對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用探討研究

常　梅　姜鐵軍（大慶市第五十六中學(xué)）

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對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用探討研究

常梅姜鐵軍
（大慶市第五十六中學(xué)）

摘要：理解對數(shù)函數(shù)的概念和意義，掌握對數(shù)函數(shù)定義域、值域的求法，能畫出具體對數(shù)函數(shù)圖像，并能根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像說明對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，會進(jìn)行同底對數(shù)和不同底對數(shù)大小的比較。通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，加深理解分類討論、數(shù)形結(jié)合這兩種重要數(shù)學(xué)思想的意義和作用。

關(guān)鍵詞：對數(shù)函數(shù)；性質(zhì)；圖像

探究一：對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域

例1.求下列函數(shù)的定義域

方法歸納：

1.求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時應(yīng)遵循的原則：分母不能為0，根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負(fù)，對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1。

2.求函數(shù)定義域的步驟：列出使函數(shù)有意義的不等式組，化簡并解出自變量的取值范圍，確定函數(shù)的定義域。

（3）函數(shù)y=2+log2x（x≥1）的值域?yàn)椋–）

A.（2，+∞）B.（-∞，2）C.［2，+∞）D.［3，+∞）

方法點(diǎn)撥：可以直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，也可以借助對數(shù)函數(shù)的圖像求出函數(shù)的值域，更加直觀、形象。

探究二：對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（重點(diǎn)）

例2.比較下列各組對數(shù)值的大小

（1）log3.10.5與log3.10.2

（3）log25與log35

（4）log56與log65

（5）loga3.2與loga3.7（a>0，且a≠1）

方法歸納：

對數(shù)值大小的比較方法有：

1.如果底數(shù)相同，真數(shù)不同，直接利用同一個對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小，如果底數(shù)為字母，則要分類討論。

2.如果底數(shù)不同，真數(shù)相同，可以利用圖像的高低與底數(shù)的大小關(guān)系解決，或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較。

3.若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助中間量1，0，-1等進(jìn)行比較。

例3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用

A.在R上是增函數(shù)

B.在R上是減函數(shù)

方法點(diǎn)撥：

求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

1.求出函數(shù)的定義域。

2.將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)。

3.確定各基本初等函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間。

4.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例4.利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域

函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）在［2，4］上的最大值與最小值的差是1，求a的值。

方法點(diǎn)撥：

通過對底數(shù)a的討論來確定此對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可以確定究竟在區(qū)間的哪個端點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，列出關(guān)于a的對數(shù)方程，求出a值。

例5.利用函數(shù)單調(diào)性求解對數(shù)不等式

已知log0.7（2x）

解題技巧：解對數(shù)不等式應(yīng)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于真數(shù)的不等式，求解時應(yīng)注意原對數(shù)式的真數(shù)大于0的條件，常見對數(shù)不等式類型如下：

探究三：對數(shù)型函數(shù)圖像的應(yīng)用

例6.（1）函數(shù)y=loga（x+1）-2（a>0，且a≠1）的圖像恒過定點(diǎn)_________。

（2）已知a>0且a≠1，則函數(shù)y=ax與y=log（a-x）的圖像可能是（B）

對于函數(shù)圖像的掌握要求兩點(diǎn)：首先要求熟悉掌握各種基本初等函數(shù)的圖像，復(fù)雜函數(shù)的圖像都是由簡單函數(shù)的圖像通過平移、伸縮、對稱等變換而得到的。其次把握函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如：過定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等。

探究四：對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例7.已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定義域；

（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明。

解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的方法：對數(shù)函數(shù)常與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值以及不等式等問題綜合，求解中通常會涉及對數(shù)運(yùn)算。解決此類綜合問題，首先要將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合涉及的知識，明確各知識點(diǎn)的應(yīng)用思路、化簡方向，與所求目標(biāo)建立聯(lián)系，從而找到解決問題的思路。

·編輯魯翠紅