如何解答全國新課標卷二中的特色題

郭統福

亮點1：利用函數的性質求參數的范圍

例1 （文科卷第12題）設函數f（x）= ln（1+|x|）-，則使得f（x）> f（2x-1）成立的x的取值范圍是

A.（，1） B.（-∞，）∪（1，+∞）

C.（-，） D.（-∞，-）∪（，+∞）

難度系數 0.50

分析 根據函數的奇偶性與單調性，我們可由f（x）> f（2x-1）求出自變量的取值范圍.

解 由f（x）=ln（1+|x|）-，可知函數f（x）是偶函數，且在（0，+∞）上是增函數.于是f（x）> f（2x-1）等價于 f（|x|）> f（|2x-1|），即|x|>|2x-1|，解得

小結 根據函數值的大小求參數的取值范圍，我們首先要判斷函數的奇偶性，然后判斷函數的單調性.若是奇函數，則可根據單調性脫去函數符號，從而求出自變量的取值范圍；若是偶函數，則可將f（u（x））> f（t（x））轉變為f（|u（x）|）> f（|t（x）|），若函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，可得|u（x）|>|t（x）|，否則有|u（x）|<|t（x）|.

亮點2：對雙曲線的考查

例2 （理科卷第11題）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為

A. B.2 C. D.

難度系數 0.60

分析 解答本題時，我們首先要作出圖像，根據三角形的邊角關系，確定點M的坐標，然后將坐標代入雙曲線E的方程-=1（a>0，b>0），從而求出離心率.

解 設雙曲線E的方程為-=1（a>0，b>0），如圖1所示.據題意可知 |AB|=|BM|，∠ABM=120°.過點M作MN⊥x軸，垂足為N.在Rt△BMN中，|BN|= a，|MN|=a，所以點M的坐標為（2a，a）.將上述坐標代入雙曲線的方程，可得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，整理得e=.選D.

小結 求雙曲線的離心率，我們首先要正確地作出圖像，根據幾何意義適當地進行轉化，從而求出雙曲線上的點的坐標，找到a，b，c之間的關系，進而求出離心率.

亮點3：對函數圖像的判斷

例3 （理科卷第10題）如圖2，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點.點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP =x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f（x），則y= f（x）的圖像大致為

難度系數 0.50

分析 本題要對0≤x≤、≤x≤和≤x≤π進行討論，求出PA+PB關于x的解析式，然后根據函數的解析式來確定函數的大致圖像.

解 由已知得，當點P在BC邊上運動，即0≤x≤時，PA+PB=+tan x；當點P在CD邊上運動，即≤x≤，且x≠時，PA+PB=+，當x=時，PA+PB=2；當點P在AD邊上運動，即≤x≤π時，PA+PB=-tan x.

從點P的運動過程我們可以看出，軌跡關于直線x=對稱，且f（）> f（），軌跡是非線性的.選B.

小結 判斷函數的圖像，首先是求出函數的解析式，根據函數的解析式，可以判斷出函數的奇偶性和單調性，也可以利用函數的對稱性，還可以取特殊值，然后根據特殊值來判斷函數的圖像.

亮點4：對圓的方程的考查

例4 （文科卷第7題）已知三點A（1，0），B（0，），C（2，），則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為

A. B. C. D.

難度系數 0.65

分析 據題意可知，△ABC外接圓的圓心在BC邊的垂直平分線上，我們可以設出圓心D的坐標為（1，b），然后根據DA=DB求出圓心的坐標，最終確定圓心到原點的距離.

解 據題意可知，△ABC外接圓的圓心在BC邊的垂直平分線上，即在直線x=1上.設圓心D的坐標為（1，b），由DA= DB，可得|b|=，解得b=.故圓心D的坐標為（1，），則圓心到原點的距離d ==.選B.

小結 經過三角形三個頂點的圓，其圓心是三角形三條邊的中垂線的交點，則可求出任意兩邊的中垂線方程，將兩方程聯立求出圓心的坐標，從而確定圓的方程.

亮點5：對數列求和的考查

例5 （理科卷第16題）設Sn是數列{an}的前n項和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，則Sn=_____.

難度系數 0.65

分析 將an+1=Sn+1-Sn代入an+1=SnSn+1，整理得-=-1.根據數列{}是以-1為首項、-1為公差的等差數列來進行求解.

解 由已知得Sn+1-Sn= SnSn+1.將上述等式的兩邊同時除以SnSn+1，得-=-1，則數列{}是以-1為首項、-1為公差的等差數列.所以有=-1-（n-1）=-n，即Sn=-.

小結 涉及遞推數列的問題，當遇到與an，Sn有關的問題時，我們可以利用an=Sn-Sn-1（n≥2）進行適當的轉化，可以都轉化為與an有關的式子，也可以都轉化為與Sn有關的式子，再將不是等差數列或等比數列的數列，經過適當的轉化，變形為等差數列或等比數列，然后利用等差數列或等比數列的橋梁作用來解決問題.

（責任編校 周峰 馮琪）