用數學方法研究乒乓球上旋球的飛行軌跡*

薛社教（渭南師范學院，陜西渭南714000）

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用數學方法研究乒乓球上旋球的飛行軌跡*

薛社教
（渭南師范學院，陜西渭南714000）

摘要：通過對乒乓球的受力分析建立乒乓球的動力學模型進而建立數學模型并用數學軟件Matlab進行繪圖，從而揭示旋轉速率對乒乓球的飛行軌跡的影響。乒乓球的上旋球是攻擊技術中最常用的乒乓球技術。乒乓球在飛行過程中基本上受到四種力的作用，包括重力、飛行阻力、浮力還有馬格努斯力。通過受力分析建立動力學方程用Matlab對乒乓上旋球的飛行軌跡進行繪圖分析得知，乒乓球的飛行軌跡和乒乓球的旋轉速率有重要關系。旋轉越強的上旋球其弧線的彎曲程度越明顯，第一彈跳點越近，飛行的垂直高度越低。通過對比不同的旋轉速率的乒乓球的飛行軌跡發現：造成上述現象的原因是乒乓球的旋轉速率不同，其又對應著不同的馬格努斯力。

關鍵詞：上旋球；旋轉速率；馬格努斯力

Abstract:Dynamical model is established via force analysis of table tennis and then mathematical model is established employing mathematical software Matlab in drawing, in order to reveal the influences of rotation speed on the flight path of tennis. Topspin tennis is a tennis technique most commonly used in the attack technology. Table Tennis is basically affected by four forces in the process of the flight, including gravity, drag, buoyancy and Magnus force. Flight path of topspin tennis is drawn and analyzed through the stress analysis and dynamical equation by using Matlab. The important relationship between the rotation rate of table tennis and table tennis ball flight trajectory is revealed through the comparative analysis: The stronger the rotation of topspin is, the more obvious in the degree of arc crook, the closer the first bounce point is, and the lower the vertical height of flight. It is founded that the reason of the above phenomenon lies in the different speed of rotation and magnus force corresponding to the different speed of rotation.

Keywords:topspin; rotating speed; magnus

引言

乒乓球運動有廣大的群眾基礎。也被譽為聰明人的運動，乒乓球的變化多，最主要的是因為乒乓球的旋轉多，能造成各種各樣的擊球和飛行軌跡[1]。弧圈球中的上旋球，是威力最大的一種進攻技術，和沒有旋轉的乒乓球比較，上旋球能產生較好的弧線，使乒乓球準確的落在臺面上。這樣乒乓球運動員可以充分發揮自己的力量和乒乓球拍的性能，制造比較轉的上旋球，增加對手的防守難度。本文通過對乒乓球上旋球的進行受力分析，根據牛頓定律建立力學方程，進而建立數學模型，確定初始條件并用Matlab對乒乓球的上旋球的飛行軌跡進行直觀的繪圖。對不同的圖像分析，可以得出不同的旋轉速率對飛行軌跡造成的具體影響。

一、乒乓球在飛行過程中受到的力

（一）重力

物體在地球表面會受到地球的吸引叫做重力，重力的大小和物體的質量成正比，方向總是豎直向下，重力的計算公式如下：

F1=G=mg

其中m為乒乓球的質量。按照2000年10月國際乒乓球聯合會的規定，乒乓球的直徑為40毫米，質量為2.7克。

（二）氣體浮力

浸在氣體里的物體受到氣體豎直向上施加給物體的力叫做氣體的浮力。球的體積計算公式：

浮力在數值上等于物體排開同等體積的氣體的的質量。其計算公式如下：

（三）空氣阻力

空氣阻力是由于物體在空氣中運動時受到的阻力，它與多方面的因素有關，物體的速度，形狀以及空氣的密度都會影響其大小?？諝獾淖枇梢钥醋鍪强諝鈱υ谒锩孢\動的物體的粘性作用。粘性作用可以看作是流體對在它內部運動的物體的摩擦力。這里粘性作用與雷諾數[2]有關，雷諾數越小表示著粘性力的作用越大，雷諾數越大表示著粘性力的作用越小。雷諾數計算公式如下：

其中η為粘滯系數。

我們取室溫為10℃，因此粘滯系數η為1.78×10-6，ρ=1.205kg/ m-3，因此我們應該先計算出乒乓球運動時的雷諾數：

空氣阻力FR的大小與乒乓球速度大小的平方成正比[3]，其計算公式如下：

表1　不同溫度狀況的粘滯系數

CD為阻力系數，不同的雷諾數范圍對應著不同的阻力系數[4，5]

（四）乒乓球由于旋轉而引起的馬格努斯力[6]

馬格努斯效應是由于自身帶有旋轉的物體在粘性流體中運動產生的。一般情況下，在粘性流體中運動的物體主要受到的力為空氣阻力、升力還有側壓力，當乒乓球在空氣中高速旋轉時，由于空氣具有粘性，那么，乒乓球由于旋轉會帶動它周圍的空氣轉動，即產生環流：當環流和由于乒乓球運動產生的回流方向相同時流速加快，相反是流速減慢；由此可見，乒乓球的上方流速慢，下方流速快，根據伯努利原理，流速加快則氣體的壓強變小那么乒乓球這一側壓力小，流速減慢則氣體的壓強變大那么乒乓球這一側壓力大，馬格努斯力就是乒乓球兩側的壓力差。

由如可夫斯基環流理論可知[7，8]，馬格努斯力的計算公式如下：

其中，ω為旋轉速度。馬格努斯力的方向的判定方法：伸出右手，大拇指、食指、中指兩兩互相垂直，大拇指所指方向乒乓球旋轉的角速度方向，食指指向乒乓球速度方向，那么馬格努斯力的方向就是中指所指的方向。在這里要提一下，角速度的方向判定方法：伸出右手，四指指向乒乓球旋轉的方向，大拇指的指向就是角速度方向。

（五）受力分析圖

乒乓在空氣中飛行時主要受到四個力的作用：重力、空氣阻力、空氣浮力還有當乒乓球在空氣中旋轉時，乒乓球由于旋轉會帶動周圍的空氣形成環流，由于環流和回流的影響會使乒乓球受到馬格努斯力。受力分析圖如下：

二、建立數學動力學方程

按照牛頓第二定律，可以建立乒乓球在X軸Y軸的動力學方程：

其中，X、Y分別代表橫向和縱向。

圖1　

表2　模型方程初始參數設定

三、用Matlab對乒乓球的飛行軌跡進行畫圖

當轉速ω=0r/s時圖形如圖2：

圖2　

當轉速ω=40r/s，ω=80r/s，ω=120r/s，水平位移將會依次減小。

四、圖像結果分析

根據四幅圖的對比我們可以看出：即使在初始條件中起始位置和乒乓球的速度一樣，由于乒乓球的旋轉速率不同，乒乓球的飛行軌跡也呈現出很大的不同：旋轉速率越慢的球，飛行的水平距離越遠，飛行的最大高度越高；而旋轉速率越快的球，飛行的水平距離越近，飛行的最大高度越低，弧線低平?？梢钥吹叫D速率為0、40、80r/s的擊球的第一落點與起點的距離都超過3m，而只有乒乓球的轉速達到120r/s時的距離大約為2.4m。而且可以看出乒乓球飛行軌跡的垂直高度隨著轉速的增加而不斷地降低。由此可以得知：運動員可以通過控制乒乓球的旋轉速率來控制乒乓球的飛行距離和飛行高度，旋轉越快，飛行距離越近，反之越遠；旋轉越慢，飛行高度越高，反之越低。

五、結束語

（1）乒乓球的飛行過程是空氣阻力、空氣浮力、重力和馬格努斯力綜合作用的過程。其中由于乒乓球的旋轉而引起的馬格努斯力對乒乓球飛行軌跡的不同起著決定的作用。（2）在初始速度和位置相同的條件下，乒乓球的旋轉速率越快，飛行距離越近，反之越遠；旋轉速率越慢，飛行高度越高，反之越低。（3）通過乒乓球旋轉速度對乒乓球飛行軌跡的影響，在實際中運動員應盡量提高乒乓球上旋的轉速以減少無謂的失誤。

參考文獻

[1]張惠欽.乒乓球的旋轉[M].北京：人民體育出版社，1986：17-18.

[2]漆安慎，杜嬋英.力學[M].高等教育出版社，2005：403.

[3]朱照宣，周起釗，殷金生.理論力學[M].北京：北京大學出版社，1982：258.

[4]HINDS WILLIAM C.Aerosol Technology：properties，behavior，and measurement of airborne particles [M].New York:John Wiley Sons，Inc，USA，1982：101-104.

[5]GOLDSTEIN S.Modern developments in fluid dynamic [M]. Oxford，England：Clarendon Press，1998：250-252.

[6]孫在，余廣鑫，郭美.乒乓球弧圈球的空氣動力學原理及其飛行軌跡的仿真分析[J].體育科學，2008（4）：69.

[7]趙凱華，羅尉茵.力學[M].北京：高等教育出版社，1996：240-242.

[8]劉大為.球體飛行軌跡異常的探討[J].大學物理，1987（1）：43-45.

作者簡介：薛社教（1965-），渭南市人，渭南師范學院副教授，主要研究方向：基礎數學。

中圖分類號：O411

文獻標志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）06-0263-02

*校內支持項目:1.卓越教師數學教學技能培養的長效機制研究(JG201551）2.數學課程多媒體教學實踐的現實性問題研究(2015JYKX017）。