注重解后反思，提高解題能力

孟方明

一、反思解題為何失敗

當(dāng)解題失敗時，同學(xué)們可以通過反思思維是從何開始，思維過程中遇到哪些障礙，來探索失敗的原因，從中總結(jié)解題經(jīng)驗，吸取失敗的教訓(xùn)，提高解題能力.

例1 已知實數(shù)x，y滿足1≤x+y≤3， ①-1≤x-y≤1， ②

求4x+2y的取值范圍.

錯解 ①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8. ③

②×（-1），得-1≤y-x≤1. ④

①+④，得0≤2y≤4. ⑤

③+⑤，得0≤4x+2y≤12.

許多同學(xué)認(rèn)為，這種解法利用了不等式的性質(zhì)，應(yīng)該無懈可擊，怎么會錯呢？

反思 由該解法得到的范圍的兩個端點能取到嗎？同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x取最大值2時，代入①式，得-1≤y≤1，與⑤矛盾，從而0≤4x+2y≤12中的12取不到，即所求得的范圍被放大了.

該解法利用了什么知識？能保證問題的等價性嗎？同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，該解法利用了不等式的可加性，而利用可加性容易使解集擴大.

正解 設(shè)x+y=m，x-y=n，得1≤m≤3，-1≤n≤1，則x=，y=.于是可得4x+2y=3m+n，從而有2≤4x+2y≤10.

點評 以問題的錯解為契機，反思錯誤解法的成因，尋找錯誤根源，辨別真?zhèn)危|(zhì)疑思辨，并以此探索問題的正解，使思維的批判性得到有效的訓(xùn)練.

二、反思解法是否最優(yōu)

在時間允許的情況下，同學(xué)們不妨在解完一道題后再想一想，此題還有其他解法嗎？這種解法是否最優(yōu)？這樣有利于同學(xué)們將所學(xué)知識融會貫通，使同學(xué)們的思維空間更為廣闊.

例2 已知函數(shù)f（x）=1-，x∈（0，1），若不等式f（x）>m·2x-2恒成立，求正數(shù)m的取值范圍.

拙解 由題意可知，1->m·2x-2恒成立，整理得m·（2x）2+（m-3）2x-1<0.令t=2x，則t∈（1，2）且mt2+（m-3）t-1<0.

設(shè)F（t）= mt2+（m-3）t-1，配方得F（t）=m（t-）2-1-.

①當(dāng)≤，即m≥時，點（2，F(xiàn)（2））離對稱軸更遠(yuǎn)，則F（t）

②當(dāng)>，即0

綜上可得，m的取值范圍是0

反思 上述解法需要分類討論，過程顯得非常繁瑣.為避免分類討論，我們反思是否可以從其他角度入手來優(yōu)化解法呢？

優(yōu)解1 由題意可知，1->m·2x-2恒成立，整理得m·（2x）2+（m-3）2x-1<0.令t=2x，則t∈（1，2）且mt2+（m-3）t-1<0.

設(shè)F（t）= mt2+（m-3）t-1，配方得F（t）=m（t-）2-1-.由m>0，可知拋物線的開口向上，所以F（t）<0對應(yīng)拋物線在x軸下方的圖像，如右圖所示，它是一條連續(xù)不斷的曲線.于是可知F（1）≤0，F(xiàn)（2）≤0，解得m的取值范圍是0

優(yōu)解2 由題意可知，1->m·2x-2恒成立，整理得m·（2x）2+（m-3）2x-1<0.令t=2x，則t∈（1，2）且mt2+（m-3）t-1<0.于是有m<.

==+.由于，均在（1，2）上遞減，所以+在（1，2）上遞減，<+< 2.

所以，m的取值范圍是0

點評 我們在解題后的多角度思考，不但使相關(guān)的知識得到梳理和鞏固，而且可以開拓思路，加強知識之間的縱橫聯(lián)系，及時總結(jié)各類解題方法，從而養(yǎng)成“從優(yōu)，從快”的解題習(xí)慣.

三、反思問題能否變換

如果總是就題論題，一題多解，那么思維層面還是局限于一道題.要讓思維完全放開，徹底激活，還需要進一步反思，如果改變設(shè)問方式，會出現(xiàn)什么樣的新問題？如果改變題目的條件，會導(dǎo)出什么樣的新結(jié)論？如果保留題目的條件，結(jié)論能否進一步加強？條件作類似的變換，結(jié)論能擴大到一般情況嗎？這樣富有創(chuàng)造性的全方位思考，常常是發(fā)現(xiàn)新問題、認(rèn)知新知識的突破口.

例3 已知點P在橢圓x2+2y2=1上運動，求點A（0，）到動點P的距離AP的最大值.

反思 在本題中，橢圓方程和點A都是確定不變的.我們可以考慮對題目進行一些改編，將這一靜止的問題改編成動態(tài)的問題，抑或大膽聯(lián)想，積極類比，請出橢圓的“兄弟姐妹”.

1.橫向拓展

變式1 已知點P在橢圓x2+2y2=1上運動，定點為A（0，a）（a>0），求AP的最大值.

變式2 動點Q在圓x2+y2-y=0上運動，動點P在橢圓x2+2y2=1上運動，求PQ的最大值.

變式3 已知點P在橢圓x2+2y2= t2上運動，若點A（0，）到點P距離的最大值為，求橢圓方程及此時點P的坐標(biāo).

2.縱向類比

變式4 已知點P在雙曲線2x2-y2=1上運動，求點A（0，）到動點P的距離AP的最小值.

變式5 已知點P在拋物線y2=2x上運動，求點A（0，）到動點P的距離AP的最小值.

點評 如果說一題多解實現(xiàn)了“點到線”的變化，一題多變實現(xiàn)了“線到面”的變化，那么多題歸一則進一步實現(xiàn)了“面到體”的變化.這些變化不僅充分發(fā)揮了問題的潛能，更使同學(xué)們的能力得到提升.

（責(zé)任編校 馮琪）