全國新課標卷一創新題展示

廖東明

亮點1：內核依舊，方法相似，載體創新

例1 （文科卷第16題）已知F是雙曲線C：x2-=1的右焦點，P是C的左支上一點，A（0，6）.當△APF周長最小時，該三角形的面積為_____.

難度系數 0.65

分析 根據題意，畫出草圖，可知△APF的周長隨點P在左支上的運動而發生變化，A，F為定點，AF為定長.憑直觀，點P應位于雙曲線的左支且在第二象限比較靠近y軸的某個位置，從而使得△APF的周長最小.直接利用|AP|+|PF|>|AF|不奏效，于是我們聯想到雙曲線的定義，將其轉化為求|PA|+|PF1|的最小值則十分容易，進而求出此時點P的坐標，再求出△APF的面積即可.

解 依題意可知，雙曲線C：x2-=1的右焦點為F（3，0），實半軸長a=1，左焦點為F1（-3，0）.由于P是C的左支上一點，所以|PF|-|PF1|=2a=2，則△APF的周長l=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF1|+2+|AF|≥|AF1|+2+|AF|=15+2+15=32，當且僅當A，P，F1三點共線且點P在A，F1之間時取得等號，此時直線AF1的方程為+=1，即y=2x+6.由y=2x+6，8x2-y2=8，消去y整理得（x+2）（x+7）=0，從而可知點P的坐標為（-2，2）（-3

小結 定義轉化、動靜結合、幾何法研究最值是解析幾何中的常見問題，有的還需要利用對稱性進行轉化求解.

亮點2：數形結合，設而不求，溝通運算

例2 （文科卷第21題）設函數 f（x）=e2x-aln x.

（Ⅰ）討論 f（x）的導函數 f ′（x）零點的個數；

（Ⅱ）證明：當a>0時， f（x）≥2a+aln .

難度系數 0.55

分析 解答第（Ⅰ）問時，我們可先求出f ′（x），再研究f ′（x）的單調性，進而判斷零點的個數，也可以利用零點存在性定理來解答，或者將原問題轉化為兩圖像交點的個數問題來解答.要證明第（Ⅱ）問，我們根據第（Ⅰ）問可知，f ′（x）有唯一的零點x0，但是由2=無法求出x0，可利用設而不求，將其進行溝通運算，進而得到結果.

（Ⅰ）解：據題意可知，函數f（x）=（e2）x-aln x的定義域為（0，+∞），f ′（x）=（e2）xln e2-=2e2x-（x>0）.

當a≤0時，f ′（x）>0，此時f ′（x）沒有零點.當a>0時，由于y=2e2x單調遞增，y=-在（0，+∞）上單調遞增，所以f ′（x）在（0，+∞）上單調遞增.又f ′（a）=2e2a->0，當0 4且00時， f ′（x）存在唯一的零點x0∈（b，a）.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可設 f ′（x）在（0，+∞）上的唯一零點為x0，當x∈（0，x0）時， f ′（x）<0，此時 f （x）單調遞減；當x∈（x0，+∞）時， f ′（x）>0，此時 f （x）單調遞增，所以當x=x0時， f （x）取得最小值，且最小值為 f （x0）.由f ′（x0）=2-=0，得2=，2x0+ln 2=ln a-ln x0，所以-ln x0=2x0+ln .故f （x0）=-aln x0 =+2ax0+aln ≥2a+aln .

小結 對某個零點x0設而不求，只是讓x0參與運算（含在恒等變換中起著溝通作用），進而解決相關的問題.此類問題是近年高考的熱點題，本題可謂將其發揮得淋漓盡致.

亮點3：四邊形問題內藏三角形，點運動定臨界

例3 （理科卷第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_____.

難度系數 0.55

分析 由∠B=∠C=75°及BC=2確定等腰△EBC，再作∠BAD=75°，然后平行移動AD，讓點A在BE上運動，進而確定點A的兩個極限位置（可無限接近但不能到達），從而解三角形求出取值范圍.

解 如圖1所示，作等腰△EBC，使得∠B=∠C=75°，BC=2.作直線AD分別交線段EB，EC于點A，D（不與端點重合），且使∠BAD=75°，則四邊形ABCD就是符合題意的四邊形.過C作CF∥AD，交BE于點F.在△CFB中，CF=CB=2，∠CBF=75°，BF=2×BF=2×2cos 75°= 4×=-.在△EBC中，BE===+.

故AB的取值范圍是（-，+）.

小結 解決具有迷惑性且被“包裝”過的問題，我們要善于揭開表象，發現本質，這樣方能找到破解的鑰匙.數形結合、動靜結合、確定臨界位置，用這樣的方法來解決的試題是高考中的常態.

亮點4：轉化構圖，“存在”設題，界點定域

例4 （理科卷第12題）設函數f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數x0使得f（x0）<0，則a的取值范圍是

A.[-，1） B.[-，）

C.[，） D.[，1）

難度系數 0.48

分析 我們可以嘗試分離參數a進行研究，但需要對進行分類討論，且要選擇合適的研究方法.我們也可將原問題先轉化為ex（2x-1）