淺析小學生幾何直觀能力的培養

劉薇

【摘要】幾何直觀是2011版義務教育數學課程標準提出的十個核心概念之一。小學生的思維特點決定了他們在理解抽象概念、進行邏輯思維時，需要借助幾何直觀。本文針對調查研究發現的問題，從教學的角度提出了培養小學生幾何直觀能力的策略：第一建立數與形的聯系；第二借助圖形描述問題；第三利用圖形揭示數量關系，感悟數學思想。

【關鍵詞】幾何直觀 圖形

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0137-02

TIMSS 2007四年級數學測試中的一道題目引起了我的興趣。在對小學四年級近100名學生進行測試后，發現這道題的正確率明顯低于相同考點的其他類型題目（題目如下）。

使用下面的信息，在地圖上加上公園、圖書館和學校。

（1）公園離湖200米，這樣人們就可以釣魚和游泳了。在地圖上用“×”標記你設計的公園的位置，并在“×”下面標記“公園”。

（2）圖書館離市政廳至少300米但又不能超過400米。在地圖上用“×”標記你設計的圖書館的位置，并在“×”下面標記“圖書館”。

（3）學校要在公園和圖書館中間。在地圖上用“×”標記你設計的學校的位置，并在“×”下面標記“學校”。

（注：學校、公園、圖書館不必在一條直線上。）

按照傳統的觀點，這道題目正確率低會被歸結為：閱讀能力差不理解題目的意思或者開放性題目的解題技巧欠缺。這道題目主要考查學生對“距離和位置”相關知識的理解以及在實際中的應用。學生完成這道題目至少需要經歷以下幾個過程：首先學生要能夠理解題目中“公園離湖200米”、“圖書館離市政廳至少300米但又不能超過400米”以及“學校要在公園和圖書館中間”的意思，清楚“圖上1cm表示100m”的含義。其次要能夠根據這些信息提取相關的知識，最后再利用這些知識解決問題。這些與2011版課標中提出的核心詞幾何直觀不謀而合。

一、搭建抽象與具象的橋梁

對題目中已知數據的直觀感知是解題的基礎。如何建立起數與形的聯系，這是概念教學時首先要考慮的問題。當學生把數的認識與圖形建立起了聯系的時候，他們的認識就不再孤立，而是連結在一起的。以認數的教學為例，這樣的聯系就無處不在（如圖1）。通過豐富的表象來加強學生對數的認識和理解。不僅在認數的時候借助小棒、計數器、圖形等建立數與形的聯系，甚至在計算的教學中也可以看到。例如加法運算的意義、減法運算的意義，分數加法運算方法以及分數乘法運算方法都可以借助圖形來進行表征（如圖2）。

當我們把數與形建立起了聯系之后，復雜的問題瞬間變得直觀明了。乘法分配率用圖3的方式表示出來之后，他就變成了計算小正方形個數的兩種不同的計算方法。三角形的分類用圖4來表示顯得一目了然，學生對三角形的分類也有了更加直觀的認識。其實，這樣的例子在概念教學中隨處可見。在TIMSS測試中也經常出現類似的題目（如圖5）。由此可見，建立數與形的聯系，豐富學生對知識的直觀感知是幾何直觀能力培養的有效途徑。加強數學概念幾何意義的闡釋，有利于學生形成概念表象，促進對數學知識的理解和記憶，積累表象構建的經驗同時也為問題解決過程中的表象遷移提供了潛在的可能。

二、做一場數形轉換的游戲

題目中隱藏的“圖上1cm表示100m”是解題的關鍵。這正與上面提到的數的多樣表征方式相聯系。100既可以用計數器百位上的一顆算珠來表示，也可以是1大捆小棒，或者100個（10×10）小正方體組成的長方體，當然也可以是題中的1cm的線段。只有學生積累了豐富的數的直觀感知，才有可能做到直觀洞察并借助圖形來描述問題。“公園離湖200米”可以用2cm的線段來表示公園與湖之間的距離，“圖書館離市政廳至少300米但又不能超過400米”就可以用比3cm長比4cm短的線段來表示。借助圖形來描述問題是我們解決問題的第一步。如果說這里借助圖形來描述問題的作用還不太明顯的話，我們嘗試再舉下面兩個例子來進行說明。

蘇教版五年級上冊解決問題策略的例題2，題目如下：南山中心小學舉行小學生足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？這道題目我們如果把文字轉譯為圖形，答案就會呼之欲出。我們用點表示4支足球隊，用線表示兩支球隊進行一場比賽，然后每兩個點用一條線連起來，一共要比賽6場就躍然圖上了（如圖6）。人教版六年級上冊的數學廣角，題目如下：小林、小強、小芳、小兵和小剛5人進行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小林已經下了4盤，小強下了3盤，小芳下了2盤，小兵下了1盤。請問：小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？這道題目的信息比較多，借助圖形來描述一下題目（如圖7）“小剛一共下了幾盤？分別和誰下的？”答案一目了然。借助幾何圖形描述數學問題，能加強學生對問題情境信息及其關系的理解，幫助學生從整體上把握問題，提示問題的轉化方法從而獲得正確的解題思路。

三、走進數學模型的宮殿

“學校要在公園和圖書館中間”，解決這個問題需要借助圖形來描述位置關系。因為“學校、公園、圖書館不必在一條直線上”，所以這種關系是靈活多樣的。借助恰當的圖形、直觀的模型，思維更容易向更高級、更抽象的形式轉換。只有具備把抽象的數學問題轉化成可借用的幾何直觀問題，學生才有可能展開想象和創造性的探求活動，使學生能夠創造性的解決問題。

例如，蘇教版教材五年級下冊《解決問題的策略》單元的例2：“計算1/2+1/4+1/8+1/16”和練習十九第7題：“有16支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制進行。一共要進行多少場比賽后才能產生冠軍？”看起來并沒有什么直接的聯系，而實際上它們是可以用相同的幾何模型來表達的。

根據例2中算式的特點，可以用一個正方形表示“1”，在正方形中可以分別表示出 1/2、1/4、1/8和1/16（如圖8），容易看出，求“1/2+1/4+1/8+1/16”的和可以直接用“1-1/16”來計算。而且足球比賽問題中比賽是以單場淘汰制進行的，每一輪比賽要淘汰掉 1/2 的球隊，如果用一個正方形來表示參加比賽的 16 支球隊，再分別表示出每輪比賽淘汰掉的球隊，直至剩下 1 支球隊（如圖 9），進而得到，求一共要進行多少場比賽可以用 16-1 來計算。這兩個問題如果沒有圖形直觀，學生很難體會到它們之間的聯系的。可見，幾何直觀在提示解題思路、激發學生創新意識等方面，都有著十分重要的作用。

四、結語

數學學科的高度抽象性成為阻礙學生數學思維發展的樊籬，幾何直觀思維能力的培養是突破這道難關的利劍。通過對學生識圖和畫題能力的培養，借助幾何直觀聯想找到數學概念、結論背后的具體形象或模型，使學生對數學問題的理解變得簡單，從而提高學生探索、分析、思考、解決數學問題的能力。

參考文獻：

[1]鮑建生.追求卓越——從 TIMSS 看影響學生數學成就的因素[M].上海教育出版社，2003，1-38.

[2]江蘇省中小學教學研究室.義務教育教科書數學五年級（上冊）（下冊）[M].南京：江蘇教育出版社，2014.

[3]曹培英.“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之四——幾何直觀（下）[J].小學數學教師，2013，（7、8）：12-18.

[4]吳正憲.吳正憲給小學數學教師的建議[M].華東師范大學出版社，2012，166-175.