船舶結構B樣條小波無網格分析技術

陳建平，唐文勇，徐曼平

(1.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240;2.廣州航海學院船舶工程學院，廣東廣州510725)

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船舶結構B樣條小波無網格分析技術

陳建平1，2，唐文勇1，徐曼平2

(1.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240;2.廣州航海學院船舶工程學院，廣東廣州510725)

摘要:為了解決船舶平直結構場量高梯度自適應分析問題，提出了基于B樣條小波的無網格局部Petrov－Galerkin法。首先運用最小二乘法和加權余量法來求解結構位移場量的逼近函數，并給出了問題的控制方程和剛度方程。然后在局部無網格Petrov－Galerkin法的基礎上，利用m階B樣條函數作為小波基函數來構造船舶結構位移場的逼近函數，并采用兩尺度分解技術來分解應力場的高梯度成分和低尺度成分，應用高尺度成分來表示應力高梯度成分。最后選取了兩種典型船舶結構進行變形和應力分析，并通過與有限元法的計算結果進行比較，驗證了本文提出方法的有效性。

關鍵詞:船舶結構分析;逼近函數;移動最小二乘法;B樣條小波;尺度函數;無網格MLPG法

當前船舶結構分析最常用也是最為有效的計算工具之一就是有限元方法［1］。但有限元法因其自身的特點，在處理分析船舶結構場量(位移場和應力場等)變化劇烈的高梯度區域時，會出現計算精度降低甚至計算中斷現象，為了解決這個問題，有限元法通常采用的方法就是對該區域的網格進行加密(細分)或者采用高階單元，這樣就要求方法具有較強的自適應分析能力，其結果就加大了有限元法前后處理的工作量，從而降低了計算效率，事實上這種方法也并不能從根本上消除問題產生的根源。作為與有限元法相對應的另一種數值分析方法——無網格法，在近20年中得到了很大的發展［2－6］。無網格法是建立在系列獨立的離散點的基礎上，通過構造點的近似函數來求解問題。與傳統的有限元法相比，無網格法無需網格背景，在計算過程中可以根據需要任意增減節點，而不需要處理節點之間的拓撲信息，特別適合用來進行自適應分析計算。無網格法目前在航空材料、高速碰撞、動態裂紋擴展、加工成型、節理巖體分析等諸多領域都得到了較為廣泛的應用［7－10］。無網格法的計算精度同有限元法一樣因其自身的特點，受節點密度、基函數的選用及其階次以及支撐域半徑大小等因素的影響［11－12］。文章用局部無網格Petrov－Galerkin法為基礎，利用m階B樣條函數作為小波基函數來構造對船舶結構應力場的逼近函數，并采用兩尺度分解技術來分解應力場的高梯度成分和低尺度成分。文章最后選取了兩種典型船舶結構進行變形和應力分析，并與有限元法(ANSYS軟件)的計算結果進行了比較來驗證文章方法的有效性。

1　船舶結構MLPG法基本表達

由于船體板的板厚遠小于其另外兩個方向(長度和寬度)的幾何尺寸，在分析其受力時，可以運用Kirchhoff－Love板殼理論和Mindlin－Reissner板殼理論。文章基于板殼的Mindlin－Reissner基本理論，運用局部無網格Petrov－Galerkin法(MLPG)來分析研究無網格法下的船舶板結構應力。

1.1節點控制方程

板結構經離散后二維彈性理論為基礎的節點系統方程［11］:

利用加權余量法［12］，可以得到節點I處系統方程的微分方程強形式為

對節點I依式(2)在其積分域上進行積分，可以建立起它的系統方程。這樣對每一個節點都采用式(2)在其積分域上積分，可以得到所有離散節點的系統方程，將這些離散節點的系統方程組裝起來就能夠獲得問題域的整體系統方程。

利用移動最小二乘法(MLS)得到節點積分點支撐域內的形函數，從而獲得問題域的位移逼近函數:

式中:ΦT(X)為根據MLS所得的形函數矩陣，uI為離散節點I的節點值，N為積分點的支撐域Ωs中的節點數。

根據彈性力學應力－應變關系有

式中:D為材料彈性矩陣，B為幾何矩陣，且

式中:ΓQt為積分域ΩQ和自然邊界的重合部分，N為自然邊界上的單位外法向矢量矩陣。

1.2剛度方程

把節點系統方程式(3)和式(4)代入節點控制方程式(5)，可以得到

式(6)可以簡記為矩陣形式:

其中

這樣由每個離散節點的控制方程總裝成整個結構系統的控制方程表達為

由于在MLS中，采用的節點支撐域都是緊支的，系統的總體剛度矩陣K是帶狀稀疏矩陣，可以減少計算工作量。根據文獻［13］對有限元法中罰因子的分析，建議罰因子α 105～12×E在范圍內取值，E為楊氏彈性模量。

2　B樣條小波基

在MLPG法中，運用最小二乘法(MLS)是求解位移場逼近函數的關鍵，從節點控制方程的推導過程來看，權函數的選定及其參數的確定對于計算的精度和結果的收斂至關重要。在無網格法中，一般要求權函數為緊支函數，在求解域內具有連續可導、單調遞減和正態緊支等特性［14］。由于小波函數具有在不同分辨率水平上表達函數的變尺度能力，而其相應的基函數(小波基)則在具有震蕩性、衰減性的同時還具有緊支性或近似緊支性［15－16］;另一方面B樣條函數具有分段光滑、局部可微和線性組合等特征［17］，所以B樣條小波函數的時頻局部特性最接近無網格法中常用作權函數的Gauss函數，并且它的緊支性優于Gauss函數，這樣保證了在計算處理過程中的相位失真。所以本文將利用小波函數和B樣條函數的各自優點，來構造小波基函數，并以此構造出來的B樣條小波基函數作為MLS法中的權函數。

依據式(9)的節點序列可以進一步構造在[0，1 ]區間內的m階局部支撐嵌套的j尺度逼近空間V，其基函數則可以表達為

式中:Nm(x)為基數樣條函數。

局部域內的小波緊支撐空間表示為

文章選用三次B樣條小波函數，即m=3。三次B樣條小波函數的基本表達式為［17］

3　本質邊界條件

因無網格法形函數ΦT(X)不滿足克羅內克條件，對于剛度方程式(7)中的節點I的參數u并非其真實位移，所以本質邊界條件不能夠像有限元法那樣直接施加。Chen J S等提出了全轉換法(Full transformation method)［19］來處理其邊界條件。本文按照全轉換法的原理對剛度方程(控制方程)進行修正，得到

這樣就可以得到節點的真實位移u－，然后可以直接施加本質邊界條件。

4　算例

為了驗證文章方法的正確性，本節給出船舶結構中“船體梁”和“開孔板”兩種典型結構的計算分析。本文算例中材料的楊氏彈性模量為E=2.1× 105MPa，泊松比μ=0.3。

4.1船體梁

梁結構是船體基本結構之一。圖1為一端固支、一端自由的船體簡化梁結構。均布載荷p=10 N/m。

圖1　受均布載荷的船體梁Fig.1 Typical beam structure under uniform pressure

圖2(a)是根據本文無網格算法經過4步自適應生成的離散節點圖。初始離散為90個均布節點，積分背景網格為351個，經過4步自適應分析后，節點數為387個，背景網格為1 210個。圖2(b)為ANSYS生成的有限元網格單元。

圖2　無網格法與FEM節點與網格圖Fig.2 Arrangement of the node with Mesh-free and FEM

采用本文無網格方法，計算出算例梁的應力云圖，如圖3(a)所示。通過與圖3(b)比較，應力集中區域表現都是一致的。

圖3　無網格法與FEM計算應力云圖Fig.3 The Mises-stress map with MLPG and FEM

圖4和圖5給出了在小波基尺度scale=2.5下按照本文無網格法和有限元ANSYS計算結果和解析解比較曲線(圖中FEM為有限元法解，ANS為解析解，MLPG為文章算法解，后面圖例一致)。為了簡單起見，僅對比板Y方向中線截面上正應力分布情況和板X方向中線截面上位移變化圖。從圖可以得出:1)FEM法和MLPG法的計算相對誤差范數都在5％以下;2)文章提出的方法比FEM方法更接近解析解。可見本文方法具有很高的計算精度。

圖4　板X方向中線截面上位移變化比較圖Fig.4　Total deformation of the middle section along the X-direction

表1為在小波基不同尺度下的計算誤差值表(圖中Lu為位移相對誤差范數，Lσ為應力相對誤差范數，后面相同)，根據表1可以繪制誤差曲線圖為圖6所示。從表1和圖6的變化趨勢可以得出結論:1)計算精度受尺度變化影響，也就是支撐域的大小影響到計算精度;2)進一步提高文章方法的精度在于確定恰當的小波基尺度，可以由尺度三次B樣條函數的尺度函數來調節。

圖5　板X方向中線截面上正應力變化圖Fig.5 Mises-stress of the middle section along the X-direction

表1　三次B樣條基函數MLPG法尺度－相對誤差范數表Table 1 The relative error norm with B-spline wavelet ％

圖6　不同尺度下相對誤差范數變化曲線圖Fig.6 The relative error norm with 3-order B-spline wavelet

4.2開孔板

圖7為簡化為兩端自由、另兩端承受均勻拉力的平直船體板，板中間開有圓孔。此類型結構在船舶結構上也非常普遍，板側均布拉力q=1 MPa。

圖8(a)是根據本文無網格算法經過四步自適應生成的離散節點圖。初始離散為749個均布節點，積分背景網格為1 390個，經過四步自適應分析后，節點數為1 323個，背景網格為2 515個。圖8(b)為ANSYS生成的有限元網格單元。

圖7　中間開孔平直板示意圖Fig.7 Flat plate with a circular opening hole

圖8　無網格法與FEM節點與網格圖Fig.8 Arrangement of the node with Mesh-free and FEM

采用本文無網格方法，計算出算例板的應力云圖，如圖9(a)所示。通過與有限元軟件ANSYS計算的應力云圖圖9(b)所示比較，應力分布表現都是一致的。

圖9　無網格法與FEM計算應力云圖Fig.9 The Mises-stress map with MLPG and FEM

進一步比較本文無網格法與有限元ANSYS計算的結果的相似程度。為了簡單起見，僅對比板Y方向中線截面上正應力分布情況和板X方向中線截面上位移變化圖。結果如圖10和圖11所示。FEM法的位移相對誤差范數最大為2.5％、應力誤差范數最大為2.4％，而文章方法的位移相對誤差范數為0.3％、應力誤差范數最大為0.28％，可見文章方法的計算精度具有明顯的優勢。

為了進一步了解文章方法的正確性，下面給出在尺度為2.1沿板中線X方向節點使用FEM法和文章方法計算的位移相對誤差范數變化圖，如圖12所示。由圖和前面的分析可以得出結論:1)文章方法具有很好的計算精度;2)尺度選定對文章算法有很大的影響，不同尺度下的計算精度有很大差別(如算例1中圖6所示規律)。

圖10　板Y方向中線截面上正應力變化圖Fig.10 Mises-stress of the middle section along the Y-direction

圖11　板X方向中線截面上位移變化圖Fig.11 Total deformation of the middle section along the X-direction

圖12　尺度2.1下的位移相對誤差范數變化曲線圖Fig.12 The relative error norm with 3-order B-spline wavelet and Gauss weight function

5　結論

文章提出的基于小波基的船舶結構無網格分析技術由于擁有較好的自適應性，在計算精度上比傳統的有限元法具有優勢。采用有限元法(ANSYS)和提出的方法對船體梁和開孔板進行進行實例計算，并對計算結果進行比較和分析，可以得出結論:

1)文章方法具有很好的計算精度;

2)尺度選定對文章算法有很大的影響，不同尺度下的計算精度有很大差別;

3)當3階B樣條小波函數作為權函數，結果權重函數比高斯權函數更好;

4)文章所提出的方法可以在小支撐域的情況下，達到良好的精度，即它可以實現更高的擬合。

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Meshless analysis method of ship structures based on a B-spline wavelet

CHEN Jianping1，2，TANG Wenyong1，XU Manping2
(1.School of Naval Architecture，Ocean＆Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China;2.School of Ship Engineering，Guangzhou Maritime Institute，Guangzhou 510725，China)

Abstract:To solve the problem of the high gradient adaptive analysis of the ship straight structure，a meshless local Petrov－Galerkin method based on a B－spline wavelet was proposed.The approximation function of the structural displacement field quantity was solved by employing the least squares method and the weighted residual method，and the governing equation and stiffness equation were established.Based on the meshless local Petrov－Galerkin method，an m－order B－spline function was used as the wavelet basis function to construct the approximation function of the ship structure displacement field，and a two－scale decomposition technology was used to decompose the high gradient component and the low scale component in the stress field.The high scale component was used to express the high gradient component in the stress field.Numerical examples show the solutions are good agreement between FEM－ANSYS and the proposed method，which verifies the validity of the presented method for analysis of the ship structures.

Keywords:ship structure analysis;approximation function;moving least square method;B－spline wavelet;scaling function;meshless local meshless patrov－galerkinmethod

通信作者:陳建平，E－mail:wchchenjp@ sina.com.

作者簡介:陳建平(1973－)，男，副教授，博士.

基金項目:國家自然科學基金重點資助項目(51239007);中國博士后基金資助項目(2015M581622);廣東省自然科學基金資助項目(2014A030313792).

收稿日期:2014－09－05.網絡出版時間:2015－12－21.

中圖分類號:U661.42

文獻標志碼:A

文章編號:1006－7043(2016)01－0013－06

doi:10.11990/jheu.201409018

網絡出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20151221.1613.044.html