集合思想在中職數學中的應用

初中數學課本中出現過一些數和點的集合，如：自然數的集合、有理數的集合、不等式解的集合等，但學生并不清楚“集合”在數學中的含義，只是對集合有了初步的印象。事實上，研究集合的數學理論在現代數學中被稱為集合論，在數學中占據著獨特的地位，其基本概念已經滲透到數學的所有領域。如果把現代數學比做一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數學中的重要性。“集合”是中職數學中接觸最早的數學概念之一，筆者作為一名中職數學教師現就集合思想在中職數學中的幾點應用與大家分享一下。

一、集合中蘊涵著數學史

數學史是學生學習興趣的源泉，課堂上我們可以利用它來引起學生的好奇心和求知欲。比如在講集合時，首先就給學生介紹康托爾的生平和成就。集合論是德國數學家康托爾于19世紀末創立的，1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念，他對集合的描述是：把若干確定的、有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，集合論提出來伊始，曾遭到許多數學家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈爭論的犧牲品，然而，二十余年后集合論最終獲得了世界的公認。他在研究無窮時提出了一些合乎邏輯但又荒謬的結論，致使許多大數學家唯恐陷進去而退避三舍。但是不到三十歲的康托爾勇敢的向神秘的“無窮”宣戰，他付出了艱辛的勞動，成功的證明了一條直線上的點能和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。這樣看來，一厘米長的線段內的點與太平洋上的點以及整個地球內部的點“一樣多”。隨后，康托爾針對無窮集合發表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多令人吃驚的結論……在這短短的幾分鐘，大大激發了學生的學習興趣，提高了學習集合知識的積極性，學生迫不及待地想知道究竟什么是集合，什么是無窮美……同時還可以讓學生來討論，你從康托爾身上得到了什么啟示，如果是你處在那樣的環境中，你也會堅持下來嗎？讓學生充分思考，盡量都發言，培養他們的語言表達能力和與人交流溝通的能力，起立發言的同時也培養了他們的自信心以及獲得同學們掌聲后體驗到了學習的成就感。

二、集合思想的應用

1、分類討論思想

集合就是把人們直觀的或思維中的某些確定的、容易區分的對象放在一起，成為命題中的構成要素，作為考慮問題的整體。組成一集合的構成要素稱為這一集合的元素。集合與元素是“屬于”與“不屬于”的關系。數學中有很多問題中含有參數，為了解決問題，必須對參數進行討論，從而產生了分類討論的問題，比如，

（1）我們在后面講分段函數時，設

求 的值時，我們會用到元素-2，0，1.5，3它們分別屬于 的哪個定義域區間，再按不同區間上的函數關系式來算函數值。

（2）在總結求函數定義域時，我們首先要看所給的函數是屬于哪種類型的函數，再分類討論。

（3）在利用指數函數和冪函數的性質比較兩個冪值大小的時候，我們也要用到分類討論的思想。首先根據指數函數和冪函數的定義來判斷是哪種類型的函數，再分別利用對應的性質來再分類最后再比較。比如比較 和 的大小時，第一步：觀察發現這兩個數底數相同而指數不同，即底數不變指數變，引導學生考慮指數函數；第二步，觀察底數 ，判斷函數為減函數；第三步，判斷-2和-3的大小；第四步，根據減函數的定義判斷大小。

2、數形結合思想

在現實世界中，形與數是不可分離的結合在一起的。抽象的數學概念，復雜的數量關系，借助圖形可以做到直觀化、形象化、簡單化。同時復雜的形體可以用簡單的數量關系表示。在解題中借助數軸來完成無限數集之間的運算，在平面直角坐標系中解決點集之間的運算，若借助簡單的韋恩圖表示兩集合間的關系，可使問題變得直觀、具體，易于認清集合的特征，便于準確、快速地解決問題。

3、交集和并集思想

用集合的交集和并集語言可以表示出函數的定義域、值域、方程與不等式的解集，曲線上點的集合等。 集合中的交集思想可為后面求兩圖像的交點做預備。

4、子集和補集思想

在求不等式以及不等式組的解集時，最常用的就是集合中的子集和補集思想。例不等式組有幾種常見的解集：口訣是同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小為無處找。不就是綜合運用了交集、并集、子集思想嗎？

有些需要分類討論的問題，解題過程往往過于繁雜，此時運用補集的思想（即“正難則反”思想）去解答，常常可以簡化討論。

日本數學教育家米山固藏曾說：“我搞了多年的數學教育，發現學生們在學校里接受的數學知識。因畢業后進人社會沒有機會應用而很快忘掉了。然而，不管他們從事什么業務工作。唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學的思維方法、研究方法和著眼點，都隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”作為數學教育工作者，我們要我們應該積極努力地在培養學生的數學思維方式以及數學應用意識和能力上進行實踐和探索，爭取為社會培養出更多的應用型的實用人才。

（作者單位：山西交通高級技工學校）