基于穩健回歸分析的轉子系統不平衡量識別*

臧廷朋， 溫廣瑞,2,3， 廖與禾

(1.西安交通大學現代設計與轉子軸承系統教育部重點實驗室 西安， 710049) (2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室 西安， 710049) (3.新疆大學機械工程學院 烏魯木齊， 830047)

基于穩健回歸分析的轉子系統不平衡量識別*

臧廷朋1， 溫廣瑞1,2,3， 廖與禾1

(1.西安交通大學現代設計與轉子軸承系統教育部重點實驗室 西安， 710049) (2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室 西安， 710049) (3.新疆大學機械工程學院 烏魯木齊， 830047)

不平衡是造成轉子系統振動過大、影響其安全運行的重要因素。傳統的最小二乘算法(least squares, 簡稱LS)在不平衡量識別過程中存在對外界干擾或異常值敏感的問題，改進的加權最小二乘算法(weighted least squares, 簡稱WLS)雖然能夠降低異常值的影響，但需要經驗積累并對振動數據進行深入分析。提出一種基于穩健回歸分析的轉子系統不平衡量識別方法，通過構建優化的目標函數自動消除異常值的影響，得到正常狀態下轉子系統不平衡量的最佳估值。實驗結果表明，該方法能夠有效消除外界干擾和異常值的影響，準確識別出轉子系統不平衡量。

穩健回歸分析； 轉子； 最小二乘法； 不平衡

引 言

轉子動平衡技術是減小機組振動和保障機組安全平穩運行的重要手段。目前，已形成以影響系數法和模態平衡法為核心的眾多成熟技術[1-4]，國內外的相關研究集中以提高平衡效率為目的。李常有等[5]通過研究系統的不平衡響應與模型等效載荷的關系，提出了一種基于模型的轉子系統不平衡量估計方法，該方法利用模態擴展技術可以準確識別不平衡量的大小和位置。Saldarriaga等[6]從反問題的角度出發，利用基于遺傳算法的偽隨機優化方法模擬轉子系統的不平衡響應，實現不平衡量的識別。上述研究都是以準確獲得振動數據為基礎，但在噪聲干擾較大等的惡劣工業環境中推廣應用受到很大限制。

實際平衡過程中通常利用最小二乘法或加權最小二乘法等優化算法實現轉子系統不平衡量的識別。最小二乘法對轉子不平衡響應的誤差分布有嚴格要求，當誤差不滿足正態分布或測量數據存在異常值時，不能準確完成系統不平衡量的識別[7]。加權最小二乘算法通過分配不同的權重系數能夠有效消除外界干擾的影響，但需要操作者具有豐富的經驗并對振動數據進行深入分析。近年來，先進的動平衡技術特別是快速高效動平衡和自動平衡技術[8]的出現和發展對轉子系統不平衡量識別的穩健性提出了更高的要求。

筆者利用穩健回歸分析方法實現復雜環境下轉子系統的不平衡量識別。該方法能夠克服最小二乘法對測量數據異常值敏感的問題，提高不平衡量識別過程的穩健性。能夠依據不平衡響應的分布特性自動分配不同的權重系數，減小對專家經驗的依賴。通過實驗驗證了基于穩健回歸分析的轉子系統不平衡量識別方法的有效性和實用性。

1 影響系數法及回歸分析模型

影響系數法是建立在線性振動理論基礎上的一種平衡方法，因其原理清晰、操作簡單而廣泛應用于轉子系統平衡[9]。M個平衡面、N個測振點、單一平衡轉速時影響系數的平衡方程為

(1)

矩陣形式表達為

(2)

其中：X為影響系數矩陣；aij為j平衡面對i測點的影響系數；θj為j平衡面的配重質量；yi為i測點的不平衡響應；ei為i測點的殘余振動。

(3)

式(3)可以轉換為多元回歸分析問題[10]

(4)

2 穩健回歸分析

穩健回歸分析的主要思想是通過對異常值敏感的最小二乘回歸中的目標函數進行優化，選擇適當的權重函數盡可能地降低異常值對參數估值的影響，得到存在外界干擾情況下的最佳估值。根據異常點的類型，回歸分析的穩健性分別由失效點和影響函數度量。失效點定義為使估計量達到任意大時異常點的最小百分比，主要用來限制轉子系統不平衡響應中外界干擾和異常值的影響。對于給定估計方法T，長度為n的有限元素序列Z的失效點為

(5)

其中：Z*為任意改變Z中p個元素值所組成的序列。

由于單個異常值能夠使LS產生任意大的估計值，因此LS的失效點為0，而穩健回歸分析的失效點最高可達50%。

影響函數用來度量轉子系統影響系數矩陣中泄漏點對回歸分析的局部影響，通常利用帽子矩陣H對角線值進行衡量

(6)

目前,穩健回歸分析已經發展多種不同的估計方法，筆者主要研究M-Huber估計、MM估計以及最小二乘中位數(least median of squares, 簡稱LMS)估計在轉子系統不平衡量識別中的應用。

2.1 M-Huber估計

M估計是最大似然估計的擴展和推廣，由Huber于1981年提出[11]，通過一個遞增速率較低的殘差函數代替最小二乘回歸中殘差平方和函數實現回歸穩健性的提高。

(7)

M估計的目標函數不具備尺度同變性，需要利用尺度參數對殘差進行標準化處理，常用中位絕對離差(medianabsolutedeviation, 簡稱MAD)對殘差的尺度參數進行穩健估計。

(8)

其中：med為計算序列的中位數。

M-Huber是M類估計中常用的一種估計，其目標函數為

(9)

其中：k為調整系數，較小的k值能產生較大的穩健性，在綜合考慮穩健性和計算效率的情況下通常取k=1.345。

2.2LMS估計

最小二乘中位數估計利用殘差平方的中位數替換最小二乘估計中的殘差平方和

(10)

殘差平方的中位數相比殘差平方和更為穩健，估計結果能更好地抵抗干擾和特異值的影響，失效點最高可達50%，但較低的計算效率限制了該估計的廣泛應用。

2.3MM估計

MM估計使用一種以上的M估計來計算最終的估計值，具有高穩健性優點的同時還保留了M類估計運算效率高的特點[12]，因而成為目前應用最多的穩健估計方法。MM估計的目標函數采用Tukey雙核函數

(11)

當調整系數k=4.685時，MM估計穩健性較好，同時可以保持95%的估計效率。MM估計的求解通過迭代再加權最小二乘法(lterativelyreweightedleastsquares, 簡稱IRLS)實現，步驟如下：

2) 通過M估計計算得到殘差r0尺度的穩健估計sn；

4) 重復步驟2, 3，直到循環迭代滿足終止條件為止。

3 平衡實驗

通過BentlyRK4轉子實驗臺進行基于穩健回歸分析的不平衡量估計方法的驗證。為了充分考慮轉子支撐各向異性的影響，分別在A,B兩測量面上安裝相互垂直的電渦流傳感器，實驗臺結構和傳感器的安裝方式如圖1所示。系統結構下轉子的一階臨界轉速約為1 880 r/min。

圖1 傳感器安裝示意圖Fig.1 The structure sketch of test rig

為了消除轉子非失衡故障對不平衡量估計的影響，通過一次停車過程記錄轉子系統原始狀態下的振動信息。在A平衡面0°位置添加0.4 g的不平衡量模擬失衡故障，通過一次起車過程獲得該狀態的振動信息。利用上述兩次過程獲得轉子系統在1 000～2 500 r/min范圍內的不平衡量響應如圖2所示。

圖2 轉子系統不平衡量響應Fig.2 Unbalance response of the rotor system

(12)

表1 不平衡量估計效果

從表1可以看出，穩健回歸分析能夠比最小二乘法取得更好的不平衡量估計效果，相對誤差由最高的59.57%下降到最低的3.39%，不平衡量估計精度提升明顯，特別是相位估計精度的提高。對于M-Huber估計方法，隨著k值由1.345減小到0.5，即隨著穩健程度的不斷提高，不平衡量的估計結果可以得到相同的結論。在綜合考慮計算效率和抗干擾能力時，基于穩健MM估計的方法能夠取得較為理想的識別結果。

基于穩健回歸分析的不平衡估計方法根據不平衡量響應的殘差分布分配不同的權重系數，本次實驗中A,B截面的權重系數如圖3和圖4所示，其中虛線位置表示一階臨界轉速。由圖中可知，不同的穩健回歸方法由于目標函數的不同可能對相同的失衡響應分配不同的權重系數；所有的穩健回歸方法都降低一階臨界轉速附近失衡響應的權重系數，與實際平衡中由于臨界轉速附近振動劇烈而難于獲得準確的響應一致。由圖3， 4及表1可以看出，穩健回歸分析克服了最小二乘法對臨界轉速附近振動變化敏感的問題，根據系統不平衡響應的分布特性自動分配的權重系數減小了對專家經驗的依賴，實現轉子系統多轉速多平面條件下的不平衡量的準確估計。

4 結束語

討論了存在外界干擾或異常值的情況下轉子系統不平衡量識別的問題，提出了基于穩健回歸分析的不平衡量識別方法。結果表明：a.M-Huber, LMS和MM等穩健回歸分析方法能夠取得比最小二乘法更好的不平衡量識別精度，特別是相位的識別精度有明顯的提高；b.在綜合考慮計算效率和穩健性程度的情況下，基于穩健MM估計的方法能夠取得理想的不平衡量識別效果；c.與最小二乘法對不平衡響應分配相同的權重系數不同，基于穩健回歸分析的不平衡量識別方法降低一階臨界轉速附近不平衡響應的系數，與實際平衡中由于一階臨界轉速附近振動劇烈而難以準確的失衡響應一致。

圖3 平衡面A權重系數分布Fig.3 Estimator weights of balancing plane A

圖4 平衡面B權重系數分布Fig.4 Estimator weights of balancing plane B

[1] Goodman T P. A least-squares method for computing balance corrections [J]. Journal of Engineering for Industry, 1964, 86(3):273-277.

[2] Parkinson A G, Darlow M S, Smalley A J. A theoretical introduction to the development of a unified approach to flexible rotor balancing[J].Journal of Sound and Vibration, 1980, 68(4): 489-506.

[3] 繆紅燕,高金吉,徐鴻,等. 基于有限元法的柔性轉子虛擬動平衡研究[J]. 振動、測試與診斷, 2004,24(3):184-188.

Miao Hongyan, Gao Jinji, Xu Hong, et al. A study of virtual balancing of flexible rotor based on finite element method [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2004, 24(3):184-188.(in Chinese)

[4] 紀躍波. 弱非平穩轉速下轉子動平衡方法[J]. 振動、測試與診斷, 2012, 32(4):596-601.

Ji Yuebo. Dynamic balancing of the rotor with weakly non-stationary rotational speed[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012, 32(4):596-601.(in Chinese)

[5] 李常有, 徐敏強, 郭聳. 基于模型的轉子系統不平衡量的估計[J]. 航空動力學報, 2009, 24(7):1530-1536.

Li Changyou, Xu MinQiang, Guo Song. Estimation of unbalance magnitude of rotor system based on model[J]. Journal of Aerospace Power, 2009, 24(7):1530 -1536.(in Chinese)

[6] Saldarriaga M V, Steffen V, Der Hagopian J, et al. On the balancing of flexible rotating machines by using an inverse problem approach [J]. Journal of Vibration and Control, 2011, 17(7):1021-1033.

[7] Pennacch P, Vania A, Bachschmid N. Increasing the

robustness of fault identification in rotor dynamics by means of m-estimators [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(8):3003-3029.

[8] 夏松波, 劉永光, 李勇,等. 旋轉機械自動動平衡綜述 [J]. 中國機械工程, 1999, 10(4):106-109.

Xia Songbo, Liu Yongguang, Li Yong, et al. A review on automatic balancing of rotating machinery [J]. China Mechanical Engineering, 1999, 10(4):106-109.(in Chinese)

[9] 陳敬平，嚴普強.轉子現場動平衡的相對影響系數法[J].振動、測試與診斷, 1994, 14(4):1-6.

Chen Jingping, Yan Puqiang. Relative influence coefficient method-effective in field balancing of flexible rotors [J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 1994, 14(4):1-6.(in Chinese)

[10]Montgomery D C, Peck E A, Vining G G. Introduction to linear regression analysis [M]. New York: John Wiley & Sons, 2012:67-69.

[11]Huber P J. Robust statistics [M]. New York: Wiley, 1981:43-54.

[12]Yohai V J. High breakdown-point and high efficiency robust estimates for regression [J]. The Annals of Statistics, 1987, 15(2): 642-656.

[13]Pennacchi P, Chatterton S, Ricci R. Rotor balancing using high breakdown-point and bounded -influence estimators [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2010, 24(3):860-872.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.01.021

*國家自然科學基金資助項目(51365051)；教育部新世紀優秀人才計劃資助項目(NCET-13-0461)；中國博士后科學基金資助項目(2012M521758)；學校博士學科點專項科研基金資助項目(20120201120043)；基本科研業務經費資助項目

2014-03-27；修回日期：2014-11-21

TH17

臧廷朋，男，1985年12月生，博士研究生。主要研究方向為旋轉機械故障診斷和轉子動平衡技術。曾發表《基于非平穩信息的轉子瞬態動平衡方法》(《振動、測試與診斷》2013年第33卷第4期)等論文。 E-mail:zangtingpeng@126.com