各D-P準則之間一種新的轉化方法的探討

郟建磊， 武建華

(1. 基準方中建筑設計有限公司， 四川成都 610000； 2. 重慶大學土木工程學院，重慶 400045)

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各D-P準則之間一種新的轉化方法的探討

郟建磊1， 武建華2

(1. 基準方中建筑設計有限公司， 四川成都 610000； 2. 重慶大學土木工程學院，重慶 400045)

【摘要】鑒于目前有限元分析軟件ANSYS等中采用的屈服準則僅為眾多Drucker-Prager中的一種，且經大量實例證實此種準則誤差較大，因此如何將其它D-P準則應用于ANSYS當中則顯得非常重要。傳統的做法是在計算之前實現巖土體強度指標的轉換，而文章則依據各D-P準則在π平面上圓半徑的大小即為其抗剪強度值這一物理意義，得出不同的D-P準則在π平面上投影圓的半徑之比即為對應的D-P屈服準則所得安全系數的比值這一結論，由于此比值只與土體的內摩擦角有關，文章列出了常用內摩擦角值對應的各種D-P準則所得均質土坡安全系數的轉化表格，便于應用ANSYS采用不同D-P準則求解邊坡安全系數時查用，最后結合工程實例簡化模型驗證了上述結論。

【關鍵詞】D-P準則；強度折減；彈塑性有限元；安全系數

目前，國際上編制的大型有限元軟件(如ANSYS、MARC等)大都采用的是D-P (Drucker-Prager)屈服準則，D-P準則為廣義米澤斯準則的特殊情況，當洛德角取不同的值時，就會產生不同的D-P屈服準則，而目前商業軟件如ANSYS中采用的D-P屈服準則僅僅是其中一種(即摩爾-庫侖屈服準則的外角外接圓D-P準則)，此準則經大量實例證實誤差較大，因此如何將其它D-P準則應用于ANSYS當中則顯得非常重要。傳統的做法是在計算之前實現巖土體強度指標的轉換，雖然此法可以實現各D-P準則間的相互轉化，但是較為繁瑣。而本文則試圖通過尋求各D-P準則間的內在聯系獲取一種物理意義明確且易于操作轉換方法。 筆者發現，各D-P準則在π平面上圓半徑的大小即為其抗剪強度值這一物理意義為本文提出的新的轉化方法提供了理論依據。最后結合工程實例簡化模型驗證新方法的適用性。

1各D-P準則簡介及其在π平面投影圓半徑表達式

1.1各D-P準則簡介

目前，常用的D-P準則有以下幾種：

通過摩爾-庫侖不等邊六邊形外角點的外接圓對應的D-P準則，本文所采用的數值分析軟件ANSYS中所采用的即為此D-P準則，本文把它叫做外角點外接圓D-P準則，本文簡稱D-P1，對應的參數為：

通過摩爾-庫侖不等邊六邊形內角點的外接圓，本文把它叫做內角點外接圓D-P準則，本文簡稱為D-P2，對應的參數為：

通過摩爾-庫侖不等邊六邊形的內切圓，本文把它叫做內切圓D-P準則，本文簡稱為D-P3，對應的參數為：

另外還有時衛民、鄭穎人[1]提出的等面積圓D-P準則，本文簡稱為D-P4，對應的參數為：

最后一個是基于非關聯流動法則的摩爾匹配D-P準則[2-3]，本文簡稱為D-P5(ψ=0)，對應的參數為：

1.2各D-P準則在π平面上投影圓半徑表達式

眾所周知，廣義米澤斯屈服準則在π平面上的投影為一個圓，其圓半徑r的物理意義為π平面上的剪應力τπ，其表達式為：

式中：

I1為應力張量的第一不變量，I1=σ1+σ2+σ3把各D-P準則的參數α和k代入半徑表達式得：

3各D-P準則間一種新的轉化關系

對于各D-P準則間的轉化關系，除了在計算之前實現巖土體強度指標的轉換這一傳統做法，筆者發現還存在一種轉化方法，不但物理意義明確，而且經筆者總結歸納成表格后使用起來也更方便，使用時只需查表即可。簡單地說就是采用ANSYS程序中的外角外接圓D-P準則直接計算出土體的安全系數FS，然后將FS除以一比值η來換算成為所采用的屈服準則的安全系數，此η是D-P1準則與所采用D-P準則在π平面上圓半徑大小的比值。它的基本原理可以從安全系數的定義及D-P準則在π平面上圓半徑大小的物理意義兩方面來解釋。

本文采用的是強度儲備安全系數FS1[4]，它根據滑動面的抗滑力與下滑力之比得到，安全系數計算可簡化為：

將上式兩邊同除以FS1,則上式變為

上式表明：要使土坡處于臨界破壞狀態，即安全系數為1，在不改變下滑力的情況下，只能通過降低抗滑力來實現，也即是通過降低抗剪強度參數來實現，而一般情況下，對于一種均質土坡，土體的抗剪強度為一定值，其值越大，相應地土坡達到臨界破壞狀態所需折減系數越大，即安全系數值越大，簡單地說，就是土體的抗剪強度與其安全系數成正比。而眾所周知，D-P屈服準則在π平面上圓半徑大小的物理意義是該準則的屈服強度的大小，即該土體的抗剪強度值，因此可以用D-P1屈服準則與所采用D-P屈服準則在π平面上圓半徑大小的比值來進行兩種D-P準則所得安全系數值的相互轉換。

假設用η來表示任兩種D-P準則安全系數值的轉化系數，則可得：

外角外接D-P準則(D-P1)與內角外接圓D-P準則(D-P2)之間的比值η1：

外角外接圓D-P準則(D-P1)與內切圓D-P準則(D-P3)之間的比值η2：

外角外接圓D-P準則(D-P1)與等面積圓D-P準則(D-P4)之間的比值η3：

外角外接圓D-P準則(D-P1)與摩爾匹配圓D-P準則(D-P5)之間的比值η4：

為了便于應用，把常用內摩擦角度代入以上四式，將求得的結果制成表1～表4，供選用不同D-P準則求解安全系數時采用。

3工程實例

某一天然均質土坡，不考慮孔隙水壓力的影響，土體的材料參數為：彈性模量E=1.0×104kPa，泊松比ν=0.3，容重γ=25 kN/m3，粘聚力C=42 kPa，內摩擦角φ=17°，剪漲角ψ=0。模型尺寸為：坡底長105 m，左邊坡高為20 m，右邊坡高為40 m，坡腳到左邊邊界距離為30 m，坡頂到右邊邊界距離為55 m，坡角為45°(圖1)。坡體底邊為固定約束，左右邊界為水平約束,其它邊界為自由端。計算程序選用商業有限元軟件Ansys9.0，計算單元采用平面四節點矩形單元(Plane42)，采用自由劃分網格，對于容易破壞的土坡部分采取加密網格的方法以達到較高的精度要求。采用理想彈塑性本構模型及D-P屈服準則，土體失穩破壞標準暫取為沿土坡傾斜方向的等效塑性應變發生區域貫通，采用強度折減有限元法進行計算。下面分別采用傳統的強度參數轉換計算方法(簡稱M1)和本文所建議的安全系數轉換方法(簡稱M2) (查表1～表4)進行均質土坡的安全系數計算，所得詳細結果列于表5。

表1　屈服準則(D-P1)與屈服準則(D-P2)的比值η1

表2　屈服準則(D-P1)與屈服準則(D-P3)的比值η2

表3　屈服準則(D-P1)與屈服準則(D-P4)的比值η3

表4　屈服準則(D-P1)與屈服準則(D-P5)的比值η4

通過表5所得結果可知：采用M1法和M2法所得結果基本一致，從而驗證了本文所推薦安全系數轉換方法(M2法)的可行性。另外，由于安全系數轉換方法(M2)中的的系數η值只與邊坡的內摩擦角φ有關，因此本文把常用的內摩擦角所對應的η值列成表1～表4供使用時方便查用，這也是此方法的突出優點。

4結論

為了將各種D-P準則應用于ANSYS程序當中，實現各種D-P準則間的相互轉化，本文提出了一種新的轉化方法。此法依據各D-P準則在π平面上圓半徑的大小即為其抗

表5　計算結果比較

圖1　有限元單元網格劃分

剪強度值這一物理意義，推得不同的D-P屈服準則在π平面上投影圓的半徑之比即為對應的D-P屈服準則所得安全系數的比值這一結論，由于此值只與土體的內摩擦角有關，本文列出了常用內摩擦角值對應的各種D-P屈服準則所得均質土坡安全系數的轉化表格，便于應用ANSYS程序采用不同D-P屈服準則求解邊坡安全系數時查用，最后結合工程實例簡化模型驗證了新方法的可行性與適用性。

參考文獻

[1]鄭穎人,龔曉南.巖土塑性力學基礎[M].北京:中國建筑工業出版社,1989.

[2]張魯渝,時衛民,鄭穎人.平面應變條件下土坡穩定有限元分析[J].巖土工程學報，2002，24(4):487-490.

[3]張魯渝，劉東升，時衛民.擴展廣義Drucker-Prager屈服準則在邊坡穩定分析中的應用[J].巖土工程學報,2005,25(2):216-219.

[4]鄭宏，田斌，劉德富.關于有限元邊坡穩定性分析中安全系數的定義問題[J].巖石力學與工程學報,2005,24(13):2225-2230.

【文獻標志碼】A

【中圖分類號】TU432

[作者簡介]郟建磊(1982～)，男，工學碩士，主要從事結構設計工作。

[定稿日期]2015-07-01