彈丸入水特性的SPH計算模擬*

周 杰，徐勝利

(清華大學航天航空學院，北京 100084)

彈丸入水特性的SPH計算模擬*

周 杰，徐勝利

(清華大學航天航空學院，北京 100084)

應用SPH方法研究彈丸入水過程中的動力學特征。利用拉格朗日形式的N-S方程自編SPH程序，建立彈丸入水的計算模型，賦予相應的材料參數及狀態方程，研究彈丸外形、入水速度和角度等因素對入水過程的影響。模擬結果表明：空化泡的形態及發展規律主要由彈丸的運動姿態決定；彈道越穩定，阻力因數就越小，彈丸的存速就越大。SPH方法具有較強的自適應性，適用于研究彈丸入水的流固耦合問題。

流體力學；水下彈道；SPH；阻力因數

高速彈丸入水在反潛掃雷等方面有重要應用前景。該問題屬于典型的流固耦合問題，涉及自由面破碎及其追蹤、水空化和相變、受沖擊載荷作用引起的彈丸形變和斷裂、彈水動態流固耦合(水動彈性)等復雜物理過程[1]。采用簡化的理論模型只能分析空化泡形態等非耦合過程[2]。Logvinovich[3]提出空穴截面擴張的獨立原理，這個原理是近似的，但用它可以很簡單地確定各種情況下空化泡的外形。曹偉等[4]通過實驗研究了高速射彈的自然超空泡形態和發展規律。易文俊等[5]基于Rayleigh-Plesset單一介質可變密度混合多相流模型，計算分析了不同射彈的超空泡減阻特性。安偉光等[6]依據氣體泄漏規則建立空泡內氣體平衡方程，聯合空泡截面擴展及運動體姿態方程，數值研究了運動體帶空泡高速入水非定常過程。數值模擬非常適合求解上述多個耦合過程，其中無網格的光滑粒子流體動力學(smoothed particle hydrodynamics, SPH)方法適合求解彈丸入水過程中介質大變形和流固耦合問題[7-8]。

本文中基于SPH方法，分析彈丸外形、入水速度和角度等因素對彈丸入水過程的影響，對彈丸入水過程中產生的空泡形態、彈道軌跡和彈丸阻力因數等進行模擬計算，研究彈丸入水的機理，為分析彈丸穩定性和阻力等提供理論依據。

1 計算模型和數值方法

1.1 計算模型

設計3種外形的彈丸，以不同角度、速度入水，研究其入水過程的動力學特性及水中彈道規律。圖1給出了3種彈丸及入水模型的示意圖。彈丸以初速度v0、角度θ進入H×L的水域的計算模型，水域的邊界條件設置為固壁邊界。彈丸有3種類型：(A) 平頭彈丸的長度L1=40 mm，直徑D=12 mm；(B) 尖頭彈丸的長度L2=20 mm、L3=20 mm，直徑D=12 mm；(C) 截斷頭彈丸的長度L2=20 mm、L4=10.44 mm，彈丸直徑D=12 mm，截斷面直徑D1=6 mm。彈丸入水初速度v0分別為1 200、200 m/s，入水角度θ取90°、60°、30°。

圖1 彈丸外形及入水示意圖Fig.1 Schematic diagram of the projectile shape and projectile entry into the water

1.2 狀態方程

沖擊載荷作用下，通常采用 Mie-Grüneisen狀態方程來描述水的動力學性質[9]。水的狀態方程取決與水的狀態，在壓縮和膨脹狀態下水的壓力分別為：

(1)

式中：p為水的壓力；ρ0是初始密度；η是擾動前后的密度比，μ=η-1，當μ>0時，水處于壓縮狀態，當μ<0時，水處于膨脹狀態；γ0為Grüneisen常數，a為體積修正系數；c為水中的聲速，S1、S2、S3均為實驗擬合系數。水的相關參數如表1所示。

表1 Mie-Grüneisen狀態方程的材料參數Table 1 Material parameters of Mie-Grüneisen equation of state

彈丸假定為理想彈塑性體，靜水壓力與體積變化率之間呈線性變化，相關方程如下[10]：

dps=KdεV

(2)

式中：ps為靜水壓力；εV為材料應變；K為體積模量，K=E/[3(1-2ν)]，E為彈性模量，ν為泊松比。彈丸的密度為7 800 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。

1.3 SPH方法

光滑粒子流體動力學(SPH)方法是由L.B.Lucy等[11]提出的一種解決天體物理學問題的純拉格朗日方法，后來該方法被用于研究介質大變形及流固耦合問題[12]，在求解過程中展示出無網格方法所特有的強大的自適應性。SPH方法的核心思想：用一系列任意分布的粒子來表示問題域，用積分表示法來近似場函數，應用粒子來對核近似方程進一步近似，在每個時間步內都要進行粒子近似的過程，將粒子近似法應用于描述場函數的偏微分方程，得到只與時間相關的離散化形式的常微分方程，應用積分法來求解常微分方程，得到粒子的場變量。以上特點結合起來，使得SPH方法成為具有無網格、自適應、穩定等特點以及拉格朗日性質的動力學問題求解方法，非常適合求解彈丸入水過程中介質大變形和流固耦合問題。

與有限元方法不同，SPH方法的節點是離散的。該方法采用光滑長度內的粒子代替有限元方法中的影響節點集。因為沒有固定的單元體連接，SPH方法中的每個粒子周圍光滑長度內的粒子個數和分布是不固定的，采用J.J.Monaghan[13]提出的B-樣條函數的光滑函數，用積分表示法來近似某一點的場函數值。為了使SPH算法適合模擬沖擊問題，引入Monaghan型人工黏度[14]。彈丸入水問題中水域有2種不同邊界：自由邊界和固壁邊界。由于SPH方法的自適應性，自由液面處的粒子可以自動跟隨液面運動，不需要做特殊處理。固壁邊界采用排斥邊界條件，在壁面外設置一組虛擬粒子，虛擬粒子參與流體粒子計算，粒子自身密度也不斷更新，但位置和速度保持不變[14]。采用蛙跳法求解具有拉格朗日性質的SPH方法的N-S方程[12]，時間步長滿足CFL條件[15]。

2 計算結果分析和討論

本文中研究3種外形的彈丸，以不同初速度v0、角度θ入水，計算空泡形態、彈道軌跡、及速度的變化規律，了解影響彈丸動力學特征的相關因素。

2.1 彈道軌跡

圖2(a) 尖頭彈丸入水的空化泡形狀發展(θ=90°)Fig.2(a) Shape formation of cavitation bubble during the cuspidal projectile entry into the water (θ=90°)

圖2給出了尖頭彈丸以初速度v0=1 200 m/s，不同角度θ入水的空化泡形狀的發展規律。由圖可知：(1)彈丸垂直入水時，空化泡的長度、寬度是隨著運動時間(t)增加而變大的，空化泡的長度的變化率要大于空化泡寬度，各時刻的空化泡形態保持幾何相似，且關于y軸對稱，在計算時間內空化泡的沒有出現閉合現象，如圖2(a)所示；(2)彈丸以θ為60°和30°入水時，空化泡的長度、寬度隨著運動時間增加而變大，空化泡沒有出現閉合現象，由于受到偏轉力矩作用，彈丸的運動軌跡是弧形的，導致空化泡不再是軸對稱的形狀，各時刻空化泡頭部的形狀、及運動規律主要是由彈丸姿態決定的，如圖2(b)和2(c)所示。

圖2(b) 尖頭彈丸入水的空化泡形狀發展(θ=60°)Fig.2(b) Shape formation of cavitation bubble during the cuspidal projectile entry into the water (θ=60°)

圖2(c) 尖頭彈丸入水的空化泡形狀發展(θ=30°)Fig.2(c) Shape formation of cavitation bubble during the cuspidal projectile entry into the water (θ=30°)

圖3是尖頭彈丸以v0=1 200 m/s，θ=60°入水的計算結果。由圖可知：(1)t=0.1 ms時，彈丸高速進入水域，彈丸的運動方向保持與入水前一致；(2)t=0.2和0.3 ms時，由于彈丸入水角度θ=60°，因此在水中運動時會受到一個偏轉力矩作用，引起彈丸的運動姿態發生變化，導致彈丸運動方向相對于入水前偏轉了較大的角度(彈道失穩)，且彈丸周圍產生空化泡；(3)t=0.5和0.7 ms時，隨著彈丸的穩定性的下降，彈道偏轉現象越來越明顯，彈丸周圍形成了一個不閉合的弧形空泡，且速度急劇下降。

圖3 尖頭彈丸的入水軌跡(v0=1 200 m/s，θ=60°)Fig.3 Trajectory of cuspidal projectile entry into the water (v0=1 200 m/s，θ=60°)

圖4是平頭彈丸以v0=1 200 m/s，θ=90°入水的計算結果。由圖可知：(1)t=0.08 ms時，彈丸高速進入水域，會在彈頭邊界形成應力集中，導致邊界產生裂紋；(2)t=0.2 ms時，彈頭邊界部分出現斷裂現象，破片與彈丸分離，彈頭變化為錐形凸臺，且彈丸周圍有空化泡產生；(3)t=0.4和0.6 ms時，隨著彈丸在水中運動，空泡半徑越來越大，產生的破片以較大的速度向兩側運動，同樣也會產生空化泡，對彈丸周圍的空化泡產生影響；(4)t=0.8 ms時，彈丸的運動速度越來越小，彈丸周圍形成閉合空泡。

圖4 平頭彈入水運動軌跡(v0=1 200 m/s，θ=90°)Fig.4 Trajectory of blunt projectile entry into the water (v0=1 200 m/s，θ=90°)

圖5(a) 彈丸入水過程中的彈道軌跡(θ=90°)Fig.5(a) Ballistic trajectory of projectile during the process of entry into the water (θ=90°)

圖5給出了3種彈丸在高速和低速下的彈道軌跡，其中：A、B、C分別代表平頭、尖頭和截斷頭的彈丸。圖5(a)為彈丸垂直入水的彈道軌跡：平頭彈丸在高、低速條件下，彈道軌跡均保持良好的穩定性；尖頭彈丸在高速情況下彈道穩定性良好，而低速情況下彈道則失穩；截斷頭彈丸在高、低速條件下，彈道軌跡均失穩。圖5(b)和5(c)分別是彈丸入水角度θ=60°和30°的彈道軌跡：低速情況下，3種彈丸的彈道軌跡均能保證良好的穩定性；而在高速情況下彈丸的彈道軌跡的穩定性均會變的不理想，尤其是尖頭彈丸。實際上，彈丸在水中的彈道軌跡主要是由彈丸的質心、壓心的位置關系決定的，設計彈丸外形時應給予考慮，如對于大長徑比的彈丸，應該考慮通過擺動(尾拍)保持彈丸運動平衡。

圖5(b) 彈丸入水過程中的彈道軌跡(θ=60°)Fig.5(b) Ballistic trajectory of projectile during the process of entry into the water (θ=60°)

圖5(c) 彈丸入水過程中的彈道軌跡(θ=30°)Fig.5(c) Ballistic trajectory of projectile during the process of entry into the water (θ=30°)

圖6 彈丸入水的速度變化規律Fig.6 Profile of the velocity variation during the projectile entry into the water

2.2 運動規律

圖6給出了3種彈丸在不同入水角度下的速度。圖6(a)為彈丸入水速度v0=1 200 m/s的運動規律。垂直入水的情況下，尖頭彈丸產生的空化泡有效的降低了水的阻力，而截斷頭彈的彈道軌跡發生了偏轉現象，所以受到的阻力較大，速度下降的最為明顯；θ=60°和30°時，3種類型的彈丸在水中運動的穩定性均比較差，受到的水的阻力均較大，尤其是尖頭彈丸，速度下降的最為明顯。圖6(b)為彈丸入水速度v0=200 m/s的運動規律：垂直入水時，3種彈丸的入水速度大小關系為vB>vC>vA；θ=60°和30°時，則為vB>vC≈vA。

根據牛頓第二定律，在水中運動的彈丸質心運動方程為：

(3)

式中：m為彈丸質量，v為彈丸運動速度，Rx為彈丸受到的阻力，Ry為升力，Rz為馬格努斯力，Rg為重力，RC為科氏力升力，RΩ為地球自轉產生的慣性力。計算中只考慮阻力Rx=-0.5ρwv2CxS，ρw是水的密度，Cx是彈丸阻力因數，S是垂直中心軸的最大截面積。

圖7給出了不同速度下，阻力因數隨時間的變化規律。彈丸入水速度v0=1 200 m/s時：垂直入水的情況下，平頭彈入水的初始阻力因數較大，隨著彈丸的破壞，彈頭形狀變為錐形凸臺，有效的降低了阻力因數，尖頭彈的阻力因數較小，隨著時間增長保持在0.5左右，而截斷頭彈丸的彈道軌跡發生了偏轉現象，所以阻力因數均較大；入水角度為60°、30°的情況下，3種類型的彈丸的阻力因數較垂直入水時大，3種彈丸的阻力因數從大到小依次為平頭彈、尖頭彈、截斷頭彈。彈丸入水速度v0=200 m/s時，平頭彈丸的阻力因數明顯要高于其他的2種彈形；尖頭彈、截斷頭彈的阻力因數均在1.2附近震蕩。

圖7 彈丸阻力因數隨時間的變化規律Fig.7 Variation of the projectile's drag coefficient with time

3 結 論

本文中采用具有無網格、自適應、穩定以及拉格朗日性質的SPH方法，研究了不同外形彈丸以不同初速度、角度入水的動力學過程：

(1) 彈丸入水時，如果彈道軌跡穩定，會產生對稱的空化泡，否則會產生不規則的空化泡，空化泡的形態及發展規律主要由彈丸的運動姿態決定；

(2) 垂直入水時，高速條件下平頭和尖頭彈丸的彈道軌跡穩定性較好，低速條件下只有平頭彈丸的彈道穩定；以一定角度入水時，3種外形彈丸在低速條件下的彈道穩定性要優于高速條件；彈道穩定性是由彈丸的質心、壓心的位置關系決定的；

(3) 垂直高速入水時，尖頭彈丸的阻力因數最小，而以一定角度高速入水時，截斷頭彈阻力因數最小；低速入水時，平頭彈的阻力因數較大，而尖頭彈、截斷頭彈的阻力因數大小相當；

(4) 彈道穩定性越好，阻力因數就越小，彈丸的存速就越大；阻力因數的大小還與彈丸頭部空化器的尺寸相關。

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(責任編輯 王小飛)

SPH simulation on the behaviors of projectile water entry

Zhou Jie, Xu Shengli

(SchoolofAerospaceEngineering,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)

In this work we investigated the dynamic behaviors of the projectile water entry using the SPH method. We developed our own SPH program based on the N-S equation of the Lagrange form and established a calculation model for the projectile water entry and, with corresponding material parameters and equation of state given, studied the influence of such factors as projectile shape, velocity and angle into the water on the process of the projectile water entry. The simulation results show that the formation and the development of the cavitation bubble are mainly determined by the projectile's state of motion: the more stable the projectile's trajectory, the smaller its drag coefficient, and the greater its sustained velocity. It is found that the SPH method has a high self-adaptability, for which it is applicable for studying the problems related with fluid-structure interaction occurring during the process of the projectile water entry.

fluid mechanics; underwater trajectory; SPH; drag coefficient

10.11883/1001-1455(2016)03-0326-07

2014-09-22；

2014-12-05

中國博士后科學基金面上項目(2015M581081)

周 杰(1986- )，男，博士，Beijihu1986@163.com。

O352國標學科代碼：13025

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