捕捉湖南卷中的那些亮點(diǎn)

陽(yáng)志長(zhǎng)

2015年高考已經(jīng)結(jié)束，留給2016屆考生的是彌足珍貴的試題資源.與2014年相比，2015年高考湖南數(shù)學(xué)試卷沒(méi)有太大的變化，必考知識(shí)點(diǎn)和常考知識(shí)點(diǎn)照舊，平和中不失新意，樸實(shí)中彰顯能力，取材和知識(shí)點(diǎn)的分布向全國(guó)新課標(biāo)卷靠近，文、理科通用題和“姊妹題”所占的比例劇增.現(xiàn)與同學(xué)們一道，捕捉2015年高考湖南數(shù)學(xué)試題的亮點(diǎn)，探討問(wèn)題，研究策略，以開(kāi)發(fā)和利用好試題資源.愿同學(xué)們把握好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的方向，在2016年高考中取得好成績(jī).

亮點(diǎn)1：試題以“平和”為主調(diào)，在傳承中體現(xiàn)創(chuàng)新

例1 （文科卷第9題、理科卷第8題）已知點(diǎn)A，B，C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則|++|的最大值為

A.6 B.7 C.8 D.9

難度系數(shù) 0.65

分析 為求向量模的最值，同學(xué)們需要考慮向量的表示.從題目的條件和解答選擇題的基本方式出發(fā)，同學(xué)們可以從向量的坐標(biāo)表示入手，展開(kāi)思考.

解 取點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），則++=（x-6，y）.所以|++|=，它的幾何意義是點(diǎn)B（x，y）與定點(diǎn)D（6，0）的距離.當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合時(shí)，|++|有最大值7.選B.

小結(jié) 本題考查向量的模、向量的運(yùn)算等知識(shí)，是選擇題中較靠后的題目，難度并不大，體現(xiàn)了整套試卷以“平和”為主調(diào)的特點(diǎn).同學(xué)們也可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（cos θ，sin θ），然后運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求|++|的最大值.同學(xué)們還可以化簡(jiǎn)向量式++，得到++=2+（O為圓心），然后運(yùn)用向量的加法運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解.這樣不但可以求|++|的最大值，還可以求|++|的最小值.此題與2014年高考湖南文科卷第10題相似，在傳承中體現(xiàn)創(chuàng)新，同學(xué)們可以從中揣摩命題者的意圖和形成試題資源開(kāi)發(fā)的基本思路.

亮點(diǎn)2：試題以“多元”為導(dǎo)向，在樸實(shí)中彰顯能力

例2 （理科卷第9題）將函數(shù) f（x）=sin 2x的圖像向右平移φ（0< φ <）個(gè)單位后得到函數(shù) g（x）的圖像.若對(duì)滿足| f（x1）- g（x2）|=2的x1，x2，有|x1-x2|min=，則φ=

A. B. C. D.

難度系數(shù) 0.55

分析 函數(shù)的圖像進(jìn)行左右平移，不會(huì)改變函數(shù)的最值.由條件可知，x1，x2為函數(shù) f（x）相鄰的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，同學(xué)們可以從三角函數(shù)的周期性入手來(lái)進(jìn)行突破.

解 據(jù)題意可知，函數(shù)f（x）和g（x）的最大值均為1，最小值均為-1.由| f（x1）- g（x2）|=2，可知f（x1）和 g（x2）中有一個(gè)取最大值1，另一個(gè)取最小值-1.由于函數(shù) f（x）的最小正周期為π，相鄰的最大值和最小值相距，所以- φ =，即φ =.選D.

小結(jié) 本題考查三角函數(shù)的圖像平移、最值和周期等知識(shí)，以“多元”為導(dǎo)向，引領(lǐng)考生從不同的視角展開(kāi)觀察與思考，在樸實(shí)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和整體把握中彰顯甄別能力.如果考生在x1，x2的位置等局部問(wèn)題上糾纏，就容易錯(cuò)選答案和耽誤時(shí)間，從而造成丟分或隱性失分.本題與2015年高考湖南文科卷第15題屬于同類(lèi)問(wèn)題，同學(xué)們可以結(jié)合起來(lái)進(jìn)行探討，以形成解題規(guī)律，避免下次碰到同類(lèi)的問(wèn)題做錯(cuò).

亮點(diǎn)3：試題以“生活”為背景，在真實(shí)中凸現(xiàn)靈動(dòng)

例3 （文科卷第10題）某工件的三視圖如圖1所示.現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）

A. B.

C. D.

難度系數(shù) 0.45

分析 原工件為圓錐，其體積容易求出.按照材料利用率的定義，同學(xué)們可以從新工件的體積和棱長(zhǎng)入手，來(lái)尋找突破口.

解 由三視圖可知原工作為圓錐，其高為=2，其體積為×π×12×2=.要使正方體新工件的體積最大，則其下底在圓錐的底面內(nèi)，上底面是平行于圓錐底面的截面的內(nèi)接正方形，如圖2所示.作軸截面，AB為底面正方形的對(duì)角線，設(shè)正方體的底面邊長(zhǎng)為a，則AB=a.根據(jù)相似三角形的知識(shí)，可得=，解得a=，于是新工件的體積為a3=.故材料利用率為÷=.選A.

小結(jié) 本題以“生活”為背景，采用新定義的方式，考查三視圖、圓錐內(nèi)接正方體、相似三角形等知識(shí).在解題時(shí)，同學(xué)們不能墨守成規(guī)，而要將課本外的知識(shí)轉(zhuǎn)化為課本內(nèi)的知識(shí).考查AB為底面正方形對(duì)角線時(shí)所在的軸截面，在真實(shí)中凸顯靈動(dòng)，將題目解活了.本題與2015年高考湖南理科卷第10題是“姊妹題”，它們都是2014年高考湖南文科卷第8題和理科第7題的變式題、改編題.同學(xué)們可以進(jìn)行比較研究，針對(duì)自己的解題困難，到近五年的全國(guó)新課標(biāo)卷中挑選相關(guān)的問(wèn)題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償練習(xí)，以掌握這類(lèi)題目的思考方向和解答方法.

亮點(diǎn)4：試題以“目標(biāo)”為導(dǎo)引，在常態(tài)中突出通法

例4 （文科卷第19題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3，n∈.

（Ⅰ）證明：an+2=3an；

（Ⅱ）求Sn.

難度系數(shù) 0.48

分析 由待證可知，第（Ⅰ）題宜將“通項(xiàng)與和的等式”轉(zhuǎn)化為“遞推公式”.第（Ⅱ）題可以結(jié)合第（Ⅰ）題的鋪墊，預(yù)測(cè)解題方向，在過(guò)程中調(diào)整解題方法.

（Ⅰ）證明：由條件可知，對(duì)任意n∈，有an+2=3Sn-Sn+1+3，所以對(duì)任意n∈，n≥2，有an+1=3Sn-1-Sn+3.上述兩個(gè)等式對(duì)應(yīng)相減，得an+2-an+1=3an-an+1，整理得an+2=3an，n≥2.又a1=1，a2=2，所以a3=3S1-S2+3=3a1-（a1+a2）+3=3a1.故對(duì)一切n∈，an+2=3an.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，an≠0，所以=3.所以，數(shù)列{a2n-1}是首項(xiàng)為a1=1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a2=2，公比為3的等比數(shù)列.所以a2n-1=3n-1，a2n=2×3n-1.于是有S2n=a1+a2+…+a2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=（1+3+…+3n-1）+2×（1+3+…+3n-1）=3×（1+3+…+3n-1）=，從而有S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1=（5×3n-2-1）.

綜上所述，Sn=（5×3-1），n為奇數(shù)，（3-1），n為偶數(shù).

小結(jié) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、等比數(shù)列等知識(shí).同學(xué)們可以從第（Ⅰ）題待證中得到啟發(fā)，確立“通項(xiàng)與和的等式”的轉(zhuǎn)化方向，從而得到第（Ⅰ）題的簡(jiǎn)捷證明.又以第（Ⅰ）題的結(jié)論為鋪墊，分奇偶項(xiàng)判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，以此目標(biāo)為導(dǎo)向，運(yùn)用分組求和的方法，求出Sn.此題簡(jiǎn)潔、“面善”，不會(huì)給同學(xué)們過(guò)重的心理壓力，在常態(tài)中突出求和的“通性通法”.但是，在證明第（Ⅰ）題時(shí)，部分考生由于缺少驗(yàn)證環(huán)節(jié)而失分.在解答第（Ⅱ）題時(shí)，考生的易錯(cuò)點(diǎn)出現(xiàn)在求S2n-1以及將前n項(xiàng)和寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，這需要引起同學(xué)們的警覺(jué)，在平時(shí)做題中就應(yīng)該重視解題方向的預(yù)測(cè)和過(guò)程的調(diào)控.

亮點(diǎn)5：試題以“參數(shù)”為載體，在綜合中挑戰(zhàn)智慧

例5 （文科卷第21題）已知a >0，函數(shù)f（x）=aexcos x（x∈[0，+∞））.記xn為f（x）的從小到大的第n（n∈）個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅰ）證明：數(shù)列{f（xn）}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若對(duì)一切n∈，xn≤|f（xn）|恒成立，求a的取值范圍.

難度系數(shù) 0.24

分析 從極值點(diǎn)的概念出發(fā)，通常先求導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的零點(diǎn)，再觀察f ′（x）在零點(diǎn)附近的符號(hào)，從而確定極值點(diǎn).第（Ⅰ）題可以采用定義法來(lái)證明，第（Ⅱ）題通常運(yùn)用“分離參變法”和將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來(lái)求解.

參考答案 （Ⅰ）（證明過(guò)程省略） （Ⅱ）a的取值范圍是[e，+∞）.

小結(jié) 本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極值、不等式、數(shù)列等知識(shí)，思路簡(jiǎn)單，但由于參數(shù)的介入，增加了問(wèn)題的綜合程度.第（Ⅰ）題的難點(diǎn)是判斷f ′（x）的符號(hào)，如果考生有歸納意識(shí)，就能突破這個(gè)難點(diǎn)；第（Ⅱ）題的難點(diǎn)是化歸為≤，構(gòu)造函數(shù)g（t）并尋求它的最小值，在綜合運(yùn)用中挑戰(zhàn)考生的數(shù)學(xué)智慧.本題是2015年高考湖南理科卷第21題的“姊妹題”，理科考生可以進(jìn)行對(duì)比研究，以把握相關(guān)問(wèn)題的解題策略，智解2016年高考數(shù)學(xué)“壓軸題”.

（責(zé)任編校 周峰）