談數學之美

摘要：客觀世界的實際事物，在人們認識之前已經存在，后來被發現了，這是發現；客觀世界中本無對應的實際事物或現象，卻被人們依據一定的手段創造出來了，這是發明.然而，在某些科學研究中，特別是數學這門科學，要分清什么是“發現”的，什么是“發明”的，并不是件容易的事.數學是發現的，還是發明的，長期存在著不同的看法.

關鍵詞：發明，發現，0，費馬大定理

在廣泛的科學研究中，人們對不斷涌現出來的大量科研成果，經常使用“發現”和“發明”這兩個詞.對于它們的使用一般是有所區別的：客觀世界的實際事物，在人們認識之前已經存在，后來被發現了，這是發現；客觀世界中本無對應的實際事物或現象，卻被人們依據一定的手段創造出來了，這是發明.“發現”一詞人們多用于自然科學領域，二“發明”則多用于技術科學領域.例如，蒸汽、電、原子、……是被人們發現的，蒸汽機、電話、原子彈……則是被人們發明的。

然而，在某些科學研究中，特別是數學這門科學，要分清什么是“發現”的，什么是“發明”的，并不是件容易的事.數學是發現的，還是發明的，長期存在著不同的看法.

就拿“0”這個符號來說吧，我們對它太熟悉了，人們在學習、工作和生活中，幾乎天天都要和它打交道，“0”已經滲透到我們生活中的各個領域.那么，你能回答“0”是“發現”的，還是“發明”的？對此，你也許沒有深思熟慮，不敢斷言；也可能覺得問題太簡單了，很容易回答是“發現”的或是“發明”的.但當你要肯定二者之一時，且慢，還是慎重做一番考慮再下結論也不遲.

回顧歷史，可知“0”的概念和符號的出現實非易事.在古代人類的生產和生活活動中，很早就有了自然數的概念，但卻沒有“0”的概念，因為人類在“繩結計數”時期，只需要用繩結記住打了幾只羊，采了幾顆果等事情，還用不上“0”.至于“0”符號的出現則更晚了.在人們發明并使用了“位置計數法”以后，計數時對某一位置設有數字的這種“缺位”現象，就必須采用一種符號來表明.在中國古代的“算籌”演算中，就是用空位來表示“0”的，直到今天，中國的珠算中，仍然是采用空位法來表示“0”的.然而，用空位法表示“0”的方法在實踐中逐漸暴露出缺點，尤其是在計算和書寫總容易造成錯誤.在中國，后來人們就用“□”表示“0”，再后來就用“○”表示.在公元3～4世紀，印度人用小圓點“·”表示“0”；公元683年的印度桑坡碑文用符號表示605，公元684年印度巴凌滂碑文中用符號表示606，表示60，這是現有資料中用“0”的最早記載.大約在公元6世紀，“0”初次傳到歐洲，但羅馬教皇認為“0”是“異端學說”，曾宣布：“數是上帝創造的，不允許這個邪物‘0’玷污神圣的數.”然而，科學真理是不可戰勝的，“0”以其特有的優點被人們所接受，并很快通行于全世界.

“0”在現實世界中反映著極其豐富的內容，我們來看一個簡單的例子—師生對話：

老師：班上有多少個男同學生？

學生：0個.

老師：班上男同學來了幾個？

學生：0個.

老師：班上出去了幾個男同學？

學生：0個.

在這三組問答中，學生回答的都是一樣的：“0個”.但是所反映的事實卻分別不同.第一組的“0”指班上沒有男同學；第二組的“0”不表示班上沒有男同學，只是男同學都沒來而已；第三組的“0”既不表示班上有男同學，也不表示班上沒有男同學，而是指沒有出去的男同學.三個“0”的三個含義：一個指根本沒有男同學；一個指有，都沒有來；一個指或有或無，只是沒有出去.

另外，“0”在數學世界里是地位顯赫，表現力豐富，生命力極強.單就進位制方面就足以看出它的重要性，使得像計算機用的二進制這樣的東西成為可能.

至此“0”是發現的還是發明的，我們該如何回答呢？從它產生的歷史及人們所賦予它的豐富的內容來看，說它是被發現的恐怕不能說服人；從它所反映的現實世界的諸多事實來看，說它是被發明的也不盡然.我們似乎只能這樣說：“0”是從人類的經驗的中來的，是以發現為基礎，而成為一個非常了不起的發明.就像點燈、電話、電報、……是以發現電為基礎而成為發明成果一樣.今天，我們十分方便地、靈活的使用著包括“0”在內的阿拉伯數字，可是，它的產生是多么不容易.正如馬克思所說的，阿拉伯數字“借助于0，人們只要給它們指定一定的位置，不管多大的數都能寫出來，這是最妙的發明之一”.

數學究竟是發明的還是發現的，長久以來，的確存在著兩種截然不同的觀點.

一種是絕對主義的貨柏拉圖主義觀點，把數學看作揭露的觀點，堅持數學家所發現的現實和物質的現實同樣可靠，真理不是他們創造的，而是大自然先天固有的.正如19世紀的數學家L·克羅內所說：“上帝創造整數”，整數不是來自數學家的豐富想象力，而是從人類經驗中來的.因此，簡單算術中所包含的整數和在更深奧的數論定理中的整數，在大多數數學家看來，和天文學家看待天上發現的行星十分相似，都屬于發現.這種觀點事實上在數學界中起主導作用.許多數學家相信進化賦予人類以理解自然的能力，而自然，像伽利略所說是用數學語言書寫的.數學家在實際研究數學時，主觀感覺是一個真實世界待發現，那就是數學的世界，它比物質現實中的偶然事件更永恒不變，更真實可靠.

另一種觀點則強調人的創造力在發明數學結構中的作用.例如，任何數學系統最終都是建立在一組公理之上，但在許多情況下究竟才用哪些公理，還有一個選擇因素.歐幾里得幾何選用了五條假設為自明的公理，然而，黎曼選用了另一組公理，得出比歐幾里得空間更符合物理現實的幾何，以后其它數學家又發明探索了另一些幾何學的性質，都是完美無缺的數學.人類的這種獨創性—選擇，都是發明，而不是現實的被動發現.

然而，當我們在區別這兩種極端觀點的同時，是否可產生低三種觀點：數學既是發現的，又是發明的.這種觀點并不是什么中立觀，因為事實確實如此.數學是“發明”，因為數學概念完全是人類理智的創造物；數學又是“發現”，因為不同數學概念之間的聯系，當著諸概念創造出來之際，已經存在了，只是暫時還不知.數學上深刻的工作，常常是那些能夠把不同的概念、不同的領域聯系起來的“發現”. 數學世界三大難題之一的費馬大定理從提出到被完全證明的過程充分說明數學既是“發現”又是“說明”.費馬提出關于的代數方程在時沒有正整數解，我們知道當時，有無數個解，費馬通過敏銳的觀察力和扎實的數學基本功發現了當時，方程沒有正整數解，但是費馬并沒有明確的給出證明，在后人不斷探索這個定理證明的三百年里，不斷的發明了很多新的數學理論，最后才得以由普林斯頓大學的安德魯·懷爾斯綜合前人的“發明”和“發現”，最終證明了困擾數學界三百余年的數學難題.在整個證明過程中既有“發明”又有“發現”.

微積分作為一種計算技術，是發明的，但是一條曲線的斜率（微分）和它下面的面積（積分）這些有關的數學現象，都是和實際事物對應的，但是它的證明卻往往是發明的.據說，愛因斯坦曾覺得他根據事實發明了相對時空的概念，可是他又覺得在做這件工作時是發現了現實的一個方面.數學有兩種特征：一種是數學結構的脈絡，當你看到這個結構展現時，你會覺得“那里有重要的的東西”，好像是你發明的，許多數學家都有類似的感覺：“在戰壕里我們都是柏拉圖主義者”，但每當討論問題時又會繼續辯論：“你是發明還是發現？”

發明的數學與發明的數學之間的差別，接近于主、客觀上的統一，發現的也罷，相輔相成，創造了一個真實的數學世界.

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