層間隔震體系可靠度的靈敏度分析*

張尚榮， 譚 平， 杜永峰， 周福霖， 包 超

(1.蘭州理工大學防震減災研究所 蘭州，730050) (2.廣州大學工程抗震研究中心 廣州，510405) (3.寧夏大學土木與水利工程學院 銀川，750000)

層間隔震體系可靠度的靈敏度分析*

張尚榮1,3， 譚 平2， 杜永峰1， 周福霖2， 包 超1

(1.蘭州理工大學防震減災研究所 蘭州，730050) (2.廣州大學工程抗震研究中心 廣州，510405) (3.寧夏大學土木與水利工程學院 銀川，750000)

考慮層間隔震體系(上部隔震結構、中間層隔震結構、下部隔震結構)隨機參量和地震激勵的不確定性，利用隨機響應面方法，結合基于線性無關原則的概率配點方法，將隱式的結構響應函數轉換成顯式函數，在此基礎上利用Monte-Carlo分別對3種隔震結構形式可靠度進行分析，并分析了其對應的可靠度靈敏度。結果表明：層間隔震體系中，各隨機變量均值變化對體系的可靠度將會產生不同的影響，各隨機變量方差的增加都將降低體系的可靠度；可通過優化設計變量，嚴格控制施工質量(控制變量方差)，降低其對體系可靠度的影響。可靠度靈敏度的分析結果可以提供體系的可靠度指標對隨機參量變化的重要性排序，從而提高大型復雜結構的可靠度分析和優化設計的效率,同時為層間隔震體系可靠度靈敏度的進一步研究奠定基礎。

層間隔震體系； 隨機響應面法； 線性無關概率配點； 首超破壞準則； 可靠度靈敏度

引 言

工程結構系統的安全可靠是結構系統設計的主要目的之一。層間隔震結構體系作為一種新型的結構體系，其結構物理參數具有分散性，承受的載荷帶有隨機變化的性質，從而導致了具有隨機參數的隨機層間隔震結構體系。因此，研究這種結構系統的可靠性和可靠性靈敏度問題有重要的意義[1]。通過靈敏度分析，可以確定調整何種設計參數最為有效，從而選取盡量少的優化變量，幫助工程技術人員合理地建立結構系統安全容限和控制隨機參數。

對工程結構可靠性靈敏度的研究，自文獻[2]提出特征值和特征向量靈敏度以來，已有很多學者對機電工程領域的靈敏度問題進行了研究[3-4]。傳統的多項式響應面法在結構可靠性分析中占有重要的地位，但其結果容易受到擬合函數形式及擬合點位置的影響，限制了響應面法對極限狀態函數的近似程度[5]。文獻[6]提出隨機響應面法(stochastic response surface method, 簡稱SRSM)，并將其用于環境和生物學等領域中的概率分析。層間隔震體系作為一種新型的結構體系，隔震層位置設置的不同，結構表現出不同的工作機理，影響結構可靠度的主要參量也不同，因此研究隔震層位置變化而影響結構可靠度的主要參量對層間隔震體系的經濟性和安全性具有重要意義。筆者將隨機結構可靠性靈敏度分析引入層間隔震結構體系，研究體系中各隨機變量或其參數變化對可靠度的影響規律，從而為各隨機變量或參數之間的重要性程度提供橫向對比，對層間隔震體系的可靠性設計、修改、優化等方面具有指導意義。

1 層間隔震體系隨機響應分析

在線彈性情況下，圖1為層間隔震體系計算模型，其運動方程為

(1)

圖1 層間隔震體系計算模型Fig.1 Calculation mode of inter-story isolated system

層間隔震體系是典型的非經典阻尼體系，其阻尼矩陣不能在N維主空間中解耦。筆者采用復模態方法對其進行動力特性分析。

(2)

式(2)對應的特征矢量方程為

(3)

復模態質量為

復模態剛度為

將狀態量用復模態表示并代入式(3)，經傅里葉變化可得傳遞矩陣

(4)

(5)

結構位移響應功率譜可表示為

(6)

結構位移響應方差為

(7)

2 隨機響應面模型的建立

隨機響應面法[8]是基于具有平方可積概率密度函數的隨機變量可以表達為獨立標準分布隨機變量的函數形式假定，將輸入隨機變量轉換為獨立同分布的標準正態隨機變量的函數，并利用獨立標準正態隨機變量的混沌多項式來描述隨機響應。

(8)

隨機響應面法的結果取決于待估參數bi1,bi1i2，…，bi1i2…in的求解中概率配點的選擇。一般來說，p階隨機多項式展開配點是通過p+1階Hermite多項式的根確定[9]，且按照此方法確定的可供選擇的配點數目N遠遠大于所需配點Nc的數目。筆者采取基于線性無關原則選取概率配點，剔除了大量線性相關配點，保證混沌多項式系數矩陣按行線性無關，且系數矩陣為行滿秩矩陣，待定系數有唯一解。這樣既確保計算結果的穩定性，又提高了計算效率。

以上的樣本點均在標準正態空間內，根據需要將其轉換到原始空間。筆者選取變量均假定服從正態分布，其轉換形式為

(10)

其中：μi，σi分別為變量xip的均值和標準差。

轉換后的原始空間樣本點形成試驗樣本，通過動力分析方法得到結構的真實響應，用最小二乘法求解線性方程組得到待定系數，即得到隨機響應面模型的顯式表達函數。

(11)

(12)

其中：B為待估參數系數矩陣；X為Hermite多項式組合矩陣；Y為響應矩陣；k為模型驗證的樣本數量；p為隨機變量數量。

3 層間隔震體系可靠度靈敏度分析

3.1 基于首超破壞的動力可靠度

結構受地震作用動力可靠度分析是典型的基于首次穿越破壞分析,假定地震激勵和結構響應為零均值平穩隨機過程。記ye和σy分別為結構響應y(t)的極值(絕對最大值)和標準差，定義無量綱參數[10]為

(13)

根據水平跨越次數是Poisson過程的假定，求得極值的概率分布為

(14)

(15)

η的極值標準差為

(16)

隨機過程y(t)的極值的期望值表示為

(17)

層間隔震體系以層間位移角極限狀態表示的狀態方程為

(18)

可靠性指標定義為

(19)

若y(x)服從正態分布，得到可靠度

(20)

3.2 可靠度靈敏度

可靠度靈敏度反映設計參數的改變對失效概率的影響程度，常常為結構可靠度優化設計確定最優解的搜索方向，是結構可靠度優化設計的重要組成部分[11]。筆者在SRSM生成顯式函數的基礎上建立了基于Monte-Carlo模擬的可靠度靈敏度分析方法，基本隨機參數矢量的均值矩陣μ和方差矩陣D的靈敏度為

(21)

(22)

其中

(23)

4 仿真分析

以兩自由度等效模型通過NSGA-Ⅱ優化分析，得到以基底剪力最小為優化目標的層間隔震體系在不同質量比下的最優頻率比和最優阻尼比作為算例模型。

4.1 遺傳優化算法—NSGA-Ⅱ

NSGA-Ⅱ在選擇過程中采用非支配排序降低了計算復雜度，加快了收斂速度。形成支配集后引入的精英策略提高了結果的優化精度與種群水平。同時加入的擁擠度處理等方法保證了種群的分布性與多樣性。經過交叉變異等操作直到指定最大代數后終止，解集的收斂性好且易于得到全局最優解的優點，成為其他多目標優化算法性能的基準。

4.2 工程算例

通過NSGA-Ⅱ優化分析，結構在不同質量比下的最優頻率比和最優阻尼比的結果如表1所示，上、下部子結構的阻尼比取為0.05；上、下部子結構的高度分別均為2.7 m和3.3 m； 結構的隨機激勵模

表1 結構參數統計信息

型采用Clough-Penzien譜[12]，譜強度因子S0=9.537 cm2/s3；地基土卓越頻率和阻尼比ωf和ξf分別為ωf=17.95 rad/s，ξf=0.72；ωc和ξc分別取ωc=0.1-0.2ωf，ξc=ξf。

假定結構隨機變量為隔震層剛度kiso，隔震層阻尼比ξiso，上、下部子結構剛度ksup，ksub，上、下部子結構質量msup，msub，上部子結構質，且假定以上各隨機變量均服從正態分布，其均值和變異系數如表1所示。小震下，各樓層層間的位移角限值[13]取為dmax=1/550 rad；隔震層的水平位移限值不應超過隔震支座有效直徑的0.55倍和支座橡膠總厚度3.0倍二者中的較小值(這里假定前者小于后者，即選取0.55d作為限值)。大震下，考慮到層間隔震體系的非線性問題及可靠度指標選取的復雜性，筆者僅對體系在小震下的可靠性靈敏度進行分析，為大震下體系可靠度靈敏度研究奠定基礎。

4.3 結果分析

根據各隨機變量在結構中變異程度概率大小給予變量不同的變異系數，如表1所示。利用隨機響應面方法并根據式(8)，(10)分別得到層間隔震結構體系的層間位移角極值的隨機響應面函數。限于篇幅，僅給出層間隔震體系質量比μ=2.0(中間層隔震結構)的隨機響應面函數。

(24)

其中

-0.39,774,1550 }

1.10×10- 3,3.03,-2.97,5.33×104,

3.71×105, -8.09×106, 1.78×107,

-6.72×10-5,-0.156,0.0307,

-0.0412,-0.196,310 }

對隨機響應面函數應用Monte Carlo模擬得到層間隔震體系狀態函數的概率統計參數[14]，如表2所示。結合隨機響應面顯式函數的概率統計參數，兩者模擬所得數據相近。

表2 隨機響應面函數概率統計信息(極限狀態均值)

表3和圖2為考慮體系各隨機變量變異系數時，層間隔震體系可靠度靈敏度的計算結果。可以看出：層間隔震體系中，隔震層阻尼比ξiso的增加，增加了結構的阻尼耗能，從而提高了體系的可靠度。對于中間層隔震結構，隔震層剛度kiso和上部子結構剛度ksup的增加，提高了結構的可靠性，而下部子結構剛度ksub及上、下部子結構質量的增加，將使結構可靠度有所降低。從影響程度上看，中間層隔震結構各隨機變量均值的可靠度靈敏度排序，即各參數之間重要性程度為：隔震層阻尼比、上部子結構剛度、隔震層剛度、下部子結構剛度、下部子結構質量和上部子結構質量。同理，得到上部隔震和下部隔震結構各參數之間重要性程度。另外，各隨機變量方差的增加都將降低體系可靠度。因此，對于層間隔震體系，通過在設計中優化隨機變量的均值以及施工中嚴格控制施工質量(控制各變量方差)，降低其對可靠度的影響。

表3 層間隔震體系可靠性靈敏度分析結果

圖2 可靠性極值均值靈敏度Fig.2 Reliability sensitivity of extremum average

5 結 論

1) 層間隔震體系中，上部子結構和下部子結構剛度的變化對整體結構的可靠度將產生不同影響，在體系設計中應嚴格控制上、下部子結構剛度，從而降低其對結構可靠度的影響。

2) 隨機參量方差對層間隔震體系可靠度的靈敏度總體表現為各隨機變量方差的增加都將降低體系的可靠度。因此在結構施工階段，應嚴格控制施工質量，降低其對體系可靠度的影響。

3) 層間隔震體系可靠度的靈敏度分析結果可以提供體系的可靠度指標對隨機參量變化的重要性排序，對影響較小的參量可以作為定量處理，可以提高大型復雜結構可靠度分析和優化設計的效率。

4) 僅分析了層間隔震體系“小震”下的變形能力可靠度的靈敏度，還需驗算其在“中震”和“大震”下的變形能力和極限承載能力的可靠度靈敏度，該方法為層間隔震體系可靠度靈敏度的進一步研究奠定了基礎。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.017

*國家重點基礎研究發展計劃(“九七三”計劃)資助項目(2012CB723300,2012CB723304)；國家科技支撐計劃子課題資助項目(2012BAJ07B02)；國家自然科學基金重點資助項目(91315301-07)；國家自然科學基金資助項目(51078097,51178211)；廣州市羊城學者科技計劃資助項目(10A032D)

2014-02-20；修回日期：2014-05-22

TU352.1

張尚榮，男，1984年12月生，博士研究生。主要研究方向為結構減震控制。曾發表《基于響應面法的層間隔震結構地震易損性分析》(《振動與沖擊》2014年第33卷第15期)等論文。 E-mail:confidence.5@163.com 通信作者簡介：譚平，男，1973年9月生，博士、教授。主要研究方向為結構減振控制。 E-mail:ptan@gzhu.edu.cn