突破數學解題瓶頸的六個切入點

謝高峰

一、 智慧變角，凸顯關系

例1 求證sin 3A·sin3A+cos 3A·cos3A=cos32A.

證明 sin 3A·sin3A+cos 3A·cos3A=sin 3A·sin A·+cos 3A·cos A·=sin 3A·sin A-sin 3A·sin A·cos 2A+cos 3A·cos A+cos 3A·cos A·cos 2A=（cos 3A·cos A+sin 3A·sin A）+·cos 2A·（cos 3A·cos A-sin 3A·sin A）=cos 2A+·cos 2A·cos 4A=cos 2A（1+cos 4A）=cos 2A·2cos22A=cos32A.

小結 一般表面上的數量關系可以反映內在結構的變換關系，抓住它，我們往往就能找到解題思路.如解三角函數問題時，若角不同，則可通過半角公式或倍角公式進行轉化；若各項的次數不同，則可通過升冪或降冪來促成問題的解決.

二、分析特征，構造模型

例2 已知數列{an}中，a1=，an+1=an+（）n+1，求數列{an}的通項公式.

解 在an+1=an+（）n+1的兩邊同乘以2n+1，得2n+1·an+1=·2n·an+1.

令bn=2n·an，由bn+1=bn+1，得bn+1-3=（bn-3），可知{bn-3}是以-為首項、為公比的等比數列，所以bn-3=-·（）n-1，即bn=3-2·（）n.

所以an ==-.

小結 在解答遞推數列問題時，常將遞推式進行一系列變換（如累乘、累加、逐減、拆項等），構造出一個新的數列，化歸為等差數列或等比數列來求解.很多數學命題的外形特征與內在結構之間是相通的，如果抓住這些命題的外形特征，然后細加分析，我們就不難發現解題的切入點，從而找到解題思路.

三、以靜制動，巧妙轉化

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A的坐標為（-4，0），頂點C的坐標為（4，0），頂點B在橢圓+=1上，則=_____.

解 頂點B取橢圓短軸的上端點，即點B的坐標為（0，3），則sin A= sin C=cos =，sin =，sin B=2sin cos =2××=.

所以=.

小結 在解一些動點、動直線、動平面的問題時，我們可考慮借助特殊位置的點、直線、平面.對于那些結論不明或解題思路不易找到的問題，我們可先用特殊情況來探求解題思路或命題結論，再在一般情況下給出證明.像這種“特殊與一般的相互轉化”策略，經常被應用于高考的選擇題和填空題中.

四、構造函數，靈活類比

例4 已知x3+sin x-2a=0，4y3+sin ycos y+a=0，其中x，y∈[-，]，a∈R，求cos（x+2y）的值.

解 設函數f（t）= t3+sin t-2a，t∈[-，].對任意的t1 ，t2，有-≤ t1 < t2 ≤，則t31< t32，sin t1

由x3 + sin x-2a = 0，4y3+ sin ycos y +a = 0，即x3+sin x-2a =0，（-2y）3+sin（-2y）-2a =0，得f（x）= f（-2y）=0.由y∈[-，]，可得-2y∈[-，]，于是可知x=-2y，即x+2y=0.

所以cos（x+2y）=1.

小結 類比思維是重要的發散性思維方式，它可以跨越各類事物的界限.高中數學中常見的類比有平面與空間的類比（如圓與球，三角形與三棱錐等）、抽象函數和具體函數的類比等.

五、避繁就簡，巧妙切入

例5 已知定義域為R的函數 f（x），對任意的x，y∈R，均有 f（x+y）= f（x）+ f（y）-3，且 f（）=0，當x->0時，f（x）<0.試舉出一個具有這種性質的函數.

解 首先，尋找一個滿足 f（）=0的簡單的一次函數f（x）=x-.其次，為使它滿足當x->0時，f（x）< 0，可將函數改進為f（x）=-（x-）.再將其代入f（x+y）= f（x）+ f（y）-3檢驗，得左邊= f（x+y）=-（x+y）+，右邊= f（x）+ f（y）-3=-（x+y），左邊≠右邊.進而將函數改設為f（x）=c[-（x-）]（c> 0）.將其代入f（x+y）= f（x）+ f（y）-3，可求得c=2，即f（x）=-2·（x-）.

小結 對有多個已知條件的問題，要選擇一個自己最熟悉，能使思維流暢通達的“簡單”條件為切入點，然后由簡到繁，由易到難，尋找已知條件之間的內在聯系，構建一個適合自己的解題階梯.

六、轉化思維，迂回包抄

例6 已知△ABC為正三角形，在邊BC，AC上分別取點D，E，且BD=BC，CE=AC，AD與BE交于點P，求證：AP⊥CP.

證明 以B為原點，BC邊所在的直線為x軸建立直角坐標系.過點D作DF∥BE，交AC于點F，則==2.由CE=AC，得==.

設△ABC的邊長為1，可知=（1，0），=（，0），=（，），=（-，-），=（-，），則==（-，-），=+=（-，），于是有·=0.

所以AP⊥CP.

小結 向量是數形結合的重要途徑之一，恰當運用，可將一些復雜的幾何問題轉化為簡單的代數運算，化難為易，充分體現數形結合思想，為解決幾何問題開辟一條新途徑.同時，向量知識在求有關函數的最值、證明某類等式或不等式、解有關三角函數問題時也有不俗的表現.

（責任編校 馮琪）