一次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系分析

鄧清松

【摘要】根據(jù)當(dāng)前華師大初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的安排，七年級(jí)學(xué)生需要了解與掌握一元一次方程與解法。在七年級(jí)下半學(xué)期，學(xué)生將對(duì)一元一次不等式相關(guān)知識(shí)的延伸學(xué)習(xí)，八年級(jí)學(xué)生要在學(xué)習(xí)一元一次函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上加強(qiáng)對(duì)函數(shù)圖像的了解與掌握。初中生對(duì)一次函數(shù)與方程不等式的學(xué)習(xí)重點(diǎn)放在了單獨(dú)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)中，對(duì)單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)較為透徹，但對(duì)于一次函數(shù)與一次方程、一次不等式三者之間的關(guān)聯(lián)還知之甚少，這方面急需老師的引導(dǎo)。因此，教師應(yīng)著重教導(dǎo)學(xué)生這三方面知識(shí)的連貫性，通過(guò)學(xué)生對(duì)這三者知識(shí)點(diǎn)的連貫理解，把握三者的相互聯(lián)系，將使他們?cè)跀?shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中更為輕松快樂(lè)。

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù) 方程 不等式

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）03-0071-01

在數(shù)學(xué)模型中，函數(shù)有著刻畫(huà)世界變化規(guī)律的功能[1]。初中階段是學(xué)生對(duì)函數(shù)認(rèn)知了解的初級(jí)階段，初中階段對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)為以后能深入學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。開(kāi)始進(jìn)入學(xué)習(xí)函數(shù)的階段，學(xué)生通常被其深?yuàn)W而感到學(xué)習(xí)上的吃力，理解上也必然存在一定的困難。對(duì)此，本文根據(jù)華師大數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求，對(duì)一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系進(jìn)行了進(jìn)一步的探討。本文首先站在運(yùn)動(dòng)變化的角度，串聯(lián)以往不等式學(xué)習(xí)中的知識(shí)點(diǎn)，以函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)加強(qiáng)對(duì)以往學(xué)習(xí)過(guò)的方程和不等式相關(guān)內(nèi)容的了解，從而建立融會(huì)貫通、相互發(fā)展的知識(shí)體系。通過(guò)在教學(xué)過(guò)程融入知識(shí)之間的聯(lián)系，統(tǒng)領(lǐng)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自主分析，最終獲得良好的學(xué)習(xí)成效。

一、一次函數(shù)和一次方程之間的關(guān)系

初中學(xué)生對(duì)一元一次方程的解答ax+b=0 （a、b為常數(shù)，b≠0）僅停在了移項(xiàng)這一方法，通過(guò)把未知數(shù)的系數(shù)轉(zhuǎn)化為1，進(jìn)而解出方程的答案。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)函數(shù)題時(shí)，解答方法已經(jīng)是非常熟練，但是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步探究一次函數(shù)和方程的關(guān)系，以下為此教學(xué)環(huán)節(jié)。

①目標(biāo)導(dǎo)學(xué)：（1）會(huì)求直線y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)的自變量的值。（2）使用兩種方法，即直接解方程和函數(shù)圖像法來(lái)解方程2x+5=17。

②主動(dòng)學(xué)習(xí)解答課本上面出示的兩個(gè)問(wèn)題：（1）解方程2x+20=0。 （2）自變量x為何值時(shí)函數(shù)y=2x+20的值為0？

③分組研究以上兩個(gè)問(wèn)題的關(guān)系：將學(xué)生分為每組四人的小組，進(jìn)行互相討論。

④匯報(bào)展示：每組中由小組代表講出意見(jiàn)，最后老師引導(dǎo)學(xué)生就正確解題意見(jiàn)達(dá)成共識(shí)：在問(wèn)題（1）中解方程2x+20=0，得x=-10。

解問(wèn)題（2）就是要考慮函數(shù)y=2x+20的值為0的時(shí)候，所對(duì)應(yīng)的自變量x為何值。在這可以通過(guò)假設(shè)解方程2x+20=0，來(lái)得出x=-10。這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問(wèn)題。畫(huà)出函數(shù)y=2x+20的圖像之后，讓學(xué)生再次回到圖像上進(jìn)行觀察，直線y=2x+20與X軸線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-10，0）這就說(shuō)明方程2x+20=0的解為x=-10。讓學(xué)生思考：以上兩個(gè)問(wèn)題關(guān)系當(dāng)中，能進(jìn)一步得到解方程ax+b=0（a、b為常數(shù)，a≠0）與求自變量x為何值的時(shí)候，一次函數(shù)y=ax+b的值為0，有什么關(guān)系？

⑤歸納加強(qiáng)：在解答一次方程有效轉(zhuǎn)化某一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)自變量的值。

⑥鞏固增強(qiáng)：采取兩種方法來(lái)解答方程2z+5=17，例如：直接解方程法和函數(shù)圖像法，把兩組的特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比。從而補(bǔ)充總結(jié)：直接對(duì)方程進(jìn)行解答比函數(shù)要稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)，但函數(shù)圖像能顯示出一次函數(shù)和方程之間的聯(lián)系。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中站在不同的位置去看待任何函數(shù)問(wèn)題，使得新舊知識(shí)聯(lián)合比較，突出函數(shù)在生活中占據(jù)的重要位置。

二、一次函數(shù)和一次不等式之間的關(guān)系

對(duì)于一次函數(shù)和不等式關(guān)系的認(rèn)識(shí)，也對(duì)其教導(dǎo)實(shí)行六步教學(xué)法。通過(guò)學(xué)生根據(jù)目標(biāo)主動(dòng)學(xué)習(xí)找出答案，進(jìn)而進(jìn)行相互交流。給出以下題目：用畫(huà)函數(shù)圖像法解答不等式6x+3<4x+8，兩種方法，解法①將原不等式化為3x-6<0，畫(huà)出直線y=3x-6的圖像。在圖像上便可以看出當(dāng)x<2時(shí)，直線上面的點(diǎn)在X軸下方。因此不等式3x-6<0的解集為x<2。解法②分別畫(huà)出直線y=5x+4和y=2x+10的圖像，能看出它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2。當(dāng)x<2的時(shí)候，在同一個(gè)X，直線y=5x+4上的點(diǎn)在y=2x+10相應(yīng)點(diǎn)下方，因此不等式5x+4<2x+10的解集為x<2。很多學(xué)生在解題上會(huì)存在這樣的疑問(wèn)：用一次函數(shù)圖像去解答方程和不等式有點(diǎn)多此一舉，甚至無(wú)法接受。在這樣情況下可適當(dāng)進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的點(diǎn)撥，最后與學(xué)生的理解達(dá)成共識(shí)。在函數(shù)角度的理解層面，就是尋求一次函數(shù)y=kx+b的值大于0的自變量X的取值范圍。最后，站在函數(shù)角度上，能確定直線y=kx+b在X軸上下方全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成集合。對(duì)于認(rèn)知不怎么深刻的初中學(xué)生，通過(guò)互相討論將更加豐富學(xué)生的知識(shí)。

三、一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系

學(xué)生通過(guò)對(duì)一次函數(shù)和方程、不等式的學(xué)習(xí)之后，他們對(duì)這兩個(gè)知識(shí)內(nèi)容有了基本的了解。在課上先讓學(xué)生自行思考后，再小組討論進(jìn)行解答。通過(guò)設(shè)置問(wèn)題“二元一次方程：3x+5y=8如何轉(zhuǎn)化成y的方程式？”讓學(xué)生清楚理解到點(diǎn)和二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)下一步研究二元一次方程組的解和直線焦點(diǎn)坐標(biāo)有了很實(shí)用的基礎(chǔ)作用。我們從函數(shù)的角度上看待問(wèn)題，能清楚看見(jiàn)一次函數(shù)、方程和不等式的直接聯(lián)系。站在直觀角度看待如何使用圖形來(lái)表示方程的解和不等式的解，這樣才能將學(xué)生已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行深刻溫習(xí)，鞏固效果。

四、結(jié)語(yǔ)

按照華師大初中數(shù)學(xué)教材的教學(xué)大綱要求，教師需要對(duì)初中學(xué)生的一次函數(shù)與不等式的學(xué)習(xí)進(jìn)行延伸，特別是對(duì)于一次函數(shù)和一次方程、一次不等式、二元一次方程的互相聯(lián)系的知識(shí)教導(dǎo)，不僅激發(fā)學(xué)生自主分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，而且讓學(xué)生在知識(shí)聯(lián)系中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的溫故知新，鞏固學(xué)習(xí)效果，達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]王蘭蘭.一次函數(shù)與方程不等式的聯(lián)系[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014，11（10）：08