綜合模態H2范數下致動器/傳感器的優化配置*

婁軍強, 魏燕定, 楊依領, 謝鋒然, 趙曉偉

(1.寧波大學機械工程與力學學院 寧波， 315211) (2.浙江大學浙江省先進制造技術重點實驗室 杭州， 310027)

綜合模態H2范數下致動器/傳感器的優化配置*

婁軍強1, 魏燕定2, 楊依領2, 謝鋒然2, 趙曉偉2

(1.寧波大學機械工程與力學學院 寧波， 315211) (2.浙江大學浙江省先進制造技術重點實驗室 杭州， 310027)

致動器/傳感器的優化配置問題是智能柔性結構振動主動控制中的關鍵技術問題，基于模態空間H2范數研究了智能柔性梁系統中壓電致動器/傳感器的優化配置問題。根據Rayleigh-Ritz理論建立了系統的動力學方程并得到其狀態空間表達式。提出了一種衡量系統能控/能觀性并考慮模態權重的綜合模態H2范數準則，采用改進遺傳算法研究系統中并置致動器/傳感器的優化配置問題，得到了系統多個模態、綜合模態H2范數最優的致動器/傳感器布局結果。實驗結果表明，利用優化結果進行致動器/傳感器的布局，系統單個模態和綜合模態均具有較好的檢測和控制效果，被控模態具有較好的能控/能觀性，所提出的優化準則和優化方法是可行的。

智能柔性結構； 綜合模態H2范數； 優化配置； 壓電致動器/傳感器； 改進遺傳算法

引 言

為了降低能耗并提高操作效率及精度，機器人和機械操作臂不斷朝著低剛度、高精度和柔性化的趨勢發展。由于自身低剛度、低阻尼特性，造成柔性機器人及機械臂在執行操作任務過程中很容易激起自身低頻、大幅度的彈性振動，因此如何抑制柔性臂的彈性振動是一項具有挑戰性的課題[1]。壓電材料等智能材料的興起為振動主動控制技術提供了新的方法和手段。基于壓電致動器/傳感器的智能柔性結構的振動主動控制技術成為當前的研究熱點[2-3]。由于致動器/傳感器的分布對系統控制效果具有重要影響，因此研究智能柔性結構中致動器/傳感器的優化配置問題具有重要的工程現實意義[4]。致動器/傳感器在柔性結構中的優化配置問題引起了國內外學者的廣泛關注[5]。Kumar等[6]提出了一個綜合考慮輸入能量和控制能量的線性二次型調節器(linear quadratic regulator,簡稱LQR)指標對柔性梁系統中致動器/傳感器的位置和控制器參數同時優化。朱燈林等[7]以系統存留能量為目標函數，對懸臂梁結構壓電片位置、尺寸和控制進行了融合優化研究。Gueney等[8]在對智能柔性結構的研究中，引入測量誤差和外界干擾，對設計的H∞控制器和致動器/傳感器布局位置同時優化。研究者嘗試從系統結構特性出發，獨立于控制器設計得到致動器/傳感器的最優布局。Peng等[9]基于最大能控Grammian矩陣準則，研究了柔性板中壓電致動器/傳感器的配置問題。潘繼等[10]使用基于能量的可控Grammian優化準則，研究了柔性懸臂板主動控制中作動器的優化位置問題。Dhuri等[11]以系統固有頻率變化率和能控Grammian矩陣奇異值變化率為綜合優化指標，基于多目標遺傳優化算法研究了柔性結構中致動器/傳感器的優化配置問題。錢鋒等[12]采用基于主結構模態應變能的優化準則，研究了四邊固支復合層壓電智能板中的致動器/傳感器的位置優化問題。邱志成[13]在撓性懸臂板上致動傳感器/致動器的優化配置中提出了基于H2和H∞的復合加權指標。Nestorovic等[14]分別基于系統傳遞函數的H2范數和H∞范數研究了柔性結構中致動器/傳感器的配置問題。對于具有多模態振動的智能柔性結構而言，如何實現系統多個模態以及綜合模態的控制/觀測效果最佳，仍有許多問題需要深入研究。

筆者針對智能柔性梁系統中壓電致動器/傳感器的優化配置問題，從表征系統能控/能觀性的傳遞函數H2范數出發，提出了基于整個系統模態空間H2指標并考慮模態權重的致動器/傳感器優化配置準則，并搭建實驗平臺驗證相關理論分析和優化結果的有效性。

1 系統建模

以最典型的壓電柔性梁為研究對象，粘貼有壓電致動器、應變傳感器的柔性懸臂梁模型如圖1所示。一對壓電陶瓷片作為致動器對稱地粘貼在距離懸臂梁固定端xp處的上下表面，其致動力矩為M，同時在基體梁的上下表面布局一對應變片傳感器用于檢測梁的振動情況，其中心到柔性梁固定端的距離為xs。基體梁和壓電致動器的幾何尺寸長×寬×高分別為Lb×bb×hb和Lp×bp×hp，并假設致動器、傳感器與基體梁之間理想粘貼，不存在相對位移。

圖1 貼有致動器/傳感器的懸臂梁模型示意圖Fig.1 Model of a cantilever beam with actuators/sensors

由于柔性梁橫向振動位移w(x,t)相對于長度尺寸Lb較小，故假設其為Euler-Bernoulli梁模型。根據經典振動理論，壓電致動器作用下柔性梁的振動方程為

(1)

其中：Eb為柔性梁的彈性模量；Ib為柔性梁的慣性矩；ρb為柔性梁的密度；Ab為柔性梁的橫截面積；xe為壓電致動器的終止位置，xe=xp+Lp；δ`(·)為Dirac函數對其變量的導數。

在壓電致動器對稱布置且理想粘貼的情況下，其致動力矩為

(2)

其中：d31為壓電材料的壓電應變常數；V為壓電致動器的控制電壓；c為壓電致動器的等效電壓系數。

根據Rayleigh-Ritz理論，梁的橫向振動位移為

(3)

其中：r為保留的模態階數；Ф (x)=(φ1,φ2, … ,φr)，為模態振型矢量；q(t)=(q1,q2, … ,qr)T，為廣義模態坐標矢量。

柔性梁采用一端固定、一端自由的懸臂梁邊界條件，得出其第i階模態振型函數為

將式(3)和式(2)代入式(1)，考慮柔性梁結構阻尼的影響，得到其模態坐標形式的動力學方程為

(5)

依照圖1所示方式粘貼電阻應變片，傳感器的輸出為柔性梁模態位移的線性組合。采用半橋接法，得到應變片輸出電壓與柔性臂彈性變形之間的關系為

其中：K為傳感器的靈敏度系數；ks為應變傳感器的輸出電壓系數。

引入柔性臂模態位移和模態速度組成的狀態變量X，得到系統動力學方程的狀態空間表達式為

(7)

其中：X(t),Y(t),V(t)分別為狀態變量、輸出變量和輸入變量；A,B,C分別為狀態矩陣、輸入矩陣和輸入矩陣，具體表達式如下

2 模態空間H2范數指標

能控/能觀性在系統控制器的設計和應用中占有重要地位。系統的能控/能觀性可以通過一些恰當的數值指標體現，如系統能控矩陣/能觀矩陣的秩、奇異值、特征值或范數等。對于式(7)所示的智能柔性梁系統，系統輸入與輸出之間關系的頻域表示——傳遞函數G(iω)為

(8)

系統H2范數的定義[15]為

(9)

其中：G*(ω)為傳遞函數G(ω)的復共軛。

將式(8)結果代入式(9)，化簡得到

(10)

其中：Wc為能控Gramian矩陣；Wo為能觀Gramian矩陣。

具體表達式如下

(11)

(12)

Wc和Wo的值可通過求解代數Lyapunov線性矩陣方程得到

AWc+WcAT=-BBT

(13)

ATWo+WoA=-CTC

(14)

Gramian矩陣Wc和Wo分別為式(13)，(14)的唯一正定Hermitian解。

由于在得到智能柔性梁系統的狀態空間方程中采用了模態理論和模態截斷技術，在系統結構的模態阻尼比ζi遠小于1的情況下，第i階模態H2范數的表達式[16]為

(15)

其中：Bi為輸入矩陣B在第i階模態坐標上的投影；Ci為輸出矩陣C在第i階模態坐標上的投影。

如果壓電致動器和應變傳感器采用同位配置的布局方式，僅對單組致動器/傳感器在柔性梁上的配置效果進行研究。對于柔性梁的第i階振動模態，壓電致動器輸入對應變傳感器輸出的模態H2范數與式(15)有著相同結果。Bi和Ci的值分別為

(16a)

(16b)

從式(15)可以看出：第i階模態的H2范數取決于第i階模態頻率ωi，模態阻尼ζi以及輸入/輸出Lagrange分量Bi和Ci，即某階模態H2范數越大，代表配置的致動器/傳感器分布在該階模態上的輸入/輸出分量越大。因此，第i階模態的H2范數指標反映了在閉環控制下，配置的致動器/傳感器將能量引入到系統第i階振動模態中的能力。

對于具有r階振動模態的多模態智能柔性梁系統，定義同位布局的致動器/傳感器在整個模態空間的H2指標的表達式為

(17)

由于致動器/傳感器采用同位配置的方式，因此傳感器的粘貼位置為xs=xp+lp/2。建立智能柔性梁系統致動器/傳感器優化配置問題的數學模型為

(18)

subjectto:0≤xp≤Lb-Lp

通過在求解空間里尋找如式(18)所示的模態空間H2指標的最大值，即可找到系統能控/能觀性最優的致動器/傳感器的布局位置，從而實現智能柔性梁系統中致動器/傳感器的優化配置。

3 改進遺傳算法的優化求解過程

遺傳算法(genetic algorithm，簡稱GA)具有簡單易用、適應性強和操作方便的優點，廣泛應用于優化問題的求解中[17]。為了提高優化問題的求解精度，加快算法的收斂速度以盡快收斂到最優解，筆者在標準遺傳算法的基礎上，采用浮點數編碼策略和精英保存策略的改進遺傳算法完成優化問題的求解，求解過程如下。

1) 確立優化問題模型：建立優化問題的數學模型，并確定可行域，如式(18)所示。

2) 編碼并初始化種群：基于浮點數編碼策略直接采用待求解變量——致動器配置位置xp組成染色體串進行編碼，然后隨機產生一定規模數量的初始種群。

3) 個體適應度評估：計算種群個體的目標函數值，并據此評估個體優劣。

4) 選擇操作和精英個體保存：根據個體適應度的大小，按照設定概率進行選擇操作。為了得到最優解，在選擇過程中，根據精英保存策略將適應度最好的個體保存下來。

5) 交叉和變異操作：采用遺傳過程中的交叉和變異操作產生新的后代個體。

6) 再次評價個體適應度：重新計算種群個體適應度值，并用保存下來的精英個體替換新種群中的最差個體，提高種群的平均適應度。

7) 終止判斷：重復迭代第4步～第6步的操作，直至滿足終止條件，得到最優個體。

4 算例分析結果

設定致動器的長度、寬度和厚度都是固定的，僅對其布局位置進行優化。柔性梁、壓電致動器的基本參數如表1所示。應變傳感器的基本參數如表2所示。

表1 柔性梁和致動器的基本參數表

表2 電阻應變傳感器的基本參數

由于高階模態在柔性梁振動模態中所占比重較少，重點關注柔性臂前兩階模態的能控/能觀性。根據表1參數，采用懸臂梁邊界條件計算得到柔性梁的前兩階固有頻率為3.89Hz和24.4Hz，并設定相應的模態阻尼比分別為0.02和0.01。

在具體的優化求解過程中，遺傳算法的基本參數設置：種群大小為50，最大進化代數為50，交叉概率為0.6，變異概率為0.01并通過多次優化以求得最優解。圖2為以柔性梁一階模態的H2范數為優化目標的遺傳進化過程。可以看出，大約經過25代進化過程收斂到最優解。表3為以柔性梁的一階模態、二階模態以及綜合模態H2范數為優化目標得到的最終優化結果。可以看出：當壓電致動器/應變傳感器布局在柔性梁的根部位置距固定端0.403 mm時，系統一階模態H2范數最大為2.74×10-5；當致動器/傳感器配置在柔性梁的中部位置距固定端276.136mm時，系統二階模態H2范數取得最大值1.90×10-5；當致動器/傳感器布局在柔性梁的根部位置距固定端1.332 mm時，綜合模態H2范數取得最大值3.86×10-5(注：模態H2范數與適應度互為倒數)。

圖2 平均及最佳適應度的遺傳進化過程Fig.2 Evolution process of the mean and best fitness

優化指標適應度值優化結果x*p/mm一階模態H2范數36547.8 0.403二階模態H2范數52710.4276.136綜合模態H2范數25933.61.332

5 實驗研究

搭建智能柔性梁測控系統如圖3(a)所示。根據優化結果及實際布線考慮，為了獲得柔性梁最大的振動信息，將一組電阻應變片對稱地粘貼在梁的根部位置，在靠近應變片的位置距離根部24.7mm處，對稱地粘貼第1組壓電陶瓷片作為致動器。為了比對不同位置的致動器/傳感器的致動/檢測效果，在柔性梁的中部位置，也就是距離柔性梁根部260.2mm和280.3mm的地方分別布局第2組應變傳感器和壓電致動器，實物圖如圖3(b)所示。整個測控系統以工控PC機為控制中心，傳感器的檢測信號經濾波后通過多路應變放大器放大為-10～+10V的電壓信號，工控機發出的控制電壓信號(±10V)經多路功率放大器放大為-150～+150V施加在壓電致動器上，并利用多通道的數據采集卡實現數據D/A, A/D轉換，實現傳感信號輸入和控制信號輸出功能。

圖3 智能柔性梁測控系統實驗框圖及實物圖Fig.3 Schematic diagram and photo of the experimental system

為了掌握系統的動態特性，進行智能柔性梁系統的模態特性實驗。通過沖擊錘敲擊激起柔性梁的振動，并用截止頻率為35.0Hz的低通巴特沃斯濾波器濾波，經計算得到柔性梁的前兩階固有頻率和模態阻尼比分別為f1=2.8Hz，ζ1=0.022，f2=17.8Hz，ζ2=0.009。顯然，壓電致動器和應變傳感器的加入以及材料實際特性與標稱值的差異造成了實驗結果與理論分析之間的差異。因此，從實驗角度實際檢驗致動器/傳感器的配置效果很有必要。

由于系統一階模態固有頻率較低，故外界干擾易激起其彈性振動。在柔性梁根部的壓電致動器施加一個與系統一階固有頻率同頻、持續時間為14s的正弦信號

fd(t)=140.0sin(2π2.81t)

(19)

圖4 根部致動器激勵下傳感器的輸出信號Fig.4 Output signals of sensors actuated by root PZT actuators

的激勵下，粘貼在柔性梁根部的應變傳感器的輸出信號如圖4所示。圖5為將同樣的激勵信號施加到粘貼在柔性梁中部的壓電致動器時，粘貼在柔性梁根部應變傳感器的輸出信號。圖6為兩種情況下頻域信號的對比情況。從圖4和圖5的實驗結果可以看出，同樣在與系統一階固有頻率同頻的驅動信號激勵下，布局在根部的壓電致動器激起了系統更大的一階模態振動(見圖6)。與配置在柔性梁中部的致動器相比，布局在根部的致動器對柔性梁的一階模態振動具有更強的致動能力，對系統一階模態的控制能力更強，此時系統一階模態的能控性更好。

圖5 中部致動器激勵下傳感器的輸出信號Fig.5 Output signals of sensors Actuated by middle PZT actuators

圖6 不同位置致動器激勵下傳感器的頻域信號Fig.6 Compared frequency response actuated by PZT actuators in different position

圖7和圖8為在一次沖擊信號激勵下粘貼在柔性梁根部和中部的應變片傳感器的輸出信號。二者頻域信號的對比情況如圖9所示，顯然布局在柔性梁根部的傳感器對系統一階模態的傳感檢測能力較強，能觀性更好。從圖6和圖9的實驗結果可以得出，當致動器/傳感器布局在柔性梁根部時，系統一階模態的能控/能觀性最好，理論優化配置結果的有

圖7 同一激勵信號下根部傳感器的輸出信號Fig.7 Output signals of root sensors stimulated by a signal

圖8 同一激勵信號下中部傳感器的輸出信號Fig.8 Output signals of middle sensors stimulated by a signal

圖9 同一信號激勵下不同位置傳感器的頻域信號Fig.9 Compared frequency response of sensors in different position stimulated by a signal

效性得到了驗證。

對系統二階模態的檢測情況而言，當傳感器布局在柔性梁中部位置時，傳感器此時具有更好的檢測輸出能力，如圖9中二階頻率波峰所示，其檢測輸出的系統二階模態振動幅值大于根部傳感器的輸出，二階模態的能觀性更好。根據并置致動器/傳感器的能控/能觀性的一致性，顯然系統二階模態H2范數在柔性梁中部取得最大值，此時系統二階模態的能控/能觀性最好。如圖4～9的實驗結果所示，由于一階模態占據主導地位，故系統的綜合模態H2范數仍是致動器/傳感器配置在柔性梁根部時取得最大值，此時系統綜合模態的能控/能觀性最好。

從實驗結果可以看出：雖然壓電致動器的引入對柔性臂系統的模態特性產生了一定影響，但是布局在根部的傳感器對系統一階模態具有更好的檢測傳感效果，而布局在中部的傳感器對系統二階的檢測傳感效果更好，且由于一階模態占主導地位，根部傳感器的輸出明顯高于中部，綜合模態的能控性更好。對于壓電致動器的布局，雖然實際布線需要第1組壓電致動器布局在靠近柔性梁根部的位置，而非優化得到的最大綜合模態指標處—柔性梁的根部，但與第2組壓電致動器的實際控制效果相比，其對系統一階模態仍具有更強的驅動和控制效果，也可以為理論分析結果提供一定的依據。

6 結 論

1) 研究了智能柔性結構中壓電致動器/應變傳感器的優化配置問題。提出了一種衡量系統能控/能觀性并考慮模態權重的模態空間H2范數準則，采用改進遺傳算法研究了智能柔性梁系統中并置致動器/傳感器的優化配置問題，并搭建實驗平臺驗證了理論分析和優化結果的有效性。

2) 結果表明：所提出的優化準則和優化方法是切實可行的。該方法可以應用到其他復雜的柔性結構，為智能柔性結構中致動器/傳感器的優化配置提供借鑒和嘗試。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.008

*國家自然科學基金資助項目(51505238,51375433)；浙江省自然科學基金資助項目(LQ15E050002)；寧波市自然科學基金資助項目(2015A610145)；寧波大學學科項目(xkl141034)

2014-01-06；修回日期：2014-03-10

TP24； TH113

婁軍強，男，1986年7月生，講師。主要研究方向為振動主動控制、智能材料應用等。 E-mail: loujunqiang@nbu.edu.cn 通信作者簡介：魏燕定，男，1970年7月生，教授、博士生導師。主要研究方向為機械制造及自動化。 E-mail: weiyd@zju.edu.cn