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對數函數及其性質的應用探討研究
常梅姜鐵軍
(大慶市第五十六中學)
摘要:理解對數函數的概念和意義,掌握對數函數定義域、值域的求法,能畫出具體對數函數圖像,并能根據對數函數的圖像說明對數函數的性質,掌握對數函數的單調性,會進行同底對數和不同底對數大小的比較。通過指數函數、對數函數的學習,加深理解分類討論、數形結合這兩種重要數學思想的意義和作用。
關鍵詞:對數函數;性質;圖像
例1.求下列函數的定義域

方法歸納:
1.求與對數函數有關的函數定義域時應遵循的原則:分母不能為0,根指數為偶數時,被開方數非負,對數的真數大于0,底數大于0且不為1。
2.求函數定義域的步驟:列出使函數有意義的不等式組,化簡并解出自變量的取值范圍,確定函數的定義域。
(3)函數y=2+log2x(x≥1)的值域為(C)
A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.[2,+∞)D.[3,+∞)
方法點撥:可以直接利用對數函數的單調性求出函數的值域,也可以借助對數函數的圖像求出函數的值域,更加直觀、形象。
例2.比較下列各組對數值的大小
(1)log3.10.5與log3.10.2
(3)log25與log35
(4)log56與log65
(5)loga3.2與loga3.7(a>0,且a≠1)
方法歸納:
對數值大小的比較方法有:
1.如果底數相同,真數不同,直接利用同一個對數函數的單調性來比較大小,如果底數為字母,則要分類討論。
2.如果底數不同,真數相同,可以利用圖像的高低與底數的大小關系解決,或利用換底公式化為同底的再進行比較。
3.若底數、真數都不相同,則常借助中間量1,0,-1等進行比較。
例3.復合函數單調性的判斷及應用
A.在R上是增函數
B.在R上是減函數
方法點撥:
求復合函數單調區間的步驟:
1.求出函數的定義域。
2.將復合函數分解為基本初等函數。
3.確定各基本初等函數的單調性及單調區間。
4.根據復合函數單調性的判斷方法求原函數的單調區間。
例4.利用函數單調性求函數值域
函數y=logax(a>0,且a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1,求a的值。
方法點撥:
通過對底數a的討論來確定此對數函數的單調性,進而可以確定究竟在區間的哪個端點處分別取得最大值和最小值,列出關于a的對數方程,求出a值。
例5.利用函數單調性求解對數不等式
已知log0.7(2x) 解題技巧:解對數不等式應根據對數函數的單調性轉化為關于真數的不等式,求解時應注意原對數式的真數大于0的條件,常見對數不等式類型如下: 例6.(1)函數y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點_________。 (2)已知a>0且a≠1,則函數y=ax與y=log(a-x)的圖像可能是(B) 對于函數圖像的掌握要求兩點:首先要求熟悉掌握各種基本初等函數的圖像,復雜函數的圖像都是由簡單函數的圖像通過平移、伸縮、對稱等變換而得到的。其次把握函數圖像的性質,根據圖像的性質去判斷,如:過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性等。 例7.已知函數f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,且a≠1) (1)求f(x)的定義域; (2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明。 解決對數函數綜合問題的方法:對數函數常與函數的奇偶性、單調性、最值以及不等式等問題綜合,求解中通常會涉及對數運算。解決此類綜合問題,首先要將所給的條件進行轉化,然后結合涉及的知識,明確各知識點的應用思路、化簡方向,與所求目標建立聯系,從而找到解決問題的思路。 ·編輯魯翠紅
探究三:對數型函數圖像的應用

探究四:對數型函數性質的綜合應用