淺析如何利用導數解典型高中數學問題

孫毅

【摘要】導數是高中數學學習中越來越受到重視的內容，它為解決函數、數列、三角、向量、方程、解析幾何等典型數學問題提供了一種新的思路和方法。本文以實例方式結合高中數學二種典型問題進行解題技巧分析，以期能給高中數學綜合復習階段的同學提供一種數學學習思路與方法。

【關鍵詞】 導數 函數 數列 數學問題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0032-01

導數是高等數學的基礎，引入高中數學教學為解決函數、數列、三角、向量、不等式、解析幾何等典型高中數學問題提供了新的思路和方法。近年的高考數學試題中，也明顯增加了導數應用型的題目，使導數高考試題的熱點和命題增長點。因而，靈活運用導數解高中數學問題對即將面臨高考的中學生有重要的理論與實際意義。

一、導數的定義

設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量在處有增量也在該鄰域內時，相應地函數取得增量；如果與之比當時極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數記為，即

（1）

導數體現了函數的局部性質，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數本質是通過極限概念對函數進行局部的線性逼近，這個特征在高中數學問題、自然科學和社會科學中有相當廣泛的應用。本文將結合高中數學二種典型問題，以例子方式講解其應用與解題技巧。

二、導數與三角

【評注】本題以函數的導數與極值為載體，利用向量設計點的軌跡，借助對稱建立相關點間的聯系，是典型的解析幾何求軌跡問題。

四、小結

導數在解決函數，證明不等式及幾何問題中都有極其重要的作用，其運用十分廣泛，為函數、不等式、幾何問題等研究提供了新的視角、方法和途徑。本文主要是對導數與三角、幾何向量問題進行分析總結，希能為面臨高考的中學生如何復習數學提供有益參考。