具有N策略和負顧客反饋搶占型排隊系統狀態空間的完備性分析

周學良

（新疆工業職業技術學院，新疆 烏魯木齊 830022）

具有N策略和負顧客反饋搶占型排隊系統狀態空間的完備性分析

周學良

（新疆工業職業技術學院，新疆 烏魯木齊 830022）

將N策略與具有反饋搶占、負顧客到達的、重試這些服務規則結合在一起，然后運用補充變量方法描述具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統模型。在此基礎上，研究具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統的狀態空間和共軛空間的完備性。

反饋搶占型；排隊系統；Banach空間；共軛空間

1 重試可修排隊系統模型研究現狀

在具有多通路的遠程通信網絡系統中，由于網絡信號強弱的原因，客戶端的數據傳輸就有可能出現中止、錯誤等現象，這就需要等待數據的再次傳輸。有關學者研究了具有反饋、啟動失效的重試可修排隊系統。然而在一些排隊服務系統中，要完成一個服務可能需要選擇幾個階段的服務，即被稱為初步服務和主要服務。并且在進行初步服務時，顧客具有優先權可以搶占服務，但在進行主要服務時，顧客不會被優先權高德搶占。因此，吳錦標等［1］將N策略、具有反饋搶占、負顧客到達的、重試這些服務規則結合在一起，然后運用補充變量方法描述具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統模型，并且得到了該排隊系統穩態解存在的充分必要條件。杜紹安等［2］對該模型進行了動態分析，他們首先引入系統的狀態空間，算子和算子的定義域，將該模型轉換為抽象的Cauchy問題，接著運用泛函分析中的線性算子半群理論證明了該模型存在唯一的正時間依賴解，然后當失效率函數為常數時，得到該模型時間依賴解的漸進行為。

此外，通過查閱文獻資料，至今仍未發現關于此模型的其他任何結果。由于杜紹安等［2］研究中模型的狀態空間涉及到Banach空間，但是沒有給出具體詳細的證明。本文沿用已有研究［3，4］的證明過程方法，運用泛函分析中線性算子的有關理論和知識來證明該系統狀態空間的完備性。

2 主要結果

一類具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊模型偏微分方程組描述詳見杜紹安等［2］的研究。其中，（x，t）∈［0，∞）×［0，∞）；p1（t）表示系統在時刻t處于待機狀態的概率；p2（x，t）dx表示系統在時刻t正在接受初步服務的顧客已經耗去的服務時間在區間［x，x+dx）內的概率；p3（x，t）dx表示系統在時刻t正在接受主要服務的顧客已經耗去的服務時間在區間［x，x+dx）內的概率；p4（x，t）dx表示系統在時刻t正處于修理的狀態，并且已經用去的服務時間在區間［x，x+dx）內的概率；用λ+表示正顧客的到達概率；用λ-表示負顧客的到達概率；用θ表示接受主要服務的概率；δ表示重試概率；α表示搶占服務的概率；μ（x）表示主要服務的失效率函數；η（x）表示初步服務的失效率函數；ψ（x）表示修理時間的失效率函數。

取狀態空間為：

2.1 定理1——具N策略和負顧客反饋搶占型排隊系統狀態空間X是Banach空間

可設{gk}={pk}為空間X中的Cauchy序列，那么對，這里又因為ps-pk∈X，所以可根據狀態空間中的范數定義得：

2.2 定理2——具有N策略和負顧客反饋搶占型排隊系統狀態空間X的對偶空間X?是Banach空間

利用2.1同樣的證明過程可以得到定理2。仍沿用杜紹安等［2］研究中的符號，且系統狀態空間和對偶空間完備性的前提下，具有N策略和負顧客反饋搶占型排隊系統得偏微分方程組可改寫為Banach空間X中的抽象Cau?chy問題：

其中，線性算子A、算子U和算子E的表達式詳見杜紹安等［2］研究中的符號表達，從而可以運用泛函分析中的線性算子相關理論、定理和方法進一步研究一類具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統時間依賴解的漸進行為及其他一些可靠性指標，具體研究資料方法詳見周學良等［5］的證明過程。

［1］吳錦標，尹小玲，劉再明.具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統［J］.應用數學學報，2009（2）：323-335.

［2］杜紹安，艾合買提·卡斯木.具有N策略和負顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊模型研究［J］.新疆大學學報（自然科學版），2010（1）：37-50.

［3］阿力木·米吉提，蔡玲霞.第二種服務可選的M/M/1排隊模型狀態空間及對偶空間的完備性［J］.新疆師范大學學報（自然科學版），2012（2）：72-76.

［4］周學良，呂元新.具有三種狀態可修排隊系統狀態空間的完備性［J］.科技信息，2013（2）：133.

［5］周學良，艾尼·吾甫爾.一類具有三種狀態的可修排隊系統研究［J］.應用泛函分析學報，2010（2）：149-159.

Analysis of the Completeness of the State Space of Preemptive Queueing System with N Strategy and Negative Feedback

Zhou Xueliang
（Xinjiang Industrial Vocational and Technical College，Urumqi Xinjiang 830022）

The N strategy was combined with a feedback preemption,a negative customer arrival,and retry service rules,then a M/G/1 retrial repairable queueing system model with the N strategy and negative customer feedback by using the method of supplementary variable was described.On this basis,the completeness of state space and conju?gate space of the M/G/1 retrial repairable queueing system model with the N strategy and negative customer feedback was studied.

feedback type grab；queuing system；Banach space；conjugate space

O226

A

1003-5168（2016）09-0025-02

2016-08-25

周學良（1982-），男，碩士，講師，研究方向：可靠性模型的動態分析。