淺析小學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)

劉薇

【摘要】幾何直觀是2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個(gè)核心概念之一。小學(xué)生的思維特點(diǎn)決定了他們?cè)诶斫獬橄蟾拍睢⑦M(jìn)行邏輯思維時(shí)，需要借助幾何直觀。本文針對(duì)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，從教學(xué)的角度提出了培養(yǎng)小學(xué)生幾何直觀能力的策略：第一建立數(shù)與形的聯(lián)系；第二借助圖形描述問(wèn)題；第三利用圖形揭示數(shù)量關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀 圖形

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）03-0137-02

TIMSS 2007四年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)試中的一道題目引起了我的興趣。在對(duì)小學(xué)四年級(jí)近100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試后，發(fā)現(xiàn)這道題的正確率明顯低于相同考點(diǎn)的其他類型題目（題目如下）。

使用下面的信息，在地圖上加上公園、圖書館和學(xué)校。

（1）公園離湖200米，這樣人們就可以釣魚和游泳了。在地圖上用“×”標(biāo)記你設(shè)計(jì)的公園的位置，并在“×”下面標(biāo)記“公園”。

（2）圖書館離市政廳至少300米但又不能超過(guò)400米。在地圖上用“×”標(biāo)記你設(shè)計(jì)的圖書館的位置，并在“×”下面標(biāo)記“圖書館”。

（3）學(xué)校要在公園和圖書館中間。在地圖上用“×”標(biāo)記你設(shè)計(jì)的學(xué)校的位置，并在“×”下面標(biāo)記“學(xué)?！?。

（注：學(xué)校、公園、圖書館不必在一條直線上。）

按照傳統(tǒng)的觀點(diǎn)，這道題目正確率低會(huì)被歸結(jié)為：閱讀能力差不理解題目的意思或者開放性題目的解題技巧欠缺。這道題目主要考查學(xué)生對(duì)“距離和位置”相關(guān)知識(shí)的理解以及在實(shí)際中的應(yīng)用。學(xué)生完成這道題目至少需要經(jīng)歷以下幾個(gè)過(guò)程：首先學(xué)生要能夠理解題目中“公園離湖200米”、“圖書館離市政廳至少300米但又不能超過(guò)400米”以及“學(xué)校要在公園和圖書館中間”的意思，清楚“圖上1cm表示100m”的含義。其次要能夠根據(jù)這些信息提取相關(guān)的知識(shí)，最后再利用這些知識(shí)解決問(wèn)題。這些與2011版課標(biāo)中提出的核心詞幾何直觀不謀而合。

一、搭建抽象與具象的橋梁

對(duì)題目中已知數(shù)據(jù)的直觀感知是解題的基礎(chǔ)。如何建立起數(shù)與形的聯(lián)系，這是概念教學(xué)時(shí)首先要考慮的問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生把數(shù)的認(rèn)識(shí)與圖形建立起了聯(lián)系的時(shí)候，他們的認(rèn)識(shí)就不再孤立，而是連結(jié)在一起的。以認(rèn)數(shù)的教學(xué)為例，這樣的聯(lián)系就無(wú)處不在（如圖1）。通過(guò)豐富的表象來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解。不僅在認(rèn)數(shù)的時(shí)候借助小棒、計(jì)數(shù)器、圖形等建立數(shù)與形的聯(lián)系，甚至在計(jì)算的教學(xué)中也可以看到。例如加法運(yùn)算的意義、減法運(yùn)算的意義，分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算方法以及分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算方法都可以借助圖形來(lái)進(jìn)行表征（如圖2）。

當(dāng)我們把數(shù)與形建立起了聯(lián)系之后，復(fù)雜的問(wèn)題瞬間變得直觀明了。乘法分配率用圖3的方式表示出來(lái)之后，他就變成了計(jì)算小正方形個(gè)數(shù)的兩種不同的計(jì)算方法。三角形的分類用圖4來(lái)表示顯得一目了然，學(xué)生對(duì)三角形的分類也有了更加直觀的認(rèn)識(shí)。其實(shí)，這樣的例子在概念教學(xué)中隨處可見。在TIMSS測(cè)試中也經(jīng)常出現(xiàn)類似的題目（如圖5）。由此可見，建立數(shù)與形的聯(lián)系，豐富學(xué)生對(duì)知識(shí)的直觀感知是幾何直觀能力培養(yǎng)的有效途徑。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念幾何意義的闡釋，有利于學(xué)生形成概念表象，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶，積累表象構(gòu)建的經(jīng)驗(yàn)同時(shí)也為問(wèn)題解決過(guò)程中的表象遷移提供了潛在的可能。

二、做一場(chǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)換的游戲

題目中隱藏的“圖上1cm表示100m”是解題的關(guān)鍵。這正與上面提到的數(shù)的多樣表征方式相聯(lián)系。100既可以用計(jì)數(shù)器百位上的一顆算珠來(lái)表示，也可以是1大捆小棒，或者100個(gè)（10×10）小正方體組成的長(zhǎng)方體，當(dāng)然也可以是題中的1cm的線段。只有學(xué)生積累了豐富的數(shù)的直觀感知，才有可能做到直觀洞察并借助圖形來(lái)描述問(wèn)題?！肮珗@離湖200米”可以用2cm的線段來(lái)表示公園與湖之間的距離，“圖書館離市政廳至少300米但又不能超過(guò)400米”就可以用比3cm長(zhǎng)比4cm短的線段來(lái)表示。借助圖形來(lái)描述問(wèn)題是我們解決問(wèn)題的第一步。如果說(shuō)這里借助圖形來(lái)描述問(wèn)題的作用還不太明顯的話，我們嘗試再舉下面兩個(gè)例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)解決問(wèn)題策略的例題2，題目如下：南山中心小學(xué)舉行小學(xué)生足球賽，有4支球隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)。如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，一共要比賽多少場(chǎng)？這道題目我們?nèi)绻盐淖洲D(zhuǎn)譯為圖形，答案就會(huì)呼之欲出。我們用點(diǎn)表示4支足球隊(duì)，用線表示兩支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，然后每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)用一條線連起來(lái)，一共要比賽6場(chǎng)就躍然圖上了（如圖6）。人教版六年級(jí)上冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角，題目如下：小林、小強(qiáng)、小芳、小兵和小剛5人進(jìn)行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經(jīng)下了4盤，小強(qiáng)下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請(qǐng)問(wèn)：小剛一共下了幾盤？分別和誰(shuí)下的？這道題目的信息比較多，借助圖形來(lái)描述一下題目（如圖7）“小剛一共下了幾盤？分別和誰(shuí)下的？”答案一目了然。借助幾何圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境信息及其關(guān)系的理解，幫助學(xué)生從整體上把握問(wèn)題，提示問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法從而獲得正確的解題思路。

三、走進(jìn)數(shù)學(xué)模型的宮殿

“學(xué)校要在公園和圖書館中間”，解決這個(gè)問(wèn)題需要借助圖形來(lái)描述位置關(guān)系。因?yàn)椤皩W(xué)校、公園、圖書館不必在一條直線上”，所以這種關(guān)系是靈活多樣的。借助恰當(dāng)?shù)膱D形、直觀的模型，思維更容易向更高級(jí)、更抽象的形式轉(zhuǎn)換。只有具備把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可借用的幾何直觀問(wèn)題，學(xué)生才有可能展開想象和創(chuàng)造性的探求活動(dòng)，使學(xué)生能夠創(chuàng)造性的解決問(wèn)題。

例如，蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略》單元的例2：“計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16”和練習(xí)十九第7題：“有16支足球隊(duì)參加比賽，比賽以單場(chǎng)淘汰制進(jìn)行。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽后才能產(chǎn)生冠軍？”看起來(lái)并沒有什么直接的聯(lián)系，而實(shí)際上它們是可以用相同的幾何模型來(lái)表達(dá)的。

根據(jù)例2中算式的特點(diǎn)，可以用一個(gè)正方形表示“1”，在正方形中可以分別表示出 1/2、1/4、1/8和1/16（如圖8），容易看出，求“1/2+1/4+1/8+1/16”的和可以直接用“1-1/16”來(lái)計(jì)算。而且足球比賽問(wèn)題中比賽是以單場(chǎng)淘汰制進(jìn)行的，每一輪比賽要淘汰掉 1/2 的球隊(duì)，如果用一個(gè)正方形來(lái)表示參加比賽的 16 支球隊(duì)，再分別表示出每輪比賽淘汰掉的球隊(duì)，直至剩下 1 支球隊(duì)（如圖 9），進(jìn)而得到，求一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽可以用 16-1 來(lái)計(jì)算。這兩個(gè)問(wèn)題如果沒有圖形直觀，學(xué)生很難體會(huì)到它們之間的聯(lián)系的。可見，幾何直觀在提示解題思路、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)等方面，都有著十分重要的作用。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性成為阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的樊籬，幾何直觀思維能力的培養(yǎng)是突破這道難關(guān)的利劍。通過(guò)對(duì)學(xué)生識(shí)圖和畫題能力的培養(yǎng)，借助幾何直觀聯(lián)想找到數(shù)學(xué)概念、結(jié)論背后的具體形象或模型，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解變得簡(jiǎn)單，從而提高學(xué)生探索、分析、思考、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

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