基于單向滑模的永磁同步電機摩擦自適應控制

方世鵬，胡昌華，扈曉翔，李紅增

（火箭軍工程大學 控制工程系，西安 710025）

基于單向滑模的永磁同步電機摩擦自適應控制

方世鵬，胡昌華，扈曉翔，李紅增

（火箭軍工程大學 控制工程系，西安 710025）

針對摩擦條件下永磁同步電機伺服系統的高精度位置控制問題進行了研究。利用單向滑模控制算法和廣義麥克斯威爾滑動（GMS）摩擦模型，設計了具備摩擦前饋補償功能的力矩控制器，對GMS模型的參數進行了自適應調節以補償摩擦力變化。通過設計適當的趨近率，使得該控制器在保證系統穩定的同時，產生連續的期望電流信號，消除了普通滑模帶來的抖振問題，同時采用反步法反推控制電壓獲得了保證系統總體穩定的控制信號。最后的仿真實驗結果表明，提出的方法有利于提高摩擦條件下永磁同步電機控制的控制精度。

永磁同步電機；摩擦補償；單向滑模控制；反步法

永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）具備體積小、力矩大、效率高等優點[1]，越來越多地應用在高性能的驅動機構中。在高精度電機伺服系統中，摩擦會導致閉環系統穩態誤差、極限環振蕩、低速爬坡等現象[2]，因此摩擦補償一直是控制領域十分重視的課題[3]。滑模控制因其對于匹配不確定性的魯棒性和系統的設計過程而受到廣泛研究[4]，在摩擦補償中也得到了大量應用，但是由于非線性切換項和非理想電子開關等因素會引起系統抖振。

摩擦補償要求電機伺服系統能控制克服摩擦力所需的力矩，利用摩擦模型和直接力矩控制方法可對摩擦力實現預測前饋補償，從而獲得較好的控制效果[5]，而若利用傳統的滑模控制作為力矩控制器[6]，存在兩方面的問題：一方面是抖振問題，另一方面是非匹配不確定性的魯棒性問題。由于永磁同步電機的控制輸入通常是電壓，輸入電壓和力矩是不匹配的，另外由于電機電氣部分存在慣性環節，所以會導致實際電流處于切換電流處的一個滯后帶里[7]，這相當于為滑模控制添加了邊界層，使得控制誤差只能收斂到有界區域。反步法能有效地解決非匹配不確定性的魯棒性問題[8]，但是當傳統滑模控制作為力矩控制器時，必須結合動態面控制技術[9]才能反推控制電壓。單向滑模控制方法由傅健等人提出[10]，其最大的優勢在于能在去抖振的同時保持滑模對于擾動的不變性[11]，所設計的控制器本質上是連續的，具有非常廣闊的應用前景。

考慮基于單向滑模控制(Unidirectional sliding mode control, USMC)算法控制摩擦條件下的永磁同步電機獲得較高的位置跟蹤精度。利用GMS(generalized Maxwell-slip)摩擦模型，提出一種基于終端滑模的自適應單向滑模控制算法控制電機力矩進行摩擦前饋補償，通過設計適當的趨近率，使得控制器所產生的控制電流滿足連續條件，利用反步法克服控制電壓和力矩的非匹配問題，獲得保證永磁同步電機伺服系統穩定的控制電壓，最后通過仿真實驗驗證了方法的有效性。

1 系統建模

1.1 永磁同步電機伺服系統模型

針對永磁同步電機驅動的伺服系統，假設PMSM為隱極式，磁路不飽和，氣隙磁場為正弦分布，忽略磁滯和渦流損耗影響，定子為三相對稱繞組，可以建立d-q坐標系下的動力學方程如下式所示[12]：

為了便于研究，假設負載只包括慣性負載和摩擦負載，并且都折算到電機軸上。式(1)中：ud、uq、id、分別為PMSM直軸、交軸的電壓和電流；φf、Rs、分別為永磁體磁鏈、定子電阻和等效直軸交軸電感；Te為PMSM的轉矩；Tf為折算到電機轉子上面的摩擦力矩；ωr為電機轉子的機械轉速；np為PMSM的極對數；J為軸系的轉動慣量。

1.2 GMS摩擦模型

GMS模型[13]是一種多狀態變量動態摩擦模型，該模型利用多個中間過渡狀態變量z將外部速度和摩擦力關聯起來，每一個零質量塊都在粘滯狀態和滑動狀態之間切換，同一時刻只能工作在兩者之一的狀態，有：

1）當第i個零質量塊處于粘滯狀態時，

2）當第i個零質量塊處于滑動狀態時，

滑動狀態會持續直到外部輸入速度換向。

式(3)中：q為輸入位移；每個零質量塊與一個彈簧相連，彈簧系數為 ki；彈簧變形量為 zi；δ是與負斜率效應（Stribeck效應）相關的函數；FC、FS代表庫侖摩擦力和靜摩擦力；vs、δ為Stribeck常數；為歸一化分數代表每個零質量塊的權重系數；參數)決定了摩擦力在滑動區域收斂于Stribeck曲線的速率。

則零質量塊的彈性力kizi加上與外部速度相關的粘滯摩擦σq˙，便可以描述摩擦力[13]：

式中：nz為并聯的零質量塊數量，則每個零質量塊的輸出彈性力為為回歸向量，代表GMS參數向量。

2 控制器設計

2.1 力矩控制器設計

如前文所示，控制目標是選擇合適的控制電壓ud和uq，使得輸出位移x能夠跟蹤期望運動軌跡xd，假設連續且有界。為此首先考慮伺服系統的機械部分，并令代表機械部分的控制力矩，則機械部分誤差動態方程為

式中：x為電機轉子位置，控制目標變為系統(5)在摩擦力Ff下的鎮定問題。為了提高系統軌線到達穩定滑模面后快速的收斂到原點，設計如下終端滑模面：

圖1 單向滑模面示意圖Fig.1 Unidirectional sliding mode surface

引理 1[11]：考慮位于第l∈{0,1,2,3}子空間的點單向輔助滑模動態如式(8)所示，則對于點P有并且僅當有

定理1：考慮非線性系統(5)，利用GMS摩擦模型(4)，終端穩定滑模面如式(6)所示，單向輔助滑模面如式(8)所示，如果控制律采用式(9)，自適應控制律采用式(10)，則閉環系統(5)漸進穩定。

證明：定義新變量d=m-h，h代表當前單向輔助滑模動態，?a代表 GMS摩擦模型參數估計值，取李雅普諾夫函數為

首先證明系統的穩定性，當系統在某子空間時，利用式(5)求取上述李雅普諾夫函數導數如下：

將控制律(9)代入式(12)，可得：

由式(15)可得：

下面設計趨近率N使得控制律連續。由式(9)可知造成控制律不連續的項為（去除常值參數J）

首先設計趨近率使得當狀態位于子空間時是連續的，定義新變量代表圖 1中射線OP與坐標橫軸正向的夾角，取值范圍為則可以設計趨近率如下：

證明：當系統狀態在射線OPs2-上運動時和設計如下（l=0, 1。l=0時，±取+；l=1時，±取-）：

將式(18)代入式(16)可得：

可知所設計的趨近率使得控制律在射線OPs2-上連續。還可以證明[11]Nl滿足穩定性條件N 0≥ 。

連續的證明過程同式(19)。通過上面的分析，可知當狀態位于終端滑模面上時，控制律是連續的。

2.2 反推控制電壓

取系統(1)的一個李雅普諾夫函數為

對其求導可得：

3 仿真實驗

以系統(1)所示伺服系統為仿真對象，對上述控制算法的效果進行驗證。利用GMS模型建立模擬的真實摩擦力矩，假設在5s時由于外在環境突然變化導致摩擦力矩發生變化，具體參數見表單位分別為

表 1 模擬真實摩擦力參數Fig.1 Simulated parameters based on GMS model

為了進行對比，利用具有指數收斂率的普通滑模作為力矩控制器進行設計，力矩控制律為

式中：?=5，ρ=5，λ=3。為了防止對力矩控制器求導，利用動態面控制技術反推控制電壓。圖2是采用普通滑模控制與所提方法跟蹤誤差對比圖，從圖中可以看出，所提的方法具有更小的跟蹤誤差，尤其是5 s后當摩擦力矩突然變化后，由于普通滑模缺乏自適應調節能力，跟蹤效果變得很差。從輸入角度看，如圖 3所示，為了保證跟蹤誤差為零，控制電壓在 5 s時對摩擦力矩突變進行了相應的調整，同時沒有出現抖振，而采用普通滑模時控制電壓如圖4所示，系統會產生抖振問題。

圖2 普通滑模控制與本文所提方法跟蹤誤差對比Fig.2 Comparison on tracking errors between common sliding mode algorithm and the proposed method

圖3 本文所提方法的控制電壓Fig.3 Control voltages with the proposed method

圖4 普通滑模控制時的控制電壓Fig.4 Control voltages with common sliding mode algorithm

4 結 論

摩擦會惡化永磁同步電機構成的伺服系統的控制性能。采用能描述已知所有摩擦現象的GMS摩擦模型，結合單向滑模控制設計具備摩擦補償的自適應力矩控制器，利用反步法技術推得保證整體系統穩定的控制電壓。仿真實驗驗證了方法的有效性，說明摩擦變化條件下所提方法比一般滑模控制能達到更好的跟蹤精度，且避免了普通滑模控制所帶來的抖振問題。

（References）：

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Adaptive friction compensation method for permanent magnet synchronous motor based on unidirectional sliding mode control

FANG Shi-peng, HU Chang-hua, HU Xiao-xiang, LI Hong-zeng

(Department of Control Engineering, Hi-Tech Institute of Xi’an, Xi’an 710025, China)

High-precision position control of permanent magnet synchronous motor servo system is studied under the condition of friction. A torque controller for friction feedforward compensation is designed by using the sliding mode control with unidirectional auxiliary surfaces (USMC) algorithm and the GMS model. The parameters of the GMS friction model are online adjusted to compensate the variety of friction. The torque controller guarantees the bounded stability of the system and keeps continuous by appropriate design. The backstepping algorithm is used to solve the unmatched problem between controlling voltage and disturbance torque. Simulation results show that the proposed method can improve control accuracy for PMSM under the friction condition.

permanent magnet synchronous motor; friction compensation; unidirectional sliding mode control; backstepping

TP29

A

1005-6734(2016)02-0224-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.02.016

2015-12-26；

2016-03-25

國家自然科學基金青年基金（61304001）

方世鵬（1984—），男，博士研究生，從事電動伺服系統研究。E-mail: shipeng_001@163.com