數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)分析

鄧忠洪

平時(shí)學(xué)生不會(huì)做數(shù)學(xué)題時(shí)，我們有的老師總認(rèn)為學(xué)生沒讀懂題，讓學(xué)生反復(fù)讀題。殊不知，你讓學(xué)生按語(yǔ)文的讀題方法去讀，哪怕他讀上一千遍一萬(wàn)遍，他做不來還是做不來。數(shù)學(xué)的建模與分析非常重要，有了規(guī)范的數(shù)學(xué)模型，就能正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。只有明確了題目中各種信息及問題間的數(shù)量關(guān)系，才能正確迅速地解決較難的數(shù)學(xué)問題。筆者以“盈虧問題”的解題方法為例，談?wù)勗鯓咏?shù)學(xué)模型和進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。

一、他人的經(jīng)驗(yàn)及方法

把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人，每人少分，則物品有余（盈）；每人多分，則物品不足（虧）。已知所盈和所虧的數(shù)量及兩次每人所分的數(shù)量，求人數(shù)的應(yīng)用題叫盈虧問題。

盈虧問題的基本解法是：份數(shù)=（盈+虧）÷兩次分配數(shù)的差；

物品總數(shù)=每份個(gè)數(shù)×份數(shù)±盈虧數(shù)。

解答盈虧問題的關(guān)鍵是要求出總差額和兩次分配的數(shù)量差，然后利用基本公式求出分配人數(shù)，進(jìn)而求出物品的數(shù)量。

趣味數(shù)學(xué)之《木長(zhǎng)幾何》——《孫子算經(jīng)》里有這樣一道題：今有木，不知長(zhǎng)短。引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺。木長(zhǎng)幾何？（屈繩的意思是把繩子對(duì)折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）

分析：用繩量木，繩子多出4.5尺，把繩對(duì)折再量，繩子又短1尺，可推出單股繩子比對(duì)折起來長(zhǎng)5.5尺，多出的5.5尺正好是繩子的一半（如圖）。

解答：繩子的長(zhǎng)度：（4.5+1）×2=11（尺）

木料的長(zhǎng)度：11-4.5=6.5（尺）

答：（略）

分析中，“用繩量木，繩子多出4.5尺，把繩對(duì)折再量，繩子又短1尺，可推出單股繩子比對(duì)折起來長(zhǎng)5.5尺。”這里用到了一點(diǎn)點(diǎn)“盈虧問題”。為什么這樣說呢？遇到類似問題還能用這種方法解答嗎？請(qǐng)關(guān)注下面的內(nèi)容。

二、建立數(shù)學(xué)模型

他人的方法及經(jīng)驗(yàn)看似簡(jiǎn)單易行，可事實(shí)并非如此。學(xué)生機(jī)械地套用公式，并不完全理解解題思路，題目稍加變化，他們又束手無策了。

筆者引導(dǎo)學(xué)生先分析并找出“盈虧問題”的特點(diǎn)——它就是兩種有余數(shù)的除法，再根據(jù)有余數(shù)除法各部分間的關(guān)系，建立“盈虧問題”總的數(shù)學(xué)模型：

“盈虧問題”總的數(shù)學(xué)模型中兩次被平均分的總數(shù)——被除數(shù)是一定（不變）的；平均分的標(biāo)準(zhǔn)不同，我們歸納為兩種，即除數(shù)1和除數(shù)2；分得的結(jié)果中的份數(shù)——商也是一定（不變）的，分得的結(jié)果中的余數(shù)——盈虧數(shù)則不同，我們把它們分別定義為余數(shù)1和余數(shù)2。當(dāng)被除數(shù)和商不變時(shí)，除數(shù)變大，余數(shù)則會(huì)變小，反之。

兩次分得的余數(shù)之間的差，我們把它定義為“總差”，兩次平均分的標(biāo)準(zhǔn)之間的差，我們把它定義為“小差”。正因?yàn)橛蟹值玫慕Y(jié)果之一“商”那么多個(gè)“小差”才匯成最后結(jié)果之二“余數(shù)”間的“總差”，即“小差×商=總差”。于是，關(guān)鍵問題“商”就得到解決：商=總差÷小差。

如“幼兒園買來一些玩具，如果每班分7個(gè)玩具，則多出2個(gè)玩具；如果每班分10個(gè)玩具，則差13個(gè)玩具，幼兒園有幾個(gè)班？這批玩具有多少個(gè)？”的數(shù)學(xué)模型：

三、進(jìn)行數(shù)學(xué)分析

根據(jù)建好的數(shù)學(xué)模型，我們進(jìn)行“盈虧問題”的數(shù)學(xué)分析：

從上面的模型中可以看出：

第二種分法的總個(gè)數(shù)比第一種分法的總個(gè)數(shù)多（2+13）個(gè)為“總差”，第二種分法比第一種分法每班多分（10-7）個(gè)為“小差”，每班多分的“小差”乘班數(shù)就等于最后的“總差”。由此可以求出幼兒園共幾班這個(gè)關(guān)鍵問題。

這個(gè)幼兒園有（2+13）÷（10-7）=5（班）

求出了模型中的商，再根據(jù)有余數(shù)的除法中“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”就可求出這批玩具共有多少個(gè)了。

這批玩具有7×5+2=37（個(gè)）或10×5-13=37（個(gè)）

答：（略）

四、適時(shí)推廣應(yīng)用

我們通過建立數(shù)學(xué)模型和進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，掌握了“盈虧問題”的解題方法，適當(dāng)增加難度，加以推廣應(yīng)用。

1.用一根長(zhǎng)繩測(cè)量井的深度，如果繩子兩折時(shí)，多5米，如果繩子三折時(shí)，差1米。求繩子長(zhǎng)度和井深。（提示：繩子兩折即把繩子平均分成兩份，三折即三股。）

很明顯，該題不能用“他人的經(jīng)驗(yàn)及方法”之《木長(zhǎng)幾何》的方法來進(jìn)行解答。而《木長(zhǎng)幾何》題目卻能用“盈虧問題”的模型來進(jìn)行分析和解答。

2.小宏從家到校上學(xué)，出發(fā)時(shí)他看看表，發(fā)現(xiàn)如果每分鐘步行80米，他將遲到5分鐘；如果先步行10分鐘后，再改成騎車每分鐘行200米，他就可以提前1分鐘到校。問小宏從家出發(fā)時(shí)離上學(xué)時(shí)間有幾分鐘？

觀察分析，這兩題都屬“盈虧問題”，只是題中的“盈虧（余數(shù)）”不是現(xiàn)成的，需要首先求出。

第1題的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析：

井深：（5×2+1×3）÷（3-2）=13（米）

繩長(zhǎng)：2×13+5×2=36（米）或（13+5）×2=36（米）

答：（略）

《木長(zhǎng)幾何》數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析：

木長(zhǎng)：（4.5×1+1×2）÷（2-1）=6.5（尺）

繩長(zhǎng)：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）×2=11（尺）

答：（略）

通過比較《木長(zhǎng)幾何》的兩種方法，我們發(fā)現(xiàn)，他人的經(jīng)驗(yàn)及方法具有局限性，只能用于特例；而我們的“盈虧問題”模型具有通用性，只要是“盈虧問題”都能用它來解答。

第2題的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析——

“余數(shù)1”：80×5=400（米）

求“余數(shù)2”步驟多一些。

①10分鐘的步行改成騎車要提前：10-80×10÷200=6（分）

②假如他騎車一直騎到上學(xué)時(shí)間到時(shí)會(huì)多行：200×（6+1）=1400（米）

“余數(shù)2”也可：（200-80）×10+200×1=1400（米）

小宏從家出發(fā)時(shí)離上學(xué)有：（400+1400）÷（200-80）=15（分）

答：（略）

我相信，只要堅(jiān)持讓學(xué)生按數(shù)學(xué)模型來讀題、抄題，數(shù)學(xué)分析就更加容易和明了，他們就會(huì)更好地解決各種數(shù)學(xué)難題。

參考文獻(xiàn)：

何升根.也談“一類盈虧問題的解法”[J].小學(xué)教學(xué)參考：教學(xué)版，2006（35）：45.

？誗編輯 段麗君