABE中，

BE＝2，AE＝2，

根據勾股定理得AB2＝AE2＋BE2＝22＋22＝8.

同理可得EF2＝12＋22＝5，

CD2＝22＋42＝20，

GH2＝32＋22＝13.

而AB2＋EF2＝GH2，故選B.

考點2：勾股定理的證明

例2（溫州）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚喜地發現：當兩個全等的直角三角形如圖2或圖3擺放時，都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖2證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2.

圖2

圖3

證明：連結DB，過點D作△DCB 的BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b-a，

∴a2＋b2＝c2.

請參照上述證法，利用圖3完成下面的證明：

將兩個全等的直角三角形按圖3所示擺放，其中∠DAB＝90°.

求證：a2＋b2＝c2.

證明：連結________

∵SACBED＝________

又∵SACBED＝________

∴________，

∴a2＋b2＝c2.

解答與前面類似，略.

考點3：勾股定理的應用

例3（達州）如圖4，折疊矩形紙片ABCD，使B點落在AD上一點E處，折痕的兩端點G、F分別在AB、BC上（含端點），且AB＝6，BC＝10. 設AE＝x，則x的取值范圍是______.

圖4

解析：①如圖5，當G與A重合時，x取得最大值，AE＝AB＝6，則x≤6.

②如圖6，當F與C重合時，x取得最小值，EF＝BC＝10，

AE＝10-8＝2，則x≥2.

因此2≤x≤6.

圖5

圖6

例4（溫州）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖7）.圖8由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.記圖8中正方形ABCD、正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1＋S2＋S3＝10，則S2的值是______.

圖7

圖8

解析：由題意可設：CG＝NF＝b，CF＝DG＝KF＝a，GF＝c，

則S1＝（a＋b）2，S2＝c2，S3＝（ab）2，又S1＋S2＋S3＝10，

∴（a＋b）2＋c2＋（a-b）2＝10，

∴2a2＋2b2＋c2＝10.

根據勾股定理有a2＋b2＝c2，

∴S2的值是