北斗雙頻組合動(dòng)對(duì)動(dòng)高精度相對(duì)定位新算法

伍劭實(shí)，趙修斌，龐春雷，段 榮，仝海波

（空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

北斗雙頻組合動(dòng)對(duì)動(dòng)高精度相對(duì)定位新算法

伍劭實(shí)，趙修斌，龐春雷，段 榮，仝海波

（空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

針對(duì)動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位基線矢量實(shí)時(shí)變化導(dǎo)致整周模糊度浮點(diǎn)解在動(dòng)態(tài)情況下難以快速精確求解的問題，提出了一種北斗雙頻動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位算法：對(duì)組合雙差方程基線向量的系數(shù)矩陣進(jìn)行奇異值分解，并變換組合雙差方程以消除基線參量，將變參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為定參數(shù)估計(jì)問題，然后采用遞推最小二乘算法實(shí)時(shí)推算組合模糊度的浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上，采用最小二乘模糊度降相關(guān)平差法（LAMBDA）搜索和固定組合模糊度。試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠快速準(zhǔn)確固定組合模糊度，與單頻解算相比，初始化時(shí)間用時(shí)更短，基線誤差在5 cm以內(nèi)，能較好地適用于動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位。

北斗導(dǎo)航系統(tǒng)；動(dòng)對(duì)動(dòng)；奇異值分解；遞推最小二乘；雙頻組合；整周模糊度

動(dòng)對(duì)動(dòng)高精度相對(duì)定位是空中加油、艦載飛機(jī)著艦、飛機(jī)精密編隊(duì)飛行等軍事應(yīng)用的核心技術(shù)之一，其關(guān)鍵在于動(dòng)態(tài)情況下快速、準(zhǔn)確地解算出整周模糊度[1]。當(dāng)前，一般采用先靜態(tài)初始化模糊度而后開始運(yùn)動(dòng)的方式實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)高精度相對(duì)定位。采用這種方式，一旦發(fā)生周跳或衛(wèi)星信號(hào)丟失，就需要靜止重新進(jìn)行初始化，顯然在實(shí)際軍事應(yīng)用中是不允許的，也就迫切需要尋求模糊度的動(dòng)態(tài)初始化方法。

由于動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位基線矢量實(shí)時(shí)變化，使得模糊度浮點(diǎn)解在求解時(shí)相比于靜態(tài)定位更加困難。一般而言，模糊度的浮點(diǎn)解解算可采用最小二乘法、遞推最小二乘法、卡爾曼濾波等方法。最小二乘屬于批處理算法，計(jì)算量大，一般用于對(duì)實(shí)時(shí)性要求不高的靜態(tài)定位中；遞推最小二乘可以實(shí)時(shí)推算模糊度的浮點(diǎn)解，但其只適用于定參數(shù)估計(jì)，不能直接用于動(dòng)對(duì)動(dòng)；卡爾曼濾波對(duì)于運(yùn)動(dòng)模型的建立要求較高，若狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)計(jì)不合理，浮點(diǎn)解的精度就難以滿足要求，這將不利于后續(xù)的模糊度搜索和固定。 為了滿足動(dòng)態(tài)定位對(duì)實(shí)時(shí)性的要求，許多學(xué)者嘗試從系統(tǒng)模型角度解決這一問題，提出了單歷元解算方法，但由于動(dòng)對(duì)動(dòng)情況下先驗(yàn)信息的局限性，使得單歷元解算成功率較低。因此，動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位始終是國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

對(duì)此，本文從模型和算法兩個(gè)角度出發(fā)嘗試解決這一問題，以用于北斗系統(tǒng)動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位。一方面采用雙頻組合增強(qiáng)系統(tǒng)模型使得模糊度的求解相比于單頻解算更加容易[2]，另一方面將奇異值分解和遞推最小二乘算法相結(jié)合，從而消去基線參數(shù)[3-4]，將變參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為定參數(shù)估計(jì)問題，進(jìn)而達(dá)到在動(dòng)態(tài)情況下實(shí)時(shí)精確推算組合模糊度浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣的目的，有效實(shí)現(xiàn)了模糊度的動(dòng)態(tài)初始化。

1 雙頻觀測(cè)量的線性組合

短基線條件下，B1、B2兩載波頻率上的雙差載波相位觀測(cè)方程分別為

式中：下標(biāo)“1”“、2”分別表示B1和B2頻率；φij為雙差載波相位觀測(cè)量，i、j分別代表第i顆北斗衛(wèi)星和第j顆北斗衛(wèi)星；λi(i=1,2)為對(duì)應(yīng)頻率的載波波長，l為接收機(jī)至衛(wèi)星的單位矢量；b =(bxbybz)T為基線矢量；Nij為雙差整周模糊度； εij為雙差測(cè)量噪聲。

將(1)(2)兩式線性組合得到：

當(dāng)k1、k2為整數(shù)時(shí)，也必定是整數(shù)。若組合載波波長越長，則相應(yīng)的組合模糊度也越容易被求解，但由此帶來的雙差載波相位組合測(cè)量值的均方誤差也會(huì)相應(yīng)增大[5]。假設(shè) B1、B2兩頻率的雙差載波相位測(cè)量值（以周為單位）均方誤差互不相關(guān)且相等，即σφ1=σφ2=σ，則組合均方誤差可表示為

其以m為單位的均方誤差為

由此可見，應(yīng)合理選取組合系數(shù)k1和k2，使得組合波長盡量長以利于組合模糊度的求解，同時(shí)保證組合相位觀測(cè)量均方誤差不至于過大而滿足不了相對(duì)定位的精度要求。表1給出了經(jīng)過計(jì)算篩選后，波長較長、測(cè)量均方誤差較小的若干組合。計(jì)算時(shí)假設(shè)σ=0.05。

表1 若干組合觀測(cè)量的波長及均方誤差Tab.1 Wavelengths and mean square errors of several combinations

2 北斗雙頻動(dòng)對(duì)動(dòng)高精度相對(duì)定位新算法

動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位時(shí)，基線參量b =(bxbybz)T實(shí)時(shí)變化，隨著觀測(cè)時(shí)間的增加，每一歷元均會(huì)增加3個(gè)基線參量，不斷變化或者說不斷增加的基線參量給問題的求解帶來了困難。傳統(tǒng)方法是在靜態(tài)情形下初始化模糊度，當(dāng)模糊度被正確固定后，其值將不再發(fā)生變化，然后即可實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)相對(duì)定位的實(shí)時(shí)解算[6-7]。由于在實(shí)際應(yīng)用中常常會(huì)發(fā)生周跳和信號(hào)遮擋的情況，在諸如空中加油、飛機(jī)精密編隊(duì)飛行等過程中不可能也不允許再靜止下來重新初始化模糊度，因此應(yīng)考慮模糊度的在航實(shí)時(shí)解算。對(duì)于式(3)，考慮將方程中的基線參量消除，采用遞推最小二乘算法僅對(duì)不隨時(shí)間改變的模糊度參量實(shí)時(shí)推算，然后采用LAMBDA算法[8-9]搜索和固定模糊度，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)對(duì)動(dòng)高精度相對(duì)定位的實(shí)時(shí)解算。

2.1 基于奇異值分解的消參方法

假設(shè)在m時(shí)刻觀測(cè)到n顆北斗衛(wèi)星，則根據(jù)式(3)可組成n-1個(gè)組合雙差方程，寫成矩陣形式為

式中：

式中：U為(n-1)×(n-1)酉矩陣，V為3×3酉矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σr)，σi(i=1,2,…,r)為矩陣Am的全部非零奇異值。將U分塊得到：

由于U為酉矩陣，因此：

式(9)為經(jīng)過奇異值變換消參后得到的新的組合雙差方程，新方程中僅剩下不隨時(shí)間變化的模糊度參量，此時(shí)原來的變參數(shù)求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎▍?shù)求解問題，可采用遞推最小二乘實(shí)時(shí)推算模糊度浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣。

2.2 基于遞推最小二乘的模糊度浮點(diǎn)解實(shí)時(shí)遞推

引理：若A、C、A+BCD均為非奇異方陣，則有如下等式成立：

根據(jù)式(9)，將前m個(gè)歷元經(jīng)過奇異值分解消參后得到的組合雙差方程聯(lián)立：

通過式(13)和式(14)可以實(shí)時(shí)遞推模糊度的浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣。

2.3 組合模糊度的搜索與固定

得到組合模糊度浮點(diǎn)解N～及其協(xié)方差矩陣P之后，可采用LAMBDA算法搜索和固定組合模糊度。

首先建立目標(biāo)函數(shù)[10]：

即可得到組合模糊度最優(yōu)估計(jì)值。

3 試驗(yàn)與分析

在進(jìn)行實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)試驗(yàn)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，當(dāng)組合測(cè)量值的均方誤差被放大到大于0.25倍波長以后，組合模糊度浮點(diǎn)解的精度會(huì)降低，甚至導(dǎo)致難以固定正確的組合模糊度。根據(jù)表1綜合考慮組合波長以及組合后的測(cè)量均方誤差，選擇(1,-1)組合進(jìn)行試驗(yàn)和分析。

3.1 試驗(yàn)條件

為驗(yàn)證本文所提算法的效果，采用基線長度固定情況下動(dòng)態(tài)試驗(yàn)的方法。數(shù)據(jù)采集時(shí)間為 2014年 6月15日20:30，試驗(yàn)地點(diǎn)為學(xué)院足球場(chǎng)，兩接收機(jī)板卡型號(hào)均為司南K501，均連接GPS-702-GG型號(hào)的雙頻天線，數(shù)據(jù)采樣率為1 Hz，兩天線固定于已知長度的基線兩端，并放置于小車前端。試驗(yàn)前測(cè)得基線長為3.468 m，取衛(wèi)星截止高度角為15°，觀測(cè)到7顆北斗衛(wèi)星，分別為PRN2、PRN3、PRN5、PRN6、PRN8、PRN9、PRN12，選取仰角最高的PRN3作為參考衛(wèi)星。先靜止觀測(cè)一段時(shí)間，試驗(yàn)將以此作為動(dòng)態(tài)解算的參考，然后繞操場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，速度約為3 m/s。

3.2 試驗(yàn)過程

先用傳統(tǒng)方法解算出B1和B2單頻模糊度，并根據(jù)組合關(guān)系計(jì)算出組合模糊度參考值，然后采用本文算法解算(1,-1)組合模糊度。考慮到短時(shí)間內(nèi)觀測(cè)量之間的強(qiáng)相關(guān)性，選取第1個(gè)歷元和第50個(gè)歷元計(jì)算模糊度浮點(diǎn)解作為初始值，然后采用遞推最小二乘算法向后推算30 s，在此基礎(chǔ)上采用LAMBDA算法固定模糊度，結(jié)果見表2。以21

N為例（其他模糊度解算情況與之類似），組合模糊度浮點(diǎn)解及其整數(shù)解求解情況如圖1所示。為了比較雙頻組合解算與單頻解算的效果，采用同樣的方法解算B1單頻模糊度，同樣以21

N為例，其浮點(diǎn)解及整數(shù)解求解情況如圖2所示。圖3為根據(jù)組合模糊度反解得到的基線長度及基線誤差。圖4為根據(jù)B1單頻模糊度反解得到的基線長度及基線誤差。

圖1 (1，-1)組合模糊度N12,1-1解算結(jié)果Fig.1 CalculatedN21of combined integer ambiguity of (1,-1)

圖2 B1單頻模糊度N21解算結(jié)果Fig.2 CalculatedN21of single-frequency integer ambiguity on B1

圖3 (1, -1)組合解算基線長度及誤差Fig.3 Baseline length and error calculated through combination of (1,-1)

圖4 B1單頻解算基線長度及誤差Fig.4 Baseline length and error calculated on B1

3.3 結(jié)果分析

由表2可知，由本文算法解算得到的(1,-1)動(dòng)態(tài)組合模糊度與參考值一致，說明本文算法能夠適用于動(dòng)態(tài)雙頻測(cè)量中；比較圖1和圖2可知，通過本文算法解算模糊度浮點(diǎn)解，其推算過程較為平穩(wěn)，B1單頻模糊度固定正確用時(shí)為97 s，組合模糊度固定正確用時(shí)為83 s，要稍快于單頻解算；由圖3和圖4可知，基線長度解算結(jié)果與試驗(yàn)前所測(cè)結(jié)果基本一致，但單頻解算精度更高，誤差為1 cm，相比之下組合測(cè)量結(jié)果精度稍差，誤差在5 cm以內(nèi)。

對(duì)于一般的動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位應(yīng)用，5 cm的相對(duì)定位精度基本能夠滿足要求，此時(shí)采用(1,-1)雙頻組合測(cè)量，盡管相比于單頻測(cè)量，其相對(duì)定位精度稍差，但組合模糊度初始化用時(shí)更短，更能滿足動(dòng)對(duì)動(dòng)的實(shí)時(shí)性要求。

表2 (1, -1)組合模糊度參考值及試驗(yàn)值Tab.2 Referenced and experimental values of combined integer ambiguity of (1, -1)

4 結(jié) 論

本文提出了北斗雙頻動(dòng)對(duì)動(dòng)高精度相對(duì)定位算法，采用奇異值分解變換組合雙差方程以消除基線參量，將變參數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為定參數(shù)估計(jì)問題；然后采用遞推最小二乘實(shí)時(shí)推算組合模糊度的浮點(diǎn)解及其協(xié)方差矩陣，在此基礎(chǔ)上利用LAMBDA算法進(jìn)行組合模糊度的搜索與固定。該算法能夠較好地解算動(dòng)態(tài)組合模糊度，相比于單頻解算，其模糊度初始化時(shí)間更短，基線解算誤差在5 cm以內(nèi)，能夠較好地適用于動(dòng)對(duì)動(dòng)相對(duì)定位的應(yīng)用。

由于雙頻組合測(cè)量時(shí)，任一頻率上的信號(hào)出現(xiàn)問題都會(huì)影響整個(gè)解算過程，因此雙頻觀測(cè)量的完好性問題還需進(jìn)一步研究。

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New method for Beidou dual-frequency kinematic-to-kinematic relative positioning

WU Shao-shi, ZHAO Xiu-bin, PANG Chun-lei, DUAN Rong, TONG Hai-bo
(Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China)

In kinematic-to-kinematic relative positioning, the floating solution of the integer ambiguity is hard to quickly and accurately be solved in dynamic situations due to the baseline vector’s real-time change. To solve this problem, a novel algorithm is proposed for Beidou dual-frequency kinematic-to-kinematic relative positioning. Firstly, the coefficient matrix of the baseline vectors of combined double-differential equations are decomposed by singular value decomposition, and the combined double-differential equations are transformed to eliminate the baseline parameters, so that the variable-parameter estimation problem is transformed into the constant-parameter estimation problem. Then, the floating solution and the covariance matrix of combined double-differential integer ambiguities are deduced in real-time by Recursive Least Square method. Based on this, the combined integer ambiguities are searched and fixed by LAMBDA algorithm. Experiment results show that, compared to single-frequency solution method, the proposed method takes less time, and the baseline error is within 5 cm, showing that it is suitable for applying in high-precision kinematic-to-kinematic relative positioning.

BeiDou navigation satellite system; kinematic to kinematic; singular value decomposition; recursive least square; dual-frequency combination; integer ambiguity

TN967.1

：A

1005-6734(2016)06-0758-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.06.011