基于TCK模型的非貫通節理巖體動態損傷本構模型*

劉紅巖，楊 艷，李俊峰，張力民

(1.中國地質大學(北京)工程技術學院，北京 100083；2.西藏大學工學院，西藏 拉薩 850000；3.黃淮學院建筑工程學院，河南 駐馬店 463000；4.北京科技大學土木與環境工程學院，北京 100083；5.河北承德鋼鐵公司，河北 承德 067000)

基于TCK模型的非貫通節理巖體動態損傷本構模型*

劉紅巖1,2，楊 艷3，李俊峰1，張力民4,5

(1.中國地質大學(北京)工程技術學院，北京 100083；2.西藏大學工學院，西藏 拉薩 850000；3.黃淮學院建筑工程學院，河南 駐馬店 463000；4.北京科技大學土木與環境工程學院，北京 100083；5.河北承德鋼鐵公司，河北 承德 067000)

提出在巖體動態損傷本構模型中應同時考慮宏、細觀缺陷；基于能量原理和斷裂力學理論推導得出了同時考慮節理幾何及力學特征的宏觀損傷變量(張量)的計算公式；基于綜合考慮宏、細觀缺陷的復合損傷變量(張量)及完整巖石動態損傷Taylor-Chen-Kuszmaul(TCK)模型，建立了相應的單軸壓縮下節理巖體動態損傷本構模型；利用該模型討論了節理內摩擦角及節理長度對巖體動態力學特性的影響規律。研究表明，試件動態峰值強度隨著節理內摩擦角的增大而增大，隨著節理長度的增加而減小。

固體力學；動態損傷本構模型；非貫通節理巖體；宏觀缺陷；細觀缺陷；損傷耦合；應力強度因子

工程巖體都不可避免地含有節理、裂隙等宏觀缺陷和微裂隙、微孔洞等細觀缺陷，這2類不同尺度缺陷分別以不同的作用機理影響著巖體的動態力學特性。早期人們通常以宏觀完整巖石為研究對象，僅考慮微裂紋等細觀缺陷的影響，如B.Budiamsky等[1]采用細觀力學對巖石中彌散分布的微裂紋群進行了分析，建立了相應的巖石爆破損傷本構模型。D.E.Grady等[2]認為巖石中的原生微裂紋服從雙參數Weibull分布，在外載下，其中一些微裂紋被激活并擴展，由此提出了巖石爆破的GK損傷模型。L.M.Taylor[3]引進B.Budianshy等[1]的有效體積模量和泊松比與微裂紋密度的關系表達式和D.E.Grady等[2]給出的碎塊尺寸表達式，最終建立了Taylor-Chen-Kuszmaul(TCK)模型。然而由于僅考慮細觀缺陷的巖石損傷本構模型中無法考慮節理等宏觀缺陷對巖體動態力學特性的影響。而如何描述節理對巖體力學特性的影響則是目前巖體力學研究中的重點和難點問題。T.Kyoya等[4]借助于損傷理論對該問題進行研究，以節理的長度、傾角、間距及組數等幾何特征來定義相應的損傷張量。但是該方法種僅考慮了節理幾何性質如節理長度及傾角的影響，而未考慮節理力學性質如抗剪強度的影響，也就是說這種定義方法中認為損傷是無法傳遞應力的，這與拉伸荷載下的巖體力學特性較為接近，而與壓縮荷載下的巖體力學特性相差甚遠。這主要是由于在壓縮荷載下，節理面兩側的巖體將在節理面處發生閉合及摩擦滑動進而沿節理尖端發生擴展，此時節理面將能夠傳遞部分壓應力和剪應力，而且傳遞系數的大小也與節理面的抗剪強度參數(如摩擦角和粘聚力等)密切相關。為此，不少學者又采用不同的方法對僅考慮節理幾何特性的損傷模型進行修正，如T.Kawamoto等[5]通過引入節理傳壓及傳剪系數來考慮壓縮荷載下節理能夠傳遞部分壓應力與剪應力的特點以對上述模型進行修正，但如何準確確定這兩個系數又成為新的難題。同時關于宏、細觀兩類缺陷對巖體動力學特性的影響問題，張力民等[6]、H.Y.Liu等[7]基于損傷理論建立了考慮宏細觀缺陷耦合的復合損傷變量(張量)，進而建立了相應的節理巖體動態損傷本構模型，但是其研究對象僅限于貫通節理巖體。

綜合目前非貫通節理巖體的動態損傷本構模型研究現狀可知，有以下2個問題亟待解決：(1)目前的巖體宏觀損傷張量定義沒有很好地同時考慮節理幾何及力學參數的共同影響，因而需要提出新的節理巖體宏觀損傷變量定義方法；(2)目前學術界僅提出了考慮宏細觀缺陷耦合的貫通節理巖體動態損傷本構模型，而針對非貫通節理巖體的研究則較為少見。

為此，本文中首先在含非貫通節理巖體在單軸壓縮荷載下的擴展機理進行研究的基礎上，提出同時考慮節理幾何及力學參數的宏觀損傷變量計算方法；其次，在張力民等[6]和H.Y.Liu等[7]研究的基礎上，提出基于完整巖石TCK模型的非貫通節理巖體單軸壓縮動態損傷本構模型；采用該模型對單條非貫通閉合節理的巖體進行模擬，分析其力學特性。

1 考慮宏觀缺陷的非貫通節理巖體損傷本構模型

1.1 非貫通節理巖體損傷模型的建立

根據斷裂力學，對于平面應變問題(僅存在Ⅰ、Ⅱ型裂紋，不存在Ⅲ型裂紋)，彈性體因節理存在而引起的附加應變能增加U1為[8]：

(1)

式中：E和ν分別為彈性體的彈性模量和泊松比，G為能量釋放率，KⅠ、KⅡ分別為節理尖端的Ⅰ、Ⅱ型應力強度因子，A為節理表面積。

對于單個節理，A=Ba(單邊節理)或2Ba(中心節理)；對于多個節理，A=NBa(單邊節理)或2NBa(中心節理)，其中：N為節理個數，B為節理深度，a為節理半長。

在單軸應力σ下，損傷應變能釋放率為：

(2)

式中：D為節理對巖體造成的損傷變量。

令UE表示與應力σ對應的單位體積彈性應變能，在單軸應力狀態下該彈性應變能可寫為：

(3)

把式(2)代入式(3)可得：

(4)

當巖體內不含節理時，則D=0，此時式(4)可寫為：

(5)

因節理存在而引起的單位體積彈性應變能改變量為：

(6)

假設研究對象的體積為V，彈性體因節理存在而引起的彈性應變能改變量為：

(7)

式(7)中的ΔUE和式(1)中的U1都是由節理存在引起的彈性應變能改變量，二者應相等，即:

ΔUE=U1

(8)

由式(1)、(7)～(8)可得：

(9)

下面對節理巖體進行受力分析，求出KⅠ和KⅡ的表達式。

1.2 應力強度因子計算

1.2.1 單條非貫通節理巖體的應力強度因子

圖1 翼裂紋擴展模型示意圖Fig.1 Sketch of wing crack growth model

如圖1所示，節理與水平面的夾角為α，上部巖塊在壓縮荷載下將會產生沿節理面的滑動趨勢。若沿節理面的剪應力超過其摩擦力時，試件將沿節理面發生摩擦滑移，進而引起翼裂紋由節理尖端大約以θ=70.5°的方向擴展[9-10]。此時節理面上的正應力σα和切應力τα分別為：

σα=σcos2α

(10)

(11)

式中：α為節理傾角。

設節理面的摩擦角為φ，則其摩擦因數μ=tanφ。由于節理面上的黏聚力相對于摩擦力來說要小得多，因此可以忽略不計，故由式(10)～(11)可得節理面上的滑移驅動力為：

(12)

在單軸壓縮下，參照文獻[11]并考慮翼裂紋的擴展方向，節理尖端翼裂紋Ⅰ和Ⅱ型應力強度因子KⅠ和KⅡ可修改為：

(13)

式中：a為節理半長；l為翼裂紋擴展長度；引入l*=0.27a，使l=0時，KI、KⅡ非奇異，θ為節理尖端翼裂紋擴展角。

考慮翼裂紋即將擴展的臨界狀態，即當l=0時，翼裂紋應力強度因子KⅠ、KⅡ可修正為：

(14)

圖2 非貫通裂隙巖體模型Fig.2 Model of intermittently cracked rockmass

翼裂紋長度l=0所對應的狀態即為非貫通節理巖體未發生擴展時的初始狀態，若求出此時的節理尖端應力強度因子，代入式(9)即可得到巖體由于含有初始非貫通節理時的初始損傷變量，進而通過張量化得到相應的初始損傷張量。可以看出由該方法求出的損傷張量可同時考慮節理的幾何及力學特性，由此求出的節理巖體損傷模型也將更符合實際情況。

1.2.2 單排及多排非貫通平行節理的應力強度因子

圖2為多排非貫通裂隙巖體模型示意圖，其中，b為同排相鄰節理中心間距，d為排間距。

對于單排節理的巖體，考慮節理間相互作用，巖體的有效應力強度因子為[12]：

(15)

式中：KΙ0、KⅡ0分別為單個Ⅰ、Ⅱ型節理的應力強度因子；φ為非貫通節理的連通率，φ=2a/b。

若巖體含有多排非貫通節理時，則其有效應力強度因子為[12]：

(16)

1.3 含單組節理的巖體損傷變量

當巖體含單組單排節理時，把式(10)～(12)、(14)、(15)代入式(9)可得：

(17)

而當巖體含單組多排節理時，把式(10)～(12)、(14)、(16)代入式(9)可得：

(18)

2 考慮宏細觀缺陷耦合的非貫通節理巖體單軸壓縮動態損傷本構模型

2.1 宏細觀缺陷耦合的損傷變量計算方法

由于巖體中的宏、細觀兩類缺陷均對巖體的動力學特性有著重要影響，因此在采用損傷理論對巖體的動力學特性進行研究時，應建立能夠同時考慮上述2類不同尺度缺陷的損傷變量(張量)計算方法。楊更社等[13]、張力民等[6]已對此進行了較為深入的研究，下面就張力民等[6]的研究成果，給出如下考慮宏細觀缺陷耦合的損傷變量(張量)計算公式：

(19)

式中：Ω12為上述2種不同尺度缺陷引起的耦合損傷變量；D為微裂紋等細觀缺陷引起的損傷變量；Ω為節理等宏觀缺陷引起的損傷張量，Ω=DN，其中N是一個二階對稱張量，其計算方法為：

(1)對于含單組非貫通節理的巖體，假定非貫通節理的法向矢量n與x軸夾角為β，則有：

(20)

(2)對于含2組以上非貫通節理的巖體，N的計算方法是：設巖體中有I組非貫通節理，其單位法向矢量分別為n(i)(i=1,2，…，I)，則

(21)

2.2 考慮宏細觀缺陷耦合的非貫通節理巖體動態損傷本構模型

由前述可知，L.M.Taylor等[3]已經建立了僅考慮微裂紋等細觀缺陷的巖石動態損傷本構模型，即

(22)

那么由損傷理論可知，當巖體內同時含有宏、細觀缺陷時，在損傷模型中則體現為損傷變量的變化。因此把式(22)中的損傷變量ω，用式(19)所示的耦合損傷變量Ω12替換即可，而其中的細觀損傷變量D則相應地用ω來替換，即可得到非貫通節理巖體的單軸動態壓縮損傷本構方程：

(23)

式中：σ、ε和E分別為張量形式的應力、應變和彈性模量。

3 算例分析

3.1 含單條非貫通閉合節理的巖體力學特性

這里借鑒L.M.Taylor等[3]的實驗資料，取宏觀完整巖石的動態楊氏模量、泊松比、密度及應變率分別為10.8 GPa、0.2、2 270 kg/m3和102s-1時，k和m可分別取為5.12×1022m-3和7。

(24)

模型上部受到垂直向下的動荷載，下部固定。按平面應變問題分析。

由式(23)計算可得巖體單軸壓縮動態應力應變曲線如圖4所示。可以看出：當有非貫通節理等宏觀缺陷存在時，巖體動態應變峰值強度減小。對本算例而言，非貫通節理巖體的動態峰值強度為31.89MPa，約為相應完整巖石的97.5%，這說明非貫通節理的存在削弱了巖體峰值強度，即表明宏、細觀2種缺陷對巖體的強度均有影響。

圖3 計算模型Fig.3 Calculation model

圖4 巖體單軸壓縮動態應力應變計算曲線Fig.4 Dynamic stress-strain calculation curve of rock axial compression

3.2 節理內摩擦角不同時的巖體動力學特性

圖5 不同節理內摩擦角的試件動態應力應變曲線Fig.5 Dynamic stress-strain curves of the samples with different joint internal friction angles

計算模型仍為圖3所示的非貫通節理試件，載荷應變率為100 s-1，節理長度為4 cm，取節理內摩擦角(φ)分別為：0°、15°、30°，其余條件及計算參數同上。圖5為不同節理內摩擦角的試件動態應力應變曲線。由圖5可知：巖體動態應力應變曲線斜率即巖體動態彈性模量隨著節理內摩擦角的增加增加，即節理巖體剛度增加；同時隨著節理內摩擦角的增加，試件動態峰值強度也逐漸增加，3種不同工況下的試件動態峰值強度分別為29.85、31.89和33.98 MPa。這是因為隨著節理內摩擦角的增加，節理抗剪強度提高，相應地由節理對試件造成的宏觀損傷降低，進而導致試件的復合損傷程度降低，強度相應提高。

3.3 節理長度不同時的巖體動力學特性

圖6 不同節理長度的試件動態應力應變曲線Fig.6 Dynamic stress-strain curves of the samples with different joint length

計算模型仍為圖4所示傾角為45°的非貫通節理試件，載荷應變率為100 s-1，節理內摩擦角為15°，取節理長度分別為2、4和6 cm，其余條件及計算參數同上。圖6給出了不同節理長度的時間動態應力應變虛線。由圖6可知：巖體動態應力應變曲線的斜率(即巖體動態彈性模量)隨著節理長度的增加而減小，即節理巖體剛度降低；同時試件動態峰值強度也隨著節理長度增加的而逐漸減小，這是因為隨著節理長度增加，由節理對試件造成的宏觀損傷增加，進而導致試件的復合損傷程度提高，動態峰值強度降低。當節理長度由2 cm分別增加到4和6 cm時，試件動態峰值強度則由33.79 MPa分別下降到31.89和29.14 MPa，下降幅度分別為5.62%和13.76%，即隨著節理長度增加，試件動態峰值強度的下降幅度比較明顯。

4 結 語

(1)基于能量原理和斷裂力學理論推導出了能夠同時考慮節理幾何及力學參數的宏觀損傷變量(張量)計算公式，它很好地克服了目前大多數巖體損傷變(張)量無法考慮節理力學參數的不足。

(2)基于完整巖石動態損傷TCK模型及宏細觀缺陷耦合的觀點，建立了同時考慮宏細觀缺陷的非貫通節理巖體動態單軸壓縮損傷本構模型。

(3)根據模型計算，結果表明非貫通節理的存在將導致巖體強度降低、剛度弱化。隨著節理內摩擦角的增加，試件動態峰值強度及彈性模量均隨之增加；而隨著節理長度增加，則反之。

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(責任編輯 王小飛)

Dynamic damage constitutive model for rock mass with non-persistent joints based on the TCK model

Liu Hongyan1,2, Yang Yan3, Li Junfeng1, Zhang Limin4,5

(1.CollegeofEngineering&Technology,ChinaUniversityofGeosciences(Beijing),Beijing100083,China;2.SchoolofEngineering,TibetUniversity,Lhasa850000,Xizang,China;3.ArchitectureEngineeringCollege,HuanghuaiUniversity,Zhumadian463000,Henan,China; 4.CivilandEnvironmentalEngineeringSchool,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China;5.HebeiChengdeIronandSteelCorporation,Chengde067002,Hebei,China)

This paper proposes that both macroscopic and mesoscopic flaws should be considered in the dynamic damage constitutive model for the jointed rock mass. Firstly, the calculation formula of the macroscopic damage variable (tensor) of the jointed rock mass is deduced based on the energy principle and the fracture mechanics theory so that the geometrical and mechanical parameters can be considered at the same time. Secondly, the compound damage variable (tensor) including both macroscopic and mesoscopic flaws and the Taylor-Chen-Kuszmaul model (TCK) for the intact rock are adopted to establish the corresponding dynamic damage constitutive model for the jointed rock mass under uniaxial compression. Finally, the effect law of the joint internal friction angle and the joint length on rock mass's dynamic mechanical property is examined with this model. The results show that the dynamic climax strength of the samples increases and decreases respectively with the increase of the joint internal friction and the joint length.

solid mechanics; dynamic damage constitutive model; rock mass with non-persistent joints; macroscopic flaw; mesoscopic flaw; damage coupling; stress intensity factor

10.11883/1001-1455(2016)03-0319-07

2014-09-22；

2015-02-22

國家自然科學基金項目(41002113，41162009)； 中央高?；究蒲袠I務費專項基金項目(2652014019，2652015263)

劉紅巖(1975- )，男，博士，教授，lhyan1204@126.com。

O341國標學科代碼：13015

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