對數函數及其性質的應用探討研究

常　梅　姜鐵軍（大慶市第五十六中學）

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對數函數及其性質的應用探討研究

常梅姜鐵軍
（大慶市第五十六中學）

摘要：理解對數函數的概念和意義，掌握對數函數定義域、值域的求法，能畫出具體對數函數圖像，并能根據對數函數的圖像說明對數函數的性質，掌握對數函數的單調性，會進行同底對數和不同底對數大小的比較。通過指數函數、對數函數的學習，加深理解分類討論、數形結合這兩種重要數學思想的意義和作用。

關鍵詞：對數函數；性質；圖像

探究一：對數函數有關的定義域、值域

例1.求下列函數的定義域

方法歸納：

1.求與對數函數有關的函數定義域時應遵循的原則：分母不能為0，根指數為偶數時，被開方數非負，對數的真數大于0，底數大于0且不為1。

2.求函數定義域的步驟：列出使函數有意義的不等式組，化簡并解出自變量的取值范圍，確定函數的定義域。

（3）函數y=2+log2x（x≥1）的值域為（C）

A.（2，+∞）B.（-∞，2）C.［2，+∞）D.［3，+∞）

方法點撥：可以直接利用對數函數的單調性求出函數的值域，也可以借助對數函數的圖像求出函數的值域，更加直觀、形象。

探究二：對數型函數單調性的應用（重點）

例2.比較下列各組對數值的大小

（1）log3.10.5與log3.10.2

（3）log25與log35

（4）log56與log65

（5）loga3.2與loga3.7（a>0，且a≠1）

方法歸納：

對數值大小的比較方法有：

1.如果底數相同，真數不同，直接利用同一個對數函數的單調性來比較大小，如果底數為字母，則要分類討論。

2.如果底數不同，真數相同，可以利用圖像的高低與底數的大小關系解決，或利用換底公式化為同底的再進行比較。

3.若底數、真數都不相同，則常借助中間量1，0，-1等進行比較。

例3.復合函數單調性的判斷及應用

A.在R上是增函數

B.在R上是減函數

方法點撥：

求復合函數單調區間的步驟：

1.求出函數的定義域。

2.將復合函數分解為基本初等函數。

3.確定各基本初等函數的單調性及單調區間。

4.根據復合函數單調性的判斷方法求原函數的單調區間。

例4.利用函數單調性求函數值域

函數y=logax（a>0，且a≠1）在［2，4］上的最大值與最小值的差是1，求a的值。

方法點撥：

通過對底數a的討論來確定此對數函數的單調性，進而可以確定究竟在區間的哪個端點處分別取得最大值和最小值，列出關于a的對數方程，求出a值。

例5.利用函數單調性求解對數不等式

已知log0.7（2x）

解題技巧：解對數不等式應根據對數函數的單調性轉化為關于真數的不等式，求解時應注意原對數式的真數大于0的條件，常見對數不等式類型如下：

探究三：對數型函數圖像的應用

例6.（1）函數y=loga（x+1）-2（a>0，且a≠1）的圖像恒過定點_________。

（2）已知a>0且a≠1，則函數y=ax與y=log（a-x）的圖像可能是（B）

對于函數圖像的掌握要求兩點：首先要求熟悉掌握各種基本初等函數的圖像，復雜函數的圖像都是由簡單函數的圖像通過平移、伸縮、對稱等變換而得到的。其次把握函數圖像的性質，根據圖像的性質去判斷，如：過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性等。

探究四：對數型函數性質的綜合應用

例7.已知函數f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定義域；

（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明。

解決對數函數綜合問題的方法：對數函數常與函數的奇偶性、單調性、最值以及不等式等問題綜合，求解中通常會涉及對數運算。解決此類綜合問題，首先要將所給的條件進行轉化，然后結合涉及的知識，明確各知識點的應用思路、化簡方向，與所求目標建立聯系，從而找到解決問題的思路。

·編輯魯翠紅