直角三角形課程難度變化分析及其教學指導的探究

王潔蓮

摘要：本文借助史寧中教授等人的課程難度量化分析模型，對我國2011年的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）與2000年的《全日制九年義務教育初中數學教學大綱（試用修改版）》（以下簡稱《大綱》）中“等腰三角形”的內容難度進行對比分析，以此來探究初中幾何課程中直角三角形內容的難度變化，希望可以對教師的教學實踐有指導性的意義。

關鍵詞：直角三角形；課程難度；課程實施時間；教學指導

中圖分類號：O1236文獻標識碼：A文章編號：1674-120X（2016）08-0061-02收稿日期：2015-12-04

一、背景

戴著三角形學界皇冠的直角三角形，以自身的特殊性和重要性，被人們世代探索。它在初中幾何中起著承上啟下的作用，在數學學習以及生活生產中被廣泛應用。本文借鑒史寧中等人的課程難度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T對直角三角形知識進行難度定量分析，比較2011年的《標準》和2000年的《大綱》中該知識點的難度變化，探討此難度變化對教師教學實踐的指導作用。

二、難度量化比較

1廣度比較

通過對比《大綱》和《標準》可以得知，直角三角形知識點有了變化。相比于《大綱》，《標準》中增加了一個知識點：掌握“通過直角邊、斜邊作直角三角形”。經過仔細查閱，取《標準》的課程廣度系數G1=10，《大綱》的課程廣度系數為G2=9。

2深度比較

總體上，《標準》和《大綱》中該模塊內容課程深度普遍升高。例如：

（1）三角形符號意識的提升，由認識變為掌握；

（2）“根據題設和概念的意義、公理、定理進行推理論證”由“初步掌握”改變為“掌握”；

（3）“斜邊、直角邊”定理判定直角三角形全等由“會用”提升為“掌握”；

（4）“直角三角形的重心概念及意義”由“認識”提升為“探索并了解”。

但同時，某些知識點難度也有相對的降低。例如：

（1）“勾股定理及逆定理的判定和應用”由“掌握”降低為“體驗”；

（2）“運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題”由“掌握”降低為“會”。

綜合深度賦值表，取《標準》的課程深度=30，《大綱》的課程深度=26。

3課程實施時間比較

分析《標準》《大綱》中等腰三角形知識點的課程實施時間得知，兩者對直角三角形的課程內容完成的所需時間基本一致，取《標準》的課程實施時間=8，《大綱》的課程實施時間=7。

4難度比較

基于前面三個方面得出的數據，代入課程難度量化分析模型，可以得到《標準》《大綱》的課程難度分別為N1=225，N2=226（其中，α=06）。顯然，在這個模型下，《標準》中直角三角形知識的課程難度比《大綱》中的低001，即課程難度降低了001。

三、教學啟發

根據以上得出的數據易知，直角三角形知識的課程難度降低了。由于《標準》和《大綱》中直角三角形的課程廣度、課程實施時間沒有發生很大的變化，所以影響該知識點難度變化的主要因素是課程深度。下面將具體分析課程廣度、課程深度、課程實施時間、課程難度四方面對教學實踐的啟發和指導。

1課程廣度變化對教學實踐的指導

《標準》中增加了“掌握通過直角邊、斜邊作直角三角形”這個知識點。這使得三角形知識的連貫性和系統性得以提高，教師思維的邏輯性以及目的性更為明確?，F以兩種方法來解析該知識點。

方法一：

（1）在直線L上任意取兩點為M、N；

（2）作線段MN的中垂線交MN于點A；

（3）在中垂線上取點B，使AB為直角邊長；

（4）以點B為圓心，斜邊為半徑作圓，交直線L于點C；

（5）連接BC， 三角形ABC即為直角三角形。

方法二：

（1）以斜邊為半徑作圓O，并取直徑AB；

（2）以點A為圓心，直角邊為半徑作圓P交圓O兩點，任取一點為C；

（3）連接AB、BC，三角形ABC即為直角三角形。

2課程深度變化對教學實踐的指導

由以上直角三角形課程深度變化的對比分析可知，《標準》對《大綱》中直角三角形知識提出了新的要求。三角形知識的程序性和陳述性需要相協調才能共同得到提高。該種變化可以更高程度地使教師在數學教學中激發學生的學習興趣，提高他們的數學思維，端正他們的數學思想，讓學生掌握恰當的學習方法。這便要求教師在教學中注意層次性和數學思維的邏輯性等。就《標準》的深度變化，現在對以上的結論舉相應的例子證明。

（1）三角形學習中會遇到很多專用符號，如△，∠，∴，∵等較為常見的，《標準》中對此提出了更高要求，要求學生不僅會辨別，更要會掌握、熟悉地寫出。教師在教學中要從最基本的知識點出發層層深入展開教學。這種變化的好處是落實了基礎課程目標，增加了教師教學的可操作性。

（2）《標準》較《大綱》而言，更注重學生推理能力的鍛煉和加強，這有利于教師培養學生學習的自主性和思維的邏輯性。同時，推理驗證需要板書和語言說明，這有利于鍛煉教師的板書基本功和語言基本功。

（3）《標準》和《大綱》都有“斜邊、直角邊”定理判定直角三角形全等這個知識點，但是要求卻有所提高。這足以說明該知識點的重要性。直角三角形是一類特殊的三角形，因此對比于其他一般的三角形，它所具備的性質也是比較特殊的。“斜邊、直角邊定理”在直角三角形的學習中起到橋梁作用，一是承接了上述提到的作圖要求點，二是為學習特殊的三角形作了鋪墊?，F在以一例子加以說明：

例1：三角形ABD和三角形BAC，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD。求證BC=AD。

解析：根據直角三角形的特殊性質，我們可以知道，若能證明兩個三角形都是直角三角形，“斜邊、直角邊”定理就能幫助解決問題了。由AC⊥BC，BD⊥AD易知兩者都為直角三角形，進而由全等三角形性質得知BC=AD。

這道題簡單而重要，符合學習目的，貼近學生思想。教師在教學中要注重基礎性知識的講解，使教學方向更為明確。

（4）相對《大綱》，《標準》在直角三角形的學習中加深了對三角形重心的理解和學習。這有利于疏通知識的“管道”，讓分散的知識點連貫起來，提高教師教學的可操作性和條理性，同時數學思想的思辨性和確定性也能得到充分體現。

現以一例子加以說明：

例2：直角三角形的斜邊長為18，求三角形的重心到斜邊中點的距離。

解析：根據重心的概念得知，三角形三邊中線的交點即是重心。再由直角三角形的特殊性質得知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。故由題意可知斜邊上的中線長為9。又因為重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1，因此可求出三角形的重心到斜邊中點的距離為3。

這道題主要運用直角三角形的特殊性質和重心概念及性質來解決。

（5）通過對比《標準》和《大綱》，《標準》中直角三角形該模塊對“勾股定理及逆定理”的深度要求降低了，這不僅為學生減壓，也為教師減壓。對學生而言，有利于激發學生學習的主動性和積極性，提高學習效率。對教師而言，有利于明確教學內容和方向，使教學更有層次性和科學性，避免過多介紹難題，要注重基礎題。對于勾股定理，現以一例子加以說明：

例3：等邊三角形ABC的邊長為2，過點A作BC邊上的高AD，垂足為D。求三角形ABC的面積。

解析：根據等邊三角形“三線合一”的性質得知，BD=CD=1，在直角三角形ABD中，由勾股定理有AB2=BD2+AD2，故可求出高AD，再根據三角形的面積公式進而求出其面積。

對于勾股定理的逆定理，現以一例子加以說明：

例4：已知在三角形ABC中，三條邊長分別為a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1）。求證：∠C=90°。

解析：由勾股定理知道，直角三角形滿足兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。同理，若三角形的三邊滿足此種關系，該三角形即為直角三角形。因a2+b2=c2，故三角形ABC為直角三角形，易得證∠C=90°。

3課程實施時間變化對教學實踐的指導

根據上面課程實施時間的比較分析，《標準》和《大綱》中直角三角形的課程實施時間基本一致，這從一定程度上提高了教師對知識點的可操作性以及教學的層次性。面對直角三角形知識的“廣而淺”的情景，教師要科學、合理地安排授課時間和授課內容，多注重基礎性知識的講解和類型題的練習，少普及難度高、偏離教學重難點的題目。

4課程難度變化對教學實踐的指導

總體而言，直角三角形的課程難度降低了，面對該模塊難度的下降，教師的教學實踐需要正確的啟發和指導。難度的降低在一定程度上提高了教師課堂主動性和可操作性，有利于教師思考如何在課堂上把直角三角形知識講授好，如何能有效地吸引學生的注意力以提高課堂效率等問題。

由以上分析得知，課程廣度、課程深度、課程實施時間這三大要素的改變會使課程難度發生改變，三者對教師教學實踐的指導總的來說就是為了探討課程難度對教師教學實踐的指導。相比《大綱》，《標準》對教師的教學實踐做出了相應的改善。教師在數學教學中要注重數學思維、數學思想和數學方法的有效結合，也就是知識的綜合性和層次性，使數學思維的邏輯性、知識的連貫性、方法的可行性、能力的創新性和教學的可操作性統一協調，讓教學更順利地進行。初中幾何教學在初中數學教學中地位很高，對我國數學教學也具有非常重要的意義。直角三角形的知識面較為廣泛，本文舉一些典型例子說明。