功能梯度疊層厚板彎曲半解析求解

楊智勇,　牛忠榮,　葛仁余,　孫學根

(1.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥　230009; 2.銅陵學院 機械工程學院,安徽 銅陵　244000; 3.安徽工程大學 建筑工程學院,安徽 蕪湖　241000)

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功能梯度疊層厚板彎曲半解析求解

楊智勇1,2,牛忠榮1,葛仁余3,孫學根1

(1.合肥工業大學 土木與水利工程學院,安徽 合肥230009; 2.銅陵學院 機械工程學院,安徽 銅陵244000; 3.安徽工程大學 建筑工程學院,安徽 蕪湖241000)

摘要:文章提出了狀態空間方程結合插值矩陣法計算強厚度功能梯度疊層板靜力問題的求解途徑,依照三維彈性理論,對疊層板的每一單層建立狀態方程,聯合邊界及層間連續條件,導出以應力和位移為基本變量的變系數常微分方程組,將板的靜力問題轉化為兩點邊值問題,并采用插值矩陣法直接求解,獲得該問題的數值解。算例結果表明,該法計算結果與現有結果吻合,能有效計算功能梯度疊層板的靜力問題,且具有計算量小、前處理方便、應力和位移精度同階等優點。

關鍵詞:強厚度疊層板;功能梯度材料;狀態方程;插值矩陣法

隨著科學技術發展的要求,在航空、航天等領域涉及很多強厚度疊層結構。對于各種厚壁結構,針對薄板的Kirchhoff理論已經不能適用了。各種中厚板結構理論,如Reissner理論,一般地均引入一些簡化假設,致使彈性力學基本方程只能部分被滿足,難免會產生較大的誤差[1-3]。采用有限元方法來進行計算是一種比較有效的辦法,有通用的商業軟件[4-6]是其最大的優點,但對于材料屬性變化梯度較大的功能梯度材料(FGM),想要提高精度則需劃分更密的單元,這無疑會增大計算工作量。文獻[7]引入狀態空間,給出了任意厚度疊層板殼力學問題的解析解。狀態空間法的引入,大大減少了計算工作量,目前被廣泛應用于求解各類板殼問題[8-11]。然而,對于非均質材料(如FGM),狀態空間法難以獲得系統狀態轉移矩陣,只能求解材料參數按某種特殊形式變化的情形,如冪指數形式。文獻[12-13]采用狀態空間和有限元結合的半解析法,避開了求狀態轉移矩陣的困難,但有限元法的應力解是不連續的,比位移的精度要低一階,尤其在振動問題中會引起較大誤差。

本文采用插值矩陣法[14-15],從三維線彈性理論出發,對疊層板分層建立狀態方程并聯合邊界及連續條件,最終將問題轉化為兩點邊值問題,獲得了FGM疊層厚板的應力和位移解。

1疊層板靜力問題控制方程

考慮一彈性矩形疊層板,如圖1所示, 板長、寬和高分別為a、b、h,共有k層,第j層厚度為hj,建立圖示直角坐標系。

圖1　三維彈性矩形疊層板

現在對第j層進行分析,建立圖示坐標系,設第j層層高hj。不計體力,三維線彈性力學問題偏微分方程為:

(1)

其中,σjx、σjy、σjz為3個正應力分量;τjxy、τjxy、τjxy為3個切應力分量。

對于三維體,其線彈性本構關系為:

(2)

其中,σj為應力列向量；Dj為第j層彈性矩陣；εj為應變列向量。

(3)

(4)

其中,Cjkl(k=1,2,3,…，6;l=1,2,3,…，6)為與第j層材料有關的系數,并假定僅為坐標zj的函數。

(5)

其中,Uj、Vj、Wj分別為坐標xj、yj、zj3個方向的位移分量。

由本構關系(2)式中可先求出3個平面應力分量，即

(6)

再將(6)式代入(1)式,連同(2)式經過合并整理后可得：

(7)

在(7)式中令:

則有:

(8)

對于四邊簡支矩形厚板,將其位移分量Uj、Vj、Wj和(8)式3個應力分量作為基本未知函數,在x和y方向分別采用雙三角級數表示如下:

(9)

其中,Ujmn、Vjmn、Zjmn、Xjmn、Yjmm、Wjmn分別為各級數項的幅值,為變量zj的函數。顯然(9)式滿足四邊簡支邊界條件。令

對每一級數對m-n,將(9)式代入(8)式,可轉化為如下一階常微分方程組:

(10)

其中，m=1,2,…,∞;n=1,2,…,∞。

令zj=hjr,r∈[0,1],單位化后可得:

(11)

當板的上面(z=0)受到均布載荷q0時,厚板上、下表面的邊界條件為:

(12)

(13)

在板各層接觸的地方,除了各平面應力分量可能不連續外,其余各量的連續條件為:

(14)

(15)

其中，1

至此,已將簡支厚矩形板彈性理論的基本方程轉化為以諸函數(Ujmn,Vjmn,Zjmn,Xjmn,Yjmm,Wjmn)表示的常微分方程組(11)式在邊值條件(12)～(15)式下的求解問題。解此獲得(Ujmn,Vjmn,Zjmn,Xjmn,Yjmm,Wjmn),代入(9)式得到基本變量(Uj,Vj,Zj,Xj,Yj,Wj),再代入(6)式獲得其他應力分量σjx、σjy、τjxy。

2數值算例

根據上述途徑求解矩形厚板問題,需要一個有效的方法用于常微分方程邊值問題求解,文獻[14-15]創立了插值矩陣法,該法可求解常一般微分方程組邊值問題。插值矩陣法的一個優點是在常微分方程組里出現的所有函數和其各階導數的計算值可同時獲得,并具有同階精度。插值矩陣法已經研制成常微分方程求解器,本文采用插值矩陣法求解常微分方程組(11)式和相應的邊值條件(12)～(15)式。

圖2　x=y=0.5 m,z/h=0.5處撓度隨級數項增加的收斂情況

表1所列為當截取到m=n=19時,本文方法和文獻[7]狀態空間法解的部分無量綱位移結果對比,插值矩陣法在求解區間z∈[0,h]取N=20,N為所劃子區間數目。由表1可見,本文結果與狀態空間法解是吻合的,精度可達10-4量級,從而說明了本文方法的有效性。

表1　3層板的部分無量綱位移沿厚度方向的變化

表2　3層板的無量綱位移 (0)/qh沿厚度方向的變化

表3　3層板的無量綱應力σx/q沿厚度方向的變化

值得指出的是,算例2僅給出了材料參數沿厚度方向呈冪指數變化的形式,對于按其他各種形式連續變化的情況采用本文方法均能進行有效計算。

3結論

本文采用狀態空間方程結合插值矩陣法的半解析求解,得到了功能梯度疊層板的靜力問題的數值解,主要結論如下:

(1) 采用狀態空間結合插值矩陣法的半解析法,能有效求解強厚度疊層板的靜力問題,求解精度可達10-4量級。

(2) 對于功能梯度材料疊層板的靜力問題,采用本文方法能避開狀態轉移矩陣求解困難,從而能有效求解材料參數沿厚度方向按各種形式連續變化的情形。

(3) 狀態空間方程結合插值矩陣法的半解析求解途徑,既有狀態空間法計算量小的長處,又具有前處理工作量小、實施便捷、應力求解精度高等優點。

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(責任編輯張镅)

A semi-analytical method for the bending of FGM thick laminated plates with interpolating matrix method

YANG Zhi-yong1,2, NIU Zhong-rong1, GE Ren-yu3, SUN Xue-gen1

(1.School of Civil and Hydraulic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.College of Mechanical Engineering, Tongling University, Tongling 244000, China; 3.College of Civil Engineering and Architecture, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000, China)

Abstract:The rectangular thick laminated plates made of functionally graded materials(FGM) are analyzed by three-dimensional linear elasticity theory. For the FGM rectangular laminated plates, some displacement and stress components are acted as the basic variables. Firstly, these basic variables are expressed as the sums of the double trigonometric function expansions in the plane of the plates. Then, they are substituted into the governing differential equations of three-dimensional linear elasticity theory. Consequently it leads to a series of two point boundary problems of ordinary differential equations with the basic variables. Finally, the interpolating matrix method(IMM) is applied directly to solve the ordinary differential equations. All displacement and stress components of the laminated plates can be obtained. Examples are given to demonstrate that the computational results and the existing results agree well. The approach can be used to compute the static problem of FGM laminated plates effectively and it has many advantages, such as low computational complexity, easy pre-processing and the same accuracy for the results of stress and displacement.

Key words:thick laminated plate; functionally graded materials(FGM); state space equation; interpolating matrix method(IMM)

中圖分類號:O343.2

文獻標識碼：A

文章編號：1003-5060(2016)03-0355-05

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.014

作者簡介：楊智勇(1973-),男,江西吉安人,合肥工業大學博士生，銅陵學院講師;牛忠榮(1957-),男,安徽合肥人,博士, 合肥工業大學教授,博士生導師.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11272111;11372049)

收稿日期：2015-01-08；修回日期：2015-04-31