探究錯源 合理糾錯

何棟國 徐德澤

摘 要：很多學生容易把對數的真數寫錯，究其原因是對于真數的理解的偏差，由此反思我們平時糾錯策略，如果缺乏權威性，學生便不足以信服；如果沒有巧妙的手段，就不能迅速及時糾正錯誤；如果沒有實實在在的措施，學生不能自覺糾錯到極致；如果沒有找對病因，便無法根除而出現反復. 因此，糾錯應該從根上入手，從源頭治理，才見成效，效果才能持久.

關鍵詞：對數；基礎概念；糾錯；策略

每年擔任畢業班教學時，都會發現學生的一些不良的解題習慣，有些習慣容易改變，有些習慣卻很難改變，簡直就是頑疾，比如對數的真數的書寫“錯位”，前邊改了后邊又犯了，按了葫蘆起了瓢，很難改觀. 有時筆者就懷疑是不是基礎年級出了問題，因此便在高一教授對數部分新課期間，每年都去聽課調研. 不過令人高興的是大多數老師還是很注意對數的寫法，處理很規范. 但是為什么學生到了高三還是寫錯呢？

初探對數真數的理解錯位是書寫錯位的原因

對數的真數是誰？指數嗎？這些問題很容易回答，而且都能正確回答. 但是我們的學生仍然在心里還是把真數默認為和一個冪的指數具有一樣的地位，比如學生寫“log25”，它寫出來的是“log”，若寫“ln5”，則更是厲害地寫成“ln5”，簡直就把5當成“ln”的指數了. 按照這樣的思路推理下去，學生為什么總是習慣于把對數函數式，比如“log2（x+1）”寫成“log”就不難理解了，因為學生們從心底上就把真數當成指數，而指數哪有加括號的？以后如果遇到諸如“函數f（x）=logx+2”時，學生再問：“老師，老師，這個地方是不是缺一個括號呀？”這也就不要大驚小怪了.

案例1 下面是高三期初模擬卷上的一道求函數值的題目：已知函數f（x）=log3x+2的定義域為（0，3]，則f（7）的值為__________.

本來以為這道題目不用評講，可是試卷改出來之后，發現根本就不是想象的那回事，錯了一大片. 在展示課上，特地邀請幾位理直氣壯的學生，談談自己的想法，發現他們的解法是：f（7）=log37+2=log39=2，一看就明白，這是把函數f（x）=log3x+2直接理解為“f（x）=log3（x+2）”，甚至有人還埋怨老師的試卷印刷質量有問題，漏掉括號了或者說2和x寫得太近了. 而實質上，學生是因為書寫錯位，理解也錯誤，比如本題，學生習慣于寫“f（x）=log”所致. 可見，對數的寫法真的需要規范，真的需要真正搞懂真數的意義，糾錯要從根上治理.

高中階段糾錯策略的新認識

1. 糾錯應該有“強權威”

對充分條件的理解，大家往往都會從演義定義去理解，如子集意義，“推出”意義，特別是對于“推出”“p?q”的理解. 學生遇到“推出”通常會把它理解為像解不等式、解方程等，即把條件理解為不等式、方程，把結論理解為不等式或方程的解.

下面是一道讓學生糾結的題目：

案例2 “x-a>0”是“x≥a”成立的

（ ）

A. 充分非必要條件

B. 充分必要條件

C. 必要非充分條件

D. 非充分必要條件

錯解：因為由x>a不能得出x≥a，故不是充分條件；

而x≥a能得出x>a，故為必要條件.所以選C.

本題實質上是對“p?q”的含義的理解，若直接講解具有一定困難，學生不易接受，筆者在教學時進行如下設計：

教師：這道題你們為什么會認為正確答案是必要非充分條件？

學生：由“x-a>0”推不出“x≥a”.

教師：那么什么是“推出”呢？誰來解釋一下“p?q”的含義？

學生：沉默……

教師：在遇到一個自己弄不懂的概念時，我們應該做什么？

學生：請教老師，請教同學.

教師：錯，應該請教教材，教材才是最權威的.

學生：（學生才想起來翻閱教材）若p，則q為真，記為“p?q”.

教師：你能用自己的話將其解釋得更通俗易懂嗎？

學生：若p真，則q為真.

教師：你能用“推出”的本意來解析題目的意思嗎？

學生：如果x∈（a，+∞），那么x∈[a，+∞），所以是充分條件；但是當x=a時，a?（a，+∞），即x≥a不成，所以是不必要條件.

可見，有些錯誤之所以總是改不了，或許是因為沒有認真看書所致，對教材不熟悉，不清楚概念的原始定義，理解概念僅僅靠查看總結好的經過演義加工的復習資料，這是當前高三復習的通病，這些概念的糾錯只有從本源出發，才更有說服力.

2. 糾錯應該有“巧手段”

案例3 導數的單調區間問題往往出現兩個單調性相同的區間并列書寫的情形，學生常常錯用 “∪”，

而且這種現象反反復，屢禁不止.筆者在處理這些問題的時候，一般都會做出一些小規則，用這些規則約束學生自覺回避“∪”. 我們再來看下面一道練習：已知函數f（x）=x3-3x2-3x+2，求函數y=f（x）的單調區間__________.

故函數在（-∞，1-），（1+，+∞）內單調遞增，在（1-，1+）內單調遞減.

我們在求單調區間的時候，都會涉及解不等式. 在教學中發現，不少學生求不等式f ′（x）>0的解集最喜歡把解集直接寫成區間的形式，如f ′（x）>0，解得（-∞，1-）∪（1+，+∞），但是這樣一來，在書寫函數的單調增區間的時候，學生就會產生一種困惑，為什么前面可以寫成“∪”而書寫單調區間卻不能？雖然這個問題很幼稚，但是我們還是要想出一種方法，讓他們問不出來. 因此，筆者建議學生在解不等式f ′（x）>0時，其解集最好寫成不等式的形式，暫時不要改寫成區間，減少“∪”的使用率.

再如下面這道典型易錯題：若等比數列公比為q，前n項和為Sn，Sn+1，Sn，Sn+2成等差數列，則q=________.

這道題最容易忘記對公比分q≠1及q=1來討論，致使產生了增解q=1. 不過本題如果分類討論，過程也很冗長. 筆者的建議是采用整體的思想，從Sn的本義出發，即Sn=a1+a2+…+an. 比如2Sn=Sn+2+Sn+1相當于2Sn=（Sn+an+1+an+2）+（Sn+an+1），容易得到2an+1+an+2=0，所以q=-2.

3. 糾錯應該有“實措施”

案例4 大家知道，利用均值不等式求最值最容易出現的一種錯誤，就是辛辛苦苦求出來的結果卻不是真正的最值. 像這樣的錯誤，每次都在分析錯因，學生也搞得很明白，但是總免不了出錯. 下面是一道典型的易錯題：若正數x，y滿足x+2y=1，則+的最小值是__________.

錯解：1=x+2y≥2，得≥2，+≥2=≥4，最小值是4.

上述解法中兩次使用了均值不等式，但x+2y≥2取等號的條件是x=2y，+≥2取等號的條件是x=y，因此，+≥2=≥4前后兩個等號同時成立條件是x=2y且x=y，即x=y= 0，而x，y是正數，因此只能是+>4，4不是它的最小值. 那么如何才能自覺避免類似錯誤呢？筆者的建議是，對于今后使用基本不等式求最值時，一定要書寫 “當且僅當”，雖然這有些形式主義，但這種形式是必要的，因為它是把好失誤的最后一道關口. 也就是說，注意書寫規范不僅僅是形式，更是對自己負責的表現.

再如，下面這道易錯題：

，實際上只要養成畫函數圖象求值域，就一定可以避免類似錯誤. 畫函數圖象求函數值域，尤其是三角函數這樣的單調性變化多端函數，可以清清楚楚地看出函數的值域，而不至于多一塊，少一塊.在教學中，如果已知正弦值，如sinA=，求三角形內角A，錯求得而忘記的現象也是時常發生的. 如果這種錯誤被糾正過來后，反而有很多學生更加糊涂了，學生們會疑惑地質問自己，如果cosA=，那么為什么角A沒有兩個值？所有這些，其實都是由沒有畫圖觀察的習慣造成的.