從生活實例講高斯公式與斯托克斯公式

周正松

【摘要】高斯公式和斯托克斯公式是多元微積分中的兩個非常重要的公式，然而在學習時并不容易理解和掌握，本文通過引入生活實例加圖例的方法，對這兩個公式以及散度和旋度概念進行了形象直觀的闡述，使之更容易接受和理解，并能靈活應用到實際問題中。

【關鍵詞】高斯公式 斯托克斯公式 散度旋度

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0140-02

在理工科教學中，高斯公式和斯托克斯公式是高等數學課程中兩個非常重要的公式，對學生理解曲線、曲面積分，以及后續專業課程如電磁學、數學物理方程的學習都起著相當重要的作用，同時這兩個公式也是考研數學中的熱門考點。在國內大學通用的同濟大學數學系編著的《高等數學》[1]教材中，講到高斯公式和斯托克斯公式這部分內容時，都是先直接給出定理，然后加以證明并介紹其應用。然而在具體課堂教學時，要用這種方式講好這部分內容，使學生能比較輕松地接受和理解它們，并不是一件容易的事情。為了使學生更好地理解并靈活應用它們，本文通過引入生活實例加圖例的方法，對這兩個公式以及散度和旋度概念進行了形象直觀的闡述。

一、高斯公式與散度

設空間閉區域是由分片光滑的閉曲面所圍成，若函數 P（ x，y，z） ，Q（ x，y，z） 與R（ x，y，z）在上具有一階連續偏導數，則有高斯公式（散度公式）：

在日常生活中，我們經常見到如圖1-3用榔頭釘釘子，燈泡或太陽向四周輻射光線，點燃的煙花向周圍爆炸等現象。對這些現象進行對比觀察，發現都具向四周散射的效果。

二、斯托克斯公式與旋度

設 為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側符合右手規則，若函數P（ x，y，z），Q（ x，y，z） 與R（ x，y，z）在曲面（連同邊界）上具有一階連續偏導數，則有斯托克斯公式（旋度公式）：

在日常生活中，我們見到過如圖5-7兩人扳手勁、用電鉆鉆孔、旋螺釘、用磨子推磨等現象。對這些現象進行對比觀察，發現都具向旋轉的效果。

我們不妨對旋螺釘的效果進行受力分析，如圖8螺釘受到旋轉力A=（P，Q，R）作用，P，Q，R分別是旋轉力A在x，y，z三個坐標軸方向上的旋轉分力，旋轉力A的作用效果等效于繞著三個坐標軸方向上的旋轉分量作用效果，繞x軸旋轉分量為繞x軸順時

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014，7.

[2]Dale Varberg.微積分[M].第9版.劉深泉，張萬芹，張同斌，杜保建，譯.北京：機械工業出版社，2015.1.

[3]潘克家，呂駿.線面積分三公式的聯系與教學[J].高等數學研究.2014，7.