橋梁工作模態分析中阻尼比識別的離散性研究*

秦世強， 康俊濤， 孔 凡

(1.武漢理工大學道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室 武漢，430070) (2.武漢理工大學土木工程與建筑學院 武漢，430070)

橋梁工作模態分析中阻尼比識別的離散性研究*

秦世強1,2， 康俊濤2， 孔 凡2

(1.武漢理工大學道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室 武漢，430070) (2.武漢理工大學土木工程與建筑學院 武漢，430070)

準確識別阻尼比一直是橋梁結構模態參數識別的難題。為研究工作模態分析中識別的阻尼比離散性問題，總結了現有的代表性的頻域、時域和時頻分析的阻尼比識別方法，指出了各種方法導致識別結果不準確的原因。以一個預應力混凝土連續梁橋的工作模態分析為例，分析了阻尼比識別的結果，研究了減小識別的阻尼比離散性的方法。結果表明：相對頻率而言，阻尼比識別結果離散程度較高；在混合自由振動響應的情況下，通過增加采樣時間，能改善阻尼比識別離散較大的問題，提高識別精度；利用振動水平較低的隨機振動響應識別的阻尼比離散性較小。

阻尼比； 模態參數； 半功率帶寬； 隨機子空間識別； 自由振動響應

引 言

阻尼比是工程結構的基本動力參數之一，直接影響結構的動力行為，因此準確地識別阻尼比有重要的意義。傳統方法記錄輸入輸出的模態分析是通過測試結構自由振動響應幅值衰減程度來識別阻尼比。然而，由于激勵設備貴重、測試過程復雜，可能會對結構造成損傷，這種方法對大型土木工程結構往往不太實用。大型土木工程結構通常使用環境激勵方法，即測試其在風、水流和地脈動等微幅振動下的響應，從而識別其頻率、阻尼比和振型。這種方法由于不中斷結構的運營，因而又稱為工作模態分析(operational modal analysis, 簡稱OMA)。近年來，對土木工程結構的工作模態分析出現了一系列研究成果[1-5]，得到了廣泛認可。相比較頻率和振型的識別精度而言，工作模態分析中存在的一個較大問題就是阻尼比難以精確識別[6-8]，多個測試組識別的阻尼比通常呈現較大的離散性，識別結果的可靠性不高。目前，關于這方面研究的文獻相對較少。筆者在總結現有一些代表性的阻尼比識別方法的基礎上，分析了各種方法中導致阻尼比識別結果離散的原因。通過一個連續梁橋的工作模態分析，進一步分析了阻尼比識別的結果，并研究了提高阻尼比識別精度的方法。

1 半功率帶寬法及誤差分析

(1)

圖1 半功率帶寬法示意圖Fig.1 Schematic diagram of half-power bandwidth method

其中：ω1，ω2分別為半功率帶寬點對應的頻率值；ω為峰值點對應的頻率值。

由于半功率帶寬法十分簡便，在工程應用中十分廣泛。在頻響函數精確且頻率分辨率較高的情況下，半功率帶寬法識別的阻尼比較為精確，一旦峰值頻率有較小的誤差，阻尼比就會產生較大誤差。在工作模態分析中，以下原因會導致半功率帶寬法識別的阻尼比結果呈現較大的離散性：a.工作模態分析是利用環境荷載作為激勵，激勵無法記錄，因此無法得到結構的頻響函數，一般是用輸出響應的自功率譜代替頻響函數，這直接導致了阻尼比識別誤差；b.多個測試組在人工拾取峰值的過程中會產生人為誤差，導致了識別的阻尼比結果離散；c.由于土木工程結構頻率呈現低頻、模態密集的特點，因而峰值較難準確拾取，這也給半功率帶寬法識別阻尼比帶來了困難。

2 自由振動響應法及誤差分析

通過結構的自由振動響應來計算阻尼比是較為常用的時域阻尼比識別方法。典型的通過直接測試獲得結構自由振動響應方法包括力錘試驗和突然釋放吊重等。此外，也可以利用結構在環境激勵下的響應，結合隨機減量技術(random decrement technique，簡稱RDT)和自然激勵技術(natural excitation technique, 簡稱NExT)來獲取結構的自由衰減響應[10]。

在獲得結構自由振動響應之后，直接根據定義求解阻尼比ξ

(2)

其中：m為振動衰減曲線上量取的波形數；Ai為振動衰減曲線上量取的第i個波形的峰值；Ai+m為振動衰減曲線上量取的第i+m個波形的峰值。

利用定義法識別阻尼比存在的問題包括：a.自由振動響應屬于時域響應，其單個時間點的峰值極易受到外界噪聲的干擾而產生較大的偏差，因此會導致計算的阻尼比產生較大誤差；b.對工作模態分析而言，一般不會直接測試結構自由振動響應，而是利用RDT和NExT方法來獲取結構的自由衰減響應，這也導致了一定的誤差。

黃方林等[11]提出一種基于自由振動響應的面積法來識別阻尼比，改善了阻尼比識別的精度。如圖2所示，自由振動響應時程曲線與時間軸包絡形成一系列個面積S1，S3，S5，…以及S2，S4，S6，…；阻尼比可以表達為

(3)

圖2 面積法識別阻尼比示意圖Fig.2 Schematic diagram of acreage method for damping ratio identification

相比定義法，面積法的正負抵消效應能夠平均峰值波動帶來的誤差，提高阻尼比識別的精度。文獻[11]中的數值模擬也表明：隨著噪聲比例的增加，阻尼比識別的精度也在降低；同時，對于在有噪聲干擾的情況下，需要較高的采樣頻率來保證面積的個數。可見，這種方法也依賴于準確地獲得結構自由振動響應。

3 隨機子空間識別及誤差分析

時域阻尼比識別方法中除了自由振動響應法，還包括最小二乘復頻域法[12]、ITD法[13]和隨機子空間識別(stochastic subspace identification, 簡稱SSI)[14]等。時域方法的特點是直接處理測試得到的動力時程曲線數據來進行參數識別。SSI由于其理論體系完備，在識別過程中引入了奇異值分解和卡爾曼濾波等數學工具，便于程序實現且識別結果穩定，因而受到廣泛的應用。以數據驅動的SSI(data-driven SSI, 簡稱SSI-data)為例簡要地說明時域方法識別阻尼比的流程。結構隨機狀態空間模型可以表示為

(4)

其中：yk為測試得到的結構時域響應；xk為結構的狀態向量；wk，vk分別為測試誤差和結構建模誤差；A，C分別為結構的狀態矩陣和輸出矩陣。

SSI-data的識別過程主要是識別系統矩陣A和C，然后利用特征值分解求解模態參數。利用輸出響應構建Hankel矩陣Y0|2i-1

(5)

(6)

在得到系統的狀態矩陣和輸出矩陣后，模態參數識別轉化為特征值分解問題，對系統狀態矩陣A進行特征值分解

(7)

阻尼比ξi可以表示為

(8)

在實際應用過程中，通常取一個較大的系統階次循環求解模態參數，并將結果繪制在一個以頻率為橫軸，以系統階次為縱軸的穩定圖上來識別模態參數。盡管SSI在識別頻率和模態振型方面已經取得較高精度，但識別的阻尼比仍存在較大離散性。從現有文獻看，同一次測試中不同測試組識別的阻尼比的標準差遠遠高于頻率的標準差，這表明在同一測試中不同測試組的結果呈現出較大的離散性，即識別阻尼比存在較高的不確定性。導致SSI阻尼比結果產生誤差的原因包括：a.式(4)所示的隨機狀態空間模型中將環境激勵假設為白噪聲，而實際中環境荷載并不完全符合這樣的假設；b.由連續狀態空間轉換到離散狀態空間帶來的誤差；c.計算模型誤差，如式(5)要求一致性算子j趨近于無窮，實際上就是采樣數趨近于無窮，而實際測試中是不可能做到的；d.系統階次的取值也會影響阻尼比的精度，取值過大，導致較多的數值模態和虛假模態；取值過小，導致結構真實模態無法識別。

4 時頻分析法及誤差分析

(9)

圖3 基于HHT的模態參數識別流程Fig.3 The flow chart of modal parameter identification based on HHT

對于基于HHT識別的阻尼比離散的原因包括：a.EMD是一種基于經驗的信號處理方法，本身存在一些問題，比如端點飛翼等；b.橋梁固有振動特性一般呈現低頻、模態密集的特點，在應用EMD時會出現模態混疊現象，導致本征模態函數不完全是單頻率成分；c.利用RDT提取的自由衰減響應與確定的初值和時間段有關系，往往不夠理想。

5 工程實例分析

在實際工程中，阻尼比識別結果存在更多的不確定性來源。筆者通過一個預應力混凝土連續梁橋的工作模態分析，對識別的阻尼比結果的離散性進行討論，并研究提高阻尼比識別精度的方法。

5.1 環境振動測試

該預應力混凝土連續梁橋是高速鐵路線路上一座高架橋(圖4)，跨徑布置為(35+45×4+35) m；截面為箱型截面且沿橋梁縱向梁高一致。為了了解該橋的固有振動特性，對其實施了環境振動測試。采用12個無線傳感器測試其在環境荷載下的三向加速度，其中4個傳感器布置于參考點進行連續測試，另外8個作為移動測點。傳感器布置于箱梁內部底板上(圖5)，沿橋梁縱向每隔2.5 m選擇一個測試截面，每個截面布置3個測點，總計303個測點。采樣頻率為200 Hz，每個測試組測試時間約為15 min。現場測試得到典型的加速度響應如圖6所示，其幅值約為10-3m/s2。

圖4 預應力混凝土連續梁橋Fig.4 The pre-stressed concrete continuous bridge

圖5 無線傳感器在箱梁內布置Fig.5 The layout of wireless sensors in box girder

圖6 橋梁橫向加速度響應Fig.6 The lateral acceleration responses of bridge

5.2 阻尼比識別

圖7為該橋測試組2下橫向加速度的傅里葉譜。由于是橫向加速度，因此只包含橫向振動信息。可以看出，峰值帶寬較窄，一旦峰值拾取稍微有誤差，選擇的半功率點就會產生較大誤差，從而使得阻尼比識別錯誤。此外，這里使用加速度響應的傅里葉譜代替結構的頻響函數，本身就是一種近似處理手段，其識別的阻尼比產生的誤差甚至可以達到100%。圖8為利用SSI得到的測試組2的穩定圖。穩定圖反映了該橋梁的縱向和橫向振動信息。穩定軸清晰地顯示了橋梁各階模態信息。如表1所示，將每個測試組識別的橋梁前6階阻尼比取均值和標準差。為方便對比，列出了頻率的均值和標準差。

圖7 加速度響應的傅里葉譜Fig.7 The FFT spectrum of acceleration response

⊕表示頻率、阻尼比和振型的共同穩定點；.f，.d和.v分別表示頻率、阻尼比和振型的單獨穩定點圖8 隨機子空間識別得到的穩定圖Fig.8 The stabilization diagram obtained from SSI

對表1中的數據，首先比較頻率和阻尼比結果。橋梁前6階頻率標準差最大為0.012，阻尼比標準差最大為0.65，阻尼比的標準差要遠大于頻率標準差，這表明識別的阻尼比結果呈現較大的離散性；其次比較阻尼比的均值及標準差，標準差最大約占均值的50%，表明識別的阻尼比本身就存在比較高的不確定性。

表1 多個測試組識別的頻率和阻尼比的均值及標準差

Tab.1 The expect values and standard deviations of damping ratios identified from multi-setups

模態階次f/Hzσf/Hzξ/%σξ/%10.6480.0030.750.3721.2380.0060.810.2232.2300.0061.000.4343.2790.0070.420.1753.5360.0111.370.6563.7580.0120.540.35

5.3 改善阻尼比識別精度

為了改善阻尼比識別離散性較大的問題，研究不同振動水平和不同采樣時間對阻尼比識別的影響。如圖9所示，數據序列的振動水平是通過考慮橋梁結構在車輛荷載下的自由振動響應實現的；不同采樣時間則是通過累加入不同時長的隨機振動響應實現。結構動力響應的振動水平可以用響應的均方根值(root mean square,簡稱RMS)來表示。加速度響應y(t)的RMS值為

(10)

其中：N為y(t)的離散采樣數。

圖9 不同振動水平及不同采樣時間數據序列示意圖Fig.9 Schematic diagram for data sets with different vibration level and sampling time

考慮了自由振動響應混合了10 s，50 s，90 s和200 s時長的隨機振動響應4種工況，分別用混合10，混合50，混合90和混合200來表示。以工況混合10為例，說明各工況對橋梁加速度響應截取的原則：從車離橋后的橋梁自由振動響應起始點開始，至自由振動響應幅值衰減至隨機振動響應水平為第1個階段(約6 s)，第2階段為第1個階段后延后10 s的純隨機振動響應，兩個階段混合形成工況混合10的加速度響應數據，從而進行阻尼比識別。為了對比，也列入了純隨機振動響應的阻尼比識別結果。需要指出的是，該工況下各測試組時長不同，但最短控制在200 s左右。

表2為前3個測試組下各種工況加速度響應的RMS值。可以看出：a.混合了自由振動響應的RMS值顯著提高，表明其信號的振動水平較高；b.隨著混合的隨機振動響應的時間增加，信號的RMS值在逐漸降低，反映了信號幅值的平均過程；c.RMS值較好地反映了加速度響應的振動水平，即RMS值越大，振動水平越高。這也進一步解釋了各種工況數據的區別：振動水平不同、分析時長不同。

表2 不同工況下加速度響應的RMS值

Tab.2 The RMS value of the acceleration response under different conditions m/s2

各工況下多個測試組阻尼比識別的均值和標準差如表3所示，可以看出：a.振動水平較低的隨機振動響應識別的阻尼比的標準差較低，而混合了自由振動響應的工況識別的阻尼比標準差相對較高；這表明振動水平較低的隨機動力響應識別的阻尼比離散性較小，相對可靠；b.僅看包含自由振動響應的工況，隨著采樣時間的增長，總體而言識別的阻尼比的標準差在逐漸降低；到工況混合200時，阻尼比的標準差已經接近或低于隨機振動響應工況下的結果，這表明通過提高采樣時間能夠改善阻尼比的識別精度。

從上述研究結果可知，在工程應用中應將測試時段選擇在環境荷載振動水平較低時進行，離線分析時利用采樣時間較長(采樣頻率一定的情況下)的隨機振動響應識別的阻尼比的離散性最小，識別結果較為穩定。

為了更直觀地顯示多個測試組在各種工況下阻尼比識別的離散程度，將每個工況下多個測試組識別的阻尼比以散點圖的形式繪制于圖10中。圖中的豎線是隨機振動響應工況識別的阻尼比的均值，起參考作用。可以看出，圖中有些點是明顯超出了橋梁結構阻尼比的范圍，是跳點，應不予考慮(表3計算結果中并未考慮跳點，只在圖形中直觀顯示)。除去這些點后，圖形直觀地反映了各個工況識別的阻尼比的離散程度，隨機振動響應工況阻尼比相對聚攏，而混合自由振動響應的工況隨著采樣時間的增加也逐漸向平均線(圖10中豎線)靠攏，基本與表3反映的信息一致。

需要說明的是，這里利用混合自由振動響應與利用強迫振動獲取自由振動響應的思路不同。強迫振動獲取自由振動響應是傳統的測力法進行模態參數識別，而本研究中的混合自由振動響應實際上是考慮了零時刻點結構有一個初始加速度的情況，識別過程在保留工作模態分析的優勢同時，來尋求降低阻尼比識別的離散性的方法。

表3 不同工況下識別的阻尼比的均值及標準差

Tab.3 The expect values and standard deviations of damping ratios extracted from different conditions %

圖10 不同工況下多個測試組識別的阻尼比離散圖Fig.10 The scatter plot of multi-setups under different conditions

6 結 論

1) 橋梁工作模態分析得到的阻尼比離散程度遠高于頻率的離散程度，表明識別的阻尼比存在較高的不確定性和隨機性。

2) 對同樣的測試數據，各種阻尼比識別方法都存在識別阻尼比離散性較大的現象，說明目前對橋梁結構的阻尼機理不明確。

3) 在混合自由振動響應的情況下(即考慮橋梁結構在零時刻點的加速度不為0)，通過增加采樣時間能夠減小各測試組的識別的阻尼比標準差，得到更為穩定的結果。

4) 相對而言，利用長時間低振動水平的隨機振動響應識別的阻尼比標準差最小，結果穩定。

[1] Magalhaes F, Cunha A. Explaining operational modal analysis with data from an arch bridge[J]. Mechanical System and Signal Processing, 2011, 25(5): 1431-1450.

[2] Peeters B, De Roeck G. Reference-based stochastic subspace identification for output-only modal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1999, 13(6): 855-878.

[3] Reynders E. System identification methods for (operational) modal analysis: review and comparison[J]. Archives of Computational Methods in Engineering, 2012, 19(1): 1-74.

[4] 林賢坤, 覃柏英, 張令彌, 等. 基于附加質量的試驗模態振型質量歸一化[J]. 振動、測試與診斷, 2012,32(5):784-790.

Lin Xiankun, Qin Boying, Zhang Lingmi, et al. Way of getting mass-normalized experimental mode shapes based on mass changes[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012,32(5):784-790. (in Chinese).

[5] 劉宗政, 陳懇, 郭隆德, 等. 基于環境激勵的橋梁模態參數識別[J]. 振動、測試與診斷, 2010,30(3):300-303.

Liu Zongzheng, Chen Ken, Guo Longde, et al. Modal parameter identification of a bridge under ambient excitation[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010,30(3):300-303. (in Chinese)

[6] Magalhaes F, Cunha A, Caetano E, et al. Damping estimation using free decays and ambient vibration tests[J]. Mechanical System and Signal Processing, 2010, 24(5): 1274-1290.

[7] Torvik P J. On estimating system damping from frequency response bandwidths[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(25): 6088-6097.

[8] 陳雋，徐幼麟，李杰. Hilbert-Huang變換在密頻結構阻尼識別中的應用[J]. 地震工程與工程振動, 2003, 23(4): 34-42.

Chen Jun, Xu Youlin, Li Jie. Hilbert-Huang transform for damping ratio identification of structures with closely spaced modes of vibration[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2003, 23(4): 34-42. (in Chinese)

[9] 應懷樵，劉進明，沈松. 半功率帶寬法與INV阻尼計法求阻尼比的研究[J]. 噪聲與振動控制, 2006(2): 4-6.

Ying Huaiqiao, Liu Jinming, Shen Song. Half-power bandwidth method and INV damping ratio solver study[J]. Noise and Vibration Control, 2006(2): 4-6. (in Chinese)

[10]韓建平，李達文. 基于Hilbert-Huang變換和自然激勵技術的模態參數識別[J]. 工程力學, 2010，27(8): 54-59.

Han Jianping, Li Dawen. Modal parameter identification based on Hilbert-Huang transform and natural excitation technique[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(8): 54-59. (in Chinese)

[11]黃方林，何旭輝，陳政清，等. 識別結構模態阻尼比的一種新方法[J]. 土木工程學報, 2002, 35(6): 20-23.

Huang Fanglin, He Xuhui, Chen Zhengqing, et al. A new approach for identification of modal damping ratios for a structure[J]. Chinese Journal of Civil Engineering, 2002，35(6): 20-23. (in Chinese)

[12]孫鑫暉，郝木明，張令彌. 環境激勵下寬頻帶模態參數識別研究[J]. 建筑結構學報, 2011，32(4): 151-156.

Sun Xinhui, Hao Muming, Zhang Lingmi. Research on broadband modal parameters identification under ambient excitation[J]. Journal of Building Structures, 2011, 32(4): 151-156. (in Chinese)

[13]Mohanty P, Rixen D J. A modified Ibrahim time domain algorithm for operational modal analysis including harmonic excitation[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 275(2): 375-390.

[14]Overschee P, De Moor B. Subspace identification for the linear systems: theory-implementation-applications[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1996:57-69.

[15]朱宏平，翁順. 運用小波分析方法進行結構模態參數識別[J]. 振動與沖擊, 2007，26(4): 1-4.

Zhu Hongping, Weng Shun. Identification of structural modal parameters with wavelet transformation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(4): 1-4. (in Chinese)

[16]閔志華，孫利民，孫智，等. 環境激勵下基于小波變換和奇異值分解的結構模態參數識別[J]. 振動工程學報, 2009, 22(2): 142-149.

Min Zhihua, Sun Limin, Sun Zhi, et al. Structural modal parameter identification using wavelet transform and singular value decomposition under ambient excitation[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009, 22(2): 142-149. (in Chinese)

[17]王學敏. 基于Hilbert-Huang變換的橋梁監測信號分析與處理和時變模態參數識別[D]. 長沙：中南大學, 2008.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.007

*國家自然科學基金資助項目(51108382)；道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室開放基金資助項目(DQJJ201308)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(2014-IV-047)

2014-01-08；修回日期：2014-04-02

TU311; TH113

秦世強，男，1987年7月生，博士、講師。主要研究方向為橋梁健康監測、結構動力學系統識別。曾發表《Effects of initial conditions in operational modal analysis》(《Structural Control and Health Monitoring》2014, No.21)等論文。 E-mail：qsqiang417@gmail.com