柯西不等式的巧妙應用

崔懷勝

一、結構分析法

例1 已知x，y，a，b均為正數，且+=1，求x+y的最小值.

解 由于x，y，a，b均為正數，且+=1，所以根據柯西不等式得x+y=[（）2+（）2]·[（）2+（）2]≥（+）2，當且僅當·=·，即=時取等號.所以，x+y的最小值為（+）2.

小結 柯西不等式很重要，靈活巧妙地運用它，可以使一些較復雜的問題迎刃而解.中學階段我們常用柯西不等式來證明不等式或求解最值.

二、減元法

例2 已知實數x，y，z滿足x+y+2z=1，x2+y2+2z2=，則z的取值范圍是_____.

解 由x+y+2z=1，得x+y=1-2z.由x2+y2+2z2=，得x2+y2=-2z2.由于x+y≤，所以（1-2z）2≤1-4z2，解得0≤z≤.

小結 解本題的關鍵在于對已知條件進行變形后，利用柯西不等式的變式，得到關于z的不等式.

三、換元法

例3 非負實數x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=，那么x+y+z的最大值為_____.

解 由x2+y2+z2+x+2y+3z=，可得（x+）2+（y+1）2+（z+）2=.

設x+=w，y+1=v，z+=u，可得w2+v2+u2=，x+y+z=w+v+u-3.

由（w+v+u）2≤（12+12+12）（w2+v2+u2）=，可得-≤w+v+u≤，當且僅當w=v=u=時，w+v+u的最大值為，此時x+= y+1= z+.于是可得 -≤x+y+z≤.

所以，x+y+z的最大值為.

小結 解本題的關鍵是換元后，再利用柯西不等式進行計算.

四、構造法

例4 若x，y，z為實數，且x2+y2+z2=1，求證： -≤xy+yz+xz≤1.

證明 由（x2+y2+z2）2=（x2+y2+z2）（y2+z2+x2）≥（xy+yz+xz）2，x2+y2+z2=1，可知xy+yz+xz≤1.

由（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，可得2（xy+yz+xz）≥-（x2+y2+z2）=-1，即xy+yz+xz≥-.

所以，-≤xy+yz+xz≤1.

小結 我們通常需要對代數式進行適當變形，拼湊出與柯西不等式的一般形式相似的結構，再運用柯西不等式.在運用柯西不等式的過程中，要注意數字或字母的順序.

（責任編校 馮琪）