四個易混淆的極限

摘 "要：本文較詳細的介紹了四個極限的求值方法與原理，并對其進行歸類.通過舉例加深對原理和方法的掌握。

關鍵詞：極限;第一重要極限;無窮小;有界函數

一、引言

高數的極限學習過程中，一般都會碰到這幾個極限的求值問題： "、 "、 xsin 、 xsin ，這四個極限在表達形式上有的大同小異，有的又完全不一樣，所以很多學生在求值的過程中就很容易混淆，甚至不知道到底有什么區別.本文分別介紹四個極限的求值過程、求值原理、以及與這四個極限相聯系的其他例題的求解，讓學生對求相關極限有較深層次的理解和掌握.

二、四個極限

1、 "與 xsin 是高等數學教材上兩個重要極限之一，求值過程中用到夾邊準則、用到單位圓的圖形中相關三角形與扇形面積關系的不等式，這里不再重復求解了，大家都應該都知道 "=1，再給大家介紹另外一種求值方法，在學過洛必達法則之后，這個極限可以通過洛必達法則來求：分析：洛必達法則的三個條件都滿足，所以 "= "=1求出的值也與通過夾邊準則求出來的是完全吻合的.這個重要極限的擴展形式也非常重要，當x→0時，有 →0，即： "=1 。 （擴展形式必須滿足兩個條件：（1）x→0，（2）分子分母上的△保持 一致 "）。這個重要極限的值以及它的擴展形式在高等數學的學習過程中非常重要，一定要牢記。

xsin 與 "表達形式上不同，實質上還是一樣的，只是做了一下變形，對x的位置作恒等變化后得： xsin = "，當x→∞時， →0，這剛好是第一個重要極限的擴展形式，所以 xsin =1

2、 xsin 與

對于 xsin ，當x→0時，xsin "中x→0，sin 在-1與1之間取值，sin ，即sin 為有界函數，無窮小的性質中有無窮小乘有界函數仍為無窮小，所以 xsin =0

對于 "，與 xsin 的求值過程很類似，只需做一個小變換即可。

= "sinx ，當x→∞時， →0，為無窮小，sinx為有界函數，同樣的原理得 "=0。

綜上所述可得： "= xsin =1（重要極限及其擴展知識）。

xsin = "=0（無窮小乘有界函數仍為無窮小）。

三、應用舉例

為了更好的熟練和理解上述求值過程中用到的知識點，下面通過舉例來鞏固。

例1、求

解： "= （1- ）=1-1=0

例2、求

解： " = "= =0

例3、求 （x-1）sin

解： （x-1）sin = "=1

三個例題中用到了重要極限的結論及擴展形式，用到了無窮小乘有界函數仍為無窮小的知識.

小結：對于上述知識還應多看，多理解，多練習才能熟練掌握。在高數的學習過程中要學會歸納記憶和理解，分門別類，這樣才能掌握得更好，理解得更透徹。

參考文獻：

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2000：76-85.

[2] 周志燕，程黃金.高等數學[M].東北大學出版社，2014：26-30.