三重積分的計算方法

張輝　李應岐　陳春梅

【摘要】介紹了計算直角坐標下三重積分的六種方法，給出相應的求解思路，并輔以典型例題，旨在使學生對三重積分的計算有更深的理解和掌握。

【關鍵詞】三重積分 定積分 對稱性 第二類曲面積分

【基金項目】陜西省高等教育教學改革研究項目重點課題（編號：15BZ74）、第二炮兵工程大學科學基金青年項目（編號： 2015QNJJ002）、第二炮兵工程大學教育教學理論研究青年項目（編號：EPGC2015010）資助。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）03-0233-02

三重積分是高等數學多元函數積分學的重要內容，如何計算三重積分是學生學習的重點和難點。教材[1]主要介紹了計算直角坐標下三重積分的四種方法：利用投影法化為三次積分、利用截面法化為定積分、化為柱面坐標和化為球面坐標的三重積分。為使學生能夠深刻理解三重積分，下面再介紹六種計算三重積分的方法，給出相應的求解思路，并輔以典型例題供參考學習，望初學者靈活使用，達到事半功倍、舉一反三的效果。

為了確保三重積分的存在性，我們假設被積函數均是連續或分塊連續。

1.利用對稱性和奇偶性

利用積分區域？贅的對稱性和被積函數f（x，y，z）的奇偶性可簡化某類三重積分的計算。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系. 高等數學（下冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：157-163.

[2]喻德生. 關于簡化計算多元函數積分的一種方法[J].高等數學研究，2006，9（2）：10-12.

[3]李冬輝，閆德明. 曲面積分在三重積分計算中的應用[J].河南教育學院學報（自然科學版），2007，16（2）：66-68.

[4]李冬輝，閆德明. 第二型曲面積分在三重積分計算中的應用[J].大學數學，2008，24（4）：169-173.

[5]同濟大學數學系. 高等數學（上冊）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：272-274.